2019福建高考压轴卷-数学(理)

1、2019福建高考压轴卷-数学(理)注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多 理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中，问题大多具有委 婉性，尤其是历年真题部分， 在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。本试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题，第二卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，总分值

2、150分.考试时间120分钟.本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2、考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域黑色线框内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效 .3、选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 非选择题答案使用 0、5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4、做选考题时，考生按照题目要求作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据、 、V的标准差：x1

3、x2xn彳：,其中X为样本平均数;s = Jn& -X)2 +(X2 -X)2 +.+ (Xn -X f柱体体积公式：V =sh，其中S为底面面积，h为高；锥体体积公式：1 ，其中s为底面面积，h为高；V Sh3,其中R为球的半径.3球的表面积、体积公式：S = 4江R2，4一 V 二 R3第一卷选择题共 50分【一】选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有 项为哪一项符合题目要求的.1.复数 4=cos23、isin23和复数z2 =cos37+isin37 那么乙 马为()222222222.为等差数列，假设a + a + a _ 9，那么 s

4、_03 a4口8 DOg A. 24 B. 27 c.15 D. 545.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，假设第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，假设样本容量为160,那么中间一组即第五组的频数为A12B24C36D484 . I是直线，q是平面，且a u a ,那么 a, iA、充分不必'要条件 B>必要不充分条件 C、充要条件 D既不充分也不必要条件5 .一个几何体的三视图如下图 （单位长度：cm）,那么此几何体的表面积是左视图第6题图A. 80 16 .2 cm2B. 84cm2C. 96 16 .2 cm2D

5、. 96cm26 .函数y =3sin6xg >0）在区间0,n恰有2个零点，那么切的取值范围为（）A、,1B、1 _ .：二 2 1 .： 3dk： 37.假设- f - T|a| = 1,|b| = 2,c =a b且口 a，那么1ctb的夹角为（）A 30° B、60° C 120° D、1508 . 0为坐标原点，点M的坐标为（a 1） a>0，点N（x y）的坐标x、y满足不等式组x+2y-3芸0.假设当且仅当x=3时，OM ON取得最大值，那么a的取值范围是x 3 y - 3 - 0y=0y£1()A. 1 B. 1C. 1 D(

6、0,-)匕，二) 。初(，二) 33229 .在平面直角坐标系中， 定义上 为两点口/ ，c/ 、之间 d(P,Q) =|x1 X2 + y1 y2P(x1,y1) Q(x2,y2)的“折线距离”.假设°为坐标原点，那么°与直线2x + y _ 2痣=0上一点的“折线距离”的最小值是A-UD，10.x2x3f(x) =1 x- 234101 ,x x '+410123x xg(x) =1 -x -234 x +4y-oi ,假设函数x101f(x) 有隹 姿八、x1 的数 g(x) 有隹 姿八、x2 , 那八有口A、x1(0,1),x2(1,2)B、x1(-1,0)

7、,x2(1,2)C、xi(0,1),x2(0,1)axi(-1,0),x2(0,1)第二卷非选择题共 100分【二】填空题：本大题共 5小题，每题4分，共20分、将答案填在答题卡的相应位置.11 .假设集合 m=- m2,集合n=2,4, M Un =1,2,4，那么实数m的值的个数是12 .在区间-3 , 5上随机取一个数x ,那么x亡1 , 3的概率为 13 .记。的展开式中第k项的系数为 廿.一而=/v + 2、nak,右a3 =5a3,则 n (x ) x14 .设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是 15 .洛萨 科

8、拉茨LotharCollatz,1910 、7、6-1990、9、26是德国数学家，他在 1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半即 n；如2果n是奇数，那么将它乘 3加1即3n+1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1、如初始正整数为 6,按照上述变换规那么，我们得到一个数列：6, 3,10, 5, 16, 8, 4, 2, 1、对科拉茨LotharCo11atz 猜想，目前谁也不能证明，更不能否定、现在请你研究：如果对正整数 n首项按照上述规那么施行变换注：1可以多次出现后的第八项为 1,那么n的所有可能的取值为 【三】解答题：本大题共 6小题

