数学概念及其教学-最新教育文档

1、数学概念及其教学在中小学数学教学中, 概念的教学占十分重要的地位。正确地理解和掌握概念, 是学习和掌握性质、法则、公式等数学基础知识的前提。学生如果不能清晰地理解和掌握数学概念, 就不能很好地学习和掌握性质、法则、公式, 不能进行正确的判断和推理 , 也不能正确、迅速地进行计算。一、概念的一些基本知识概念是反映客观事物本质属性的思维形式, 它是人们在实践中对客观事物引起感知和印象的多次反复, 经过思考 , 借助比较、分析、综合等方法, 在认识上形成飞跃而产生的。1. 概念的内涵和外延表达概念特征的一切本质属性的总和称为概念的内涵。例如, “菱形”这一概念的内涵是 : 四边形、两组对边分别平行、

2、 邻边相等、对角线互相垂直平分等等。适合概念的一切对象的全体称为概念的外延。例如 , “三角形”这一概念的外延是 : 锐角三角形、 钝角三角形、 直角三角形、等腰三角形、等边三角形 , 不等边三角形等等。在概念的内涵和外延之间存在着密切的联系 , 也就是说 , 如果概念的内涵扩大了 , 那么它的外延就缩小 ; 反之 , 如果概念的外延扩大 , 那么 , 它的内涵就缩小。 例如 , 把算术数的集合 ( 零、正整数、正分数 ) 的外延扩大 , 增加负整数、负分数 , 这样 , 正整数、正分数、零、负整数、负分数的集合就表达了一个新概念“有理数” , 有理数的内涵小于算术数的内涵。例如: 性质 a+

3、ba在算术数中恒成立 , 但在有理数中 , 性质 a+ba不是恒成立。2. 给概念下定义揭示概念的内涵的过程 , 也就是列举概念本质属性的过程 , 称作给概念下定义。每个概念都有很多属性 , 企图从所有属性中把本质属性一一挑出来 , 是件极为困难的事。逻辑学规定了下定义的方式 , 通常采用“属加种差” , 即通过揭示其最邻近的属概念和种差 ( 在同一属概念中 , 被下定义的概念和其他种概念的根本差别 ) 来给概念下定义。例如 : “弦” , 最邻近的属概念是“线段” , “两个端点在同一圆上”是种差 , 所以 , 我们给“弦”下定义为 : “两个端点在同一圆上的线段叫弦”。但是 , 并非所有的

4、概念都可以用属加种差的方式来定义。这是因为属加种差定义要利用前面已知的概念 , 而这些概念又要依据前面的已知的概念 , 这样就必然存在着某些概念 , 在它之前没有任何已知概念 , 这就是所谓“原始概念” , 这些概念只能用描述的方法来给出 , 也有人说原始概念无定义。例如 : “点”、“线”、“面”、“集合”等等。还有一些概念 , 我们将其发生 ( 或称生成 ) 的特有过程作为种差, 因而称这为发生定义 ( 或生成定义 ) 。例如 , “从一点引出两条射线 , 就组成一个角” , “从三角形的一个顶点向它对边作垂线 ,顶点与垂足间的线段, 叫做三角形的高线”。还有以事物间的相互关系作为种差的定

5、义, 则称之为关系定义。 例如 , “能被 2 整除的数叫做偶数”。以上是给概念下定义的三种常用方法, 但不管是哪种方法,都应遵守以下规则:(1) 定义应是相称的。 这就是说 , 定义项与被定义项应当有同一外延。这就要求尽可能选取最邻近的属概念 , 然后用属加种差的方式来下定义。如果不是选取最邻近的“属” , 就容易犯不相称的毛病。如把“等腰梯形”定义为“有一组对边相等的四边形”就是不相称的 ; 如果定义为“有一组对边平行 , 另一组对边不平行但相等的四边形”虽然可以 , 但定义表达较冗长 ; 定义为“两腰相等的梯形叫等腰梯形”则是相称的。(2) 定义不应是恶性循环的。 这就是说 , 如果概念

6、 A 借助于概念 B 来定义 , 那么概念 B 就不能借助于概念 A 来定义。(3) 定义应当尽可能不是否定的。 这就是说 , 一般不用否定的形式来给概念下定义。这是因为 , 定义是揭示某种事物具有什么样的本质属性的 , 如果用否定形式下定义 , 只说明该事物不是什么, 而不能说明该事物究竟是什么。例如 : “梯形不是平行四边形” , “等腰梯形不是直角梯形”等等 , 都不能算作定义。(4) 定义应当是简明清晰的。 这就是说 , 定义中不应有多余的词语。被定义的概念往往有许多属性 , 而定义指出的仅是其本质属性而非一切属性 , 凡可以由本质属性推出的属性都不要放在定义中。3. 概念的划分为了弄

7、清楚某概念所包含的事物, 往往要对概念进行划分。概念的划分是揭示概念外延的一种逻辑方法。划分概念有三个要素: 母项、子项和划分的根据。 母项是被划分的属概念 , 子项是划分所得的各个概念 , 划分的根据是借以划分的标准。划分还有一次划分和多次划分。但每一次划分都应遵守以下规则:(1) 分应当是相称的。 也就是说 , 划分所得的各个子项的外延之和必须等于母项的外延。(2) 划分的每个子项应当是相斥的。 也就是说 , 划分后不能有一些事物既属于某个子项 , 又属于另一个子项。(3) 一次划分只能根据一个标准。概念的划分服务于一定实践的需要 , 需要不同 , 划分的标准就不同 ( 如前面介绍的“三角

8、形”的划分 ), 但每次只能按一个标准来划分 , 否则 , 划分的结果就会混淆 , 不能达到明确概念的目的。二、概念教学之浅见在概念教学的过程中应注意 :1. 对于原始概念 , 只需要通过实例 ( 学生所熟悉的例子 ), 帮助学生认识和理解这些概念即可 , 不必多加解释 , 以免画蛇添足。2. 对于发生式概念 , 要紧紧抓住生成过程这个特点 , 让学生亲手描绘或体验 , 并用语言把这个过程叙述清楚。3. 多数概念是通过揭示其内涵来定义的 , 对于这些概念 , 则应通过实例 , 帮助学生弄清这些概念“属”是什么 , “种差”是什么 , 在此基础上再给概念下定义。4. 对有从属关系的概念 , 应使学生认识它们的从属于关系。因为 , 只有把新概念纳入有关的已知概念的体系里 , 才能系统地掌握概念之间的内在联系