初中数学常见辅助线的添加方法

1、初中数学常见辅助线的添加方法中考数学复习专题几何论证题中辅助线的添加方法D如图：等腰梯形ADBC中AB#CD,底角乙ABC=45°T、对角线AC、BD交于点O,且NBOC=120。°先一线的值分析：在已知条件中，底角/ABC=45。，有的同学想到延长两腰，出现一 个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 NBOC=120。的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点 D （或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为120。的 等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难 求要的比值。oC证明：过D点

2、作DFAC交BC的延长线于F,作DE_LBC于EADBCAD=CF ACDF =平彳亍四边晞bOn AC=DF A 等腰梯形 abcd=> db=ac =>bd=df'AC DF => 乙 B DF=乙 BOC= 120°DE±BF/BDE=60。n |BE=EFZBED=90°DEIBCDE=rCE = a运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形使我们想到能否运 用三角形相似及线段成比例来解本题口而要证CM_LAD,从图中观察到如能证得乙1 = 4A,那么CM

3、_LAD即可成立；而乙A除了在RtZAON中，它还在AOD中，若把乙1也放到与AAOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑 一个与AAOD相似的三角形是本题解答的关键,而已知条件M是OD的中点,想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G,想法证明AAOD s ACGMO通过基本图形分析，发现乙2二乙3,故乙AOD=4CGM。因此 证：条嘉是本题又一关键。证明：取OC的中点为G,连GM,PQ是AB的中垂线，/. Z.BOC=90°i§ OA=OB=a, OD=b . OD_LBC,/. CDO=Z.ODB=90° 44+乙3=90°,43+乙B

4、=90° .乙 4=乙 B, ACODAOBD.OC OB af. = _ttt = G、M 为。C、OD 的中点.CD OD b OC=2CG, CD=2GM. "? =丝=州=" AOD-'ACGM.2GM OD b OD 乙 1 二乙A. ZA+ZANO=90°/. Zl + rCNH=90°即乙 NHC=90°, CM ± AD.例3 ：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，AF和DE交于点P求证：CP=CD图（1）图分析：要证明CP=CD,因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证： 思路

5、（1）:只要证对角相等,即证41 二42。如图（1）分别寻找乙1、42的 等量，ABCD 是正方形，.ABaCD, A2=ZAEP, Zl=,延长 CP 交 AB 于 G, /.Z1 = ZEPGO要证乙1、42只要证乙AEP二EPG,由已知可知，E、F为 AB、BC的中点可证：ZXAED经ABFA,可得AF_LDE, P为垂足。假设乙 AEP=ZEPG, G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的美AF 1 PF键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得上=± =之，设PE为a, AD 2 PAPA为2a, PD为4a,因为AECD,可推得PE:PD=EG:CD=

6、1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，GAEP=4EPG成立。从分析的过程中得到 思路（2） t - = = - = I,： PG = -AE= -ABy:. AB=PC = CD-S-LJ- PD CD PC 424思路（3）:要证CP=CD,只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的中点连CH、PH,证：四边形AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AF1DE, 故CH_LDE,再证：CH平分PD,通过RtZk APO易证CH平分PD。证明方法（1）： E、F 为 AB、BC 的中点，ABCD 是正方形，/. AB=AD, ZB=ZDAE, BF=AE ADE妾 BAF, /.

7、 A ADE= Z EAP .乙 EAP+ 乙 DAP=90°,.乙 ADE+ Z DAP=90（ /.乙 APD=乙 APE=90°fAE 而一. ZADE=ZEAP, AAPEADPA,PF生=上设PE为4AP 2, . AP = 2， AP2 = PE PD,：. PD = 4a, ABCDEG PE 1AE t= ,= 1:2,CD PD 4 AB .G为AE的中点,PG=EG vZGEP=ZGPE, v ZGPE=Zlf ZGEP=Z24 1 = Z.2, CP=CD证明方法（2）（如图2）：取AD的中点为H,连CH、PH.ABCD是正方形，.BCAD, BC=A

8、D, F、H为BC、AD的中点,AFCH为平行四边形.，CHAF,由证明方法(1)可知 APJ_DE, »CH±P.在RtAPO中l PH为斜边中线，PH = -AD = DH ,.CH 垂直平分 PD, /.CP=CD. 2例4 ：。0|与OO2相交于点A, P是OQ2的中点(1)如图(1)如果AC切OCh于点A,交G)Ch于点C, D是AC的中点求证：PA=PD条割线交。Oi于点C,交于点B(2)如图(2)如果过点A作两圆的点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。图(1)图(2)分析(1):由已知可知，P为OQ2的中 点，D

9、为AC的中点，AC切于。02于点A。想到常用辅助线，连OQ、O2A, 由 OQ_LAC, O2A±AC,得 O|DC)2A,作 PG 02A 可证得 G 为 AD 中点， PG垂直平分AD,可证得PA二PD分析(2):通过观察发现PA=PD,理由是什么由已知条件，分别作OF，AC, PH1BC, O2F±AB, P为OQ2的中点，所以H为EF中点，要证：PD=PA,只要证：DH二AH,现在只要讦 DE二AF,因为 DE=CDCE, AF=EFAE,因为CE二AE,所以证CD=EF是本题的关键，而CO=BC,所以只要2证石尸= J_8C即可。2证明：在图中连OQ、O2A,作P

10、GO2A. D 为 AC 中点， /.OiDlAC.,AC切于。O2于点A,.O2A±AC.O2A#OiD/7pg.,.p为0Q2的中点， .G为AD的中点，且PG_LAD./. PA=PD.证明(2):作 OiE_LBC 于 E, PHJ_BC 于 H,(hF_LBC 于 F,.-.O1E#PH#O2. p为OQ2的中点， .H为EF的中点，E为AC的中点，F为AB的中点. / EF = AE+AF = -AC + -AB = -(AC+AB) = -BC,2222/ CD = -BC, 2CD=EF, AF=EFAE, DE=CDCE.AF=DE.EH二PH,.DH=AH, PH±AD.PA=PD.从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件 找出证题中有