9、，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 .(本小题总分值13分)工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记£表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.(I )求报废的合格品少于两件的概率；(n)求'的分布列和数学期望.17、(本小题总分值13分)函数兀 3、f (x) = 3sin xcos(x 一) 一 34(I )求函数 “x)的单调递增区间；(口)MBC中,角a,b,c所对的边长分别为

10、a,b,c，假设f(A) = 0,a = J3,b = 2'求 AABC的面积 S、18 .本小题总分值13分椭圆v2 x2 常数m、nWR+，且mn的左右焦点分别为 匚匚，M N为短 x _y_ 1n RF1,F2m n轴的两个端点，且四边形F1MFN是边长为2的正方形、(I )求椭圆方程；(n)过原点且斜率分别为 k和一kk> 2的两条直线与椭圆22的交点为 A R。上=1m nC D按逆时针顺序排列，且点 A位于第一象限内，求四边形 ABCD勺面积S的最大值、19 .本小题总分值13分在四锥PABCD中，侧面PCD_L底面ABCD，PD _L CD，底面ABCD是直角梯形，

11、AB/CD 5 /ADC=90； AB = AD = PD=1，CD=2.(I )求证：BC _L平面PBD ；(n )设E为侧棱PC上一点，PE =九PC，试确定九的值，使得二面角 e _ bd - P的大小为45 .20、本小题总分值14分设函数2 八2 , 丫、0、f (x) = x(x -1) x 0(I)求f (x)的极值；(n)设0<aW记f(x)在©a上的最大值为F(a),求函数G(a)_ F(a)a的最小值;出设函数 g(x)=lnx-2x2 + 4x+t t g(x)<x + m< f (x)在(0, f上恒成立的实数 m有且只有一个，求实数 m和

12、t的值、21.此题有1、2、3三个选答题，每题 7分，请考生任选 2题作答，总分值14分.如果多做，那么按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作1本小题总分值 7分选修42:矩阵与变换二阶矩阵M有特征值九=3及对应的一个特征向量-1，并且矩阵M对应的变换将点e二一1(-1,2)变换成(9,15).求矩阵M2本小题总分值 7分选修4-4 :坐标系与参数方程极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合、假设曲线p的极坐标方程为：口 o . 0，曲C1： = 2sin 二线C2的参数方程为：1rx =2cos 8 为参数，曲线C与C2交于M N

13、两点，求M N两2.3 .一 y sin 二3点间的距离、3本小题总分值 7分选修4 5:不等式选讲不等式1 +t +11Tl当2x | +| x -1对任意实数t恒成立，试求实数 x的取值范围、2018年福建省高考压轴卷数学理答案第一卷选择题共 50分【一】选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有 项为哪一项符合题目要求的.1 .复数 ”+ 和复数J+. 那么为()Zi =cos23 sin23z2 = cos37 isin37 乙 Z2ABG / c /1 、3. 31 .13:31 .-i -i - - - i - - i22222222解析：A;2.

14、为等差数列，假设a + a + a _ 9，那么 s _03 a4口8 DOg A. 24 B. 27 c.15 D. 54解析：B；5.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，假设第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，假设样本容量为160,那么中间一组即第五组的频数为A12B24C36D48解析：C;4 . I是直线，q是平面，且a u a ,那么 a, iA、充分不必'要条件 B>必要不充分条件 C、充要条件 D既不充分也不必要条件解析：B；5 .一个几何体的三视图如下图（单位长度：cm）,那么此几何体的表面积是左视图第6

15、题图A. 80 16 .2 cm2B. 84cm2C. 96 16 .2 cm2D. 96cm2解析：A;6 .函数y =3sin6xg >0）在区间0,n恰有2个零点，那么切的取值范围为（）A、, 1B、1 _ .：二 2 1 .： 3dk： 3解析：B；7.假设- f - T|a| = 1,|b| = 2,c =a b且口 a，那么3b的夹角为（）A 30° B、60° C 120° D、150°解析：A；8 . o为坐标原点，点M的坐标为（a 1） a>0，点N（x y）的坐标x、y满足不等式组x+2y-3E0.假设当且仅当 x 3y-

