初二数学培优之三角形的基本知识

1、初二数学培优之三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 在4ABC中，/ A=50°,高BE, CF交于O,则/ BOC=.东方航空杯”一一上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故

2、应注意符合题设条件的图形多样性12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形D.无法确定【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成底边的长为（）A. 17cmB. 5cmC. 5cm 或 17cm（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论【例3】 如图，BE是/ ABD的平分线，CF是/ ACD的平分线，BE与CF交于 G,若/ BDC=140° , / BGC=110° ,求/ A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：运用凹四边形的性质计算.FGDAEBC【例4】 在 ABC中，三个内角的度数均为正数，且/

3、Av/Bv/C, 4/C=7/A,求/ B的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把/ A, / C用/ B的代数式表示，建立关于/ B的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】（1）周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n 2）小段，每段的长不小于 1cm的整数，如果其中任意 3小段都不能拼成三角形，试求 n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1）,不妨设三角形三边为 a, b, c,且a b c,由条件及三角形三边关系定理可 确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值.对于（2）,因n段之

4、和为定值 150cm,故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有 2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角 形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了 2个三角形和3条边.能力训练1.设a, b , c是 ABC的三边，化简 a b c2 .三角形的三边分别为3, 1 2a, 8,则a的取值范围是3 .已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4,这个三角形是4.

5、如图,A+/B+/C+/ D+/ E 的度数为（按角分类）三角形. （“缙云杯"试题）DGABABCMBHCDECECDGMGMHFDABTDEEABCH5.如图（第5题）HM分另1J是/ AGH（第6题）/ CHG的角平分线，那么/AC（第9题）BEC等于（）（第7题）6.如图， ABC中，两外角平分线交于点 E,A. 1(901C. -(1807.如图，在A)A)ABC 中，BDB. 90D. 180则/1212BE分别是高和角平分线，点 F在CA的延长线上,FH，BE 交 BD 于 G交BC于H.下列结论:1，、一 一 ， / DBE = Z F; 2/BEF=/BAF+/C;

6、/ F= ： (/ BAC-/C);/ BGH = /ABE+/C.其中正确的是（A.)B.C.D.8 .已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（A. 6个B. 7个C.8个D. 9个9 .如图，将纸片 ABC沿着DE折叠压平，则（/1/A. / A=Z 1 + / 2B. Z A=- (/ 1 + /2)C. ZA=1 (/ 1+/2)3/1/D. / A=_ (/ 1 + Z 2)（北京市竞赛试题）10 .一个三角形的周长是偶数， 其中的两条边分别是 4和1 997,则满足上述条件的三角形的个数是（）A.1个B.3个C.5个D.7个（北京市竞赛试题）1

7、1 .如图，已知/ 3=/1 + /2,求证：/ A+Z B+Z C+Z D=180 °.（河南省竞赛试题）12 .平面内，四条线段 AB, BC, CD, DA首尾顺次连接，/ ABC=24°, /ADC=42°.（1） / BAD和/ BCD的角平分线交于点 M （如图1）,求/ AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，/ DAE的平分线和/ BCD平分线交于点 N （如图2）,求/ ANC.图1图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度 位于线段BE上.(1)证明：AB+AE>DB + DE;(2)证明：AB+AODB + D

8、C;(3) AB+BC+CA与2 (DA+DB + DC)哪一个更大？证明你的结论;(4) AB+BC+CA与DA + DB + DC哪一个更大？证明你的结论 .在下图中，E位于线段CA上，D(加拿大埃蒙德顿市竞赛试题)1 .已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4,但不是最短边，这样的三角形的个数有 个.(“祖冲之杯”邀请赛试题)2 .以三角形的3个顶点和它内部的 9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成 个没有公共部分 的小三角形.3 .4ABC中，/ A是最小角，/ B是最大角，且有 2/ B=5/A,若/ B的最大值是m ,最小值是n ,(上海市竞赛试题)(第4题)(第5题)5

9、 .如图，在 ABC中，/ A=96° ,延长BC至ij D, / ABC与/ ACD的平分线相交于 A1点，A1BC与AiCD的平分线相交于 A2点，依此类推，A4BC与 A4CD的平分线相交于 A5点，则 A5的大小是（）A.3°B. 5°C.8°D. 19.2°6 .四边形ABCD两组又为i AD, BC与AB, DC延长线分别交于点 E, F, /AEB, / AFD的平分线交于 点P./A=64° , / BCD =136° ,则下列结论中正确的是（）/EPF=100° ; / ADC + /ABC=16

10、0° ; / PEB+/ PFC+/ EPF=136° ;/ PEB+/PFC=136° .A.B.C.D.B7 .三角形的三角内角分别为 ，且，2 ,则 的取值范围是（）A. 3645 B. 4560 C. 6090 D. 4532（重庆市竞赛试题）8 .已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3,这样的三角形有（）A.4个B.5个C.6个D.7个（山东省竞赛试题）9 .不等边 ABC的两条高的长度分别为 4和12,若第三条高的长也是整数，试求它的长（第三十二届美国邀请赛试题）10 .设m, n , p均为自然数，满足 m n p且m n p

11、15,试问以m, n , p为三边长的三角形有多少个? 111 .锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的一，求满足4此条件的所有锐角三角形的度数.(汉城国际数学邀请赛试题)12 .如图1, A为X轴负半轴上一点， B为X轴正半轴上一点， C (0,-2), D (-2, -2) (1)求 BCD的面积；(2)如图2,若/ BCO = /BAC,作AQ平分/ BAC交y轴于P,交BC于Q.求证：/ CPQ=/CQP;(3)如图3,若/ ADC=Z DAC，点B在X轴正半轴上运动，/ ACB的平分线交直线 AD于E, DF / ACBCF 2 DMFE的值是否发生变化？证明你的结论交y轴于F, FM平分/ DFC交DE于M ,图313 .如图 1, A(0,m), B(n,0).且 m, n 满足 m 3 (2n 4)2 0.(1)求A, B的坐标；(2) C为