16、3 -0y <1仅=3时，OM oN取得最大值，那么y =0a的取值范围是()A. 1 B. 1C. 1 D(0,-)匕，二)(0，T) V，二)3322解析：D;为两点D/ ，C/ 、之间 y1-y2P(x1,y1) Q(x2,y2)9 .在平面直角坐标系中，定义乂/c小、,d(P,Q) =|xi -X2 十的“折线距离”.假设°为坐标原点，那么°与直线2x + y _ 2痣=0上一点的“折线距离”的最小值是02A，5B.2石0空4解析：A;10.234XXXf (x) =1 X - 一234101 ,234X 'XXX g(x) =1 -x -101234

17、Y101 ,假设函数X101f(x) 有隹 姿八、xi 的数 g(x) 有隹 姿八、x2 , 那八有口A、x(0,1),X2(1,2)B、X1(-1,0),X2(1,2)C、Xi(0,1),X2(0,1严Xi(-1,0),X2(0,1)解析：B；第二卷非选择题共100分【二】填空题：本大题共 5小题，每题4分，共20分、将答案填在答题卡的相应位置.11 .假设集合 m=- m2,集合n=2,4, M Un =1,2,4，那么实数m的值的个数是解析：4.12 .在区间-3 , 5上随机取一个数x ,那么X亡1 , 3的概率为 5 -1解析：一.413.记。的展开式中第k项的系数为廿.一而=2 n

18、ak,右a3 =5a3,则 n (x 一)x解析：6.14 .设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线离心率是 解析：近+1、215 .洛萨 科拉茨LotharCollatz,1910 、7、6-1990、9、26是德国数学家，他在 1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半即 n；如果n是奇数，那么将它乘 3加1即3n+1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1、如初始正整数为 6,按照上述变换规那么，我们得到一个数列：6, 3,10, 5, 16, 8, 4, 2, 1、对科拉茨LotharC

19、o11atz 猜想，目前谁也不能证明，更不能否定、现在请你研究：如果对正整数n首项按照上述规那么施行变换注：1可以多次出现后的第八项为1,那么n的所有可能的取值为 解析：12,3,16,20,21,1284.【三】解答题：本大题共 6小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 .(本小题总分值13分)工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共 有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记£表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.(I )求报

20、废的合格品少于两件的概率；解析:(n)求的分布列和数学期望.( 1 )12P 二 15 15(D)01234P1152151541513121418E=01 - 234 二 15155153 317、(本小题总分值13分)函数.f (x) = 3sin xcos(x -)(I )求函数f(x)的单调递增区间；(口)AABC 中，角 a,B,C所对的边长劣力J为 a,b,c 5彳助取 f (A) = 0，a = J3,b = 2,求 aabc的面积 s、解析：I冗冗 3f (x) = 3 sin x(cos xcos- - sin xsin ) 一334sin xcosx 一 sin x223

21、.八 3 八s sin 2x cos2x4 4 =-3sin(2x 一)nJin2k -： - - _ 2x _ 2k -： 一, k 三 Z232 寸5nnk -： x m k 二 一,k Z1212所以函数frs的单调递增区间为 - f(x).k 二ji12,kn + , k w Z12”f(A)=0'4sin(2AW_或 jiA- -3b ，得sin B = 1，那么sin Asin B所以 1S = -absin C218.本小题总分值13分椭圆"2 v2-上=1m n常数m、n乏r+,且m a n J的左右焦点分别为匚匚，M N为短F1 , F2轴的两个端点，且四边

22、形FiMFN是边长为2的正方形、(I )求椭圆方程；(n)过原点且斜率分别为k和一kk> 2的两条直线与椭圆22 的交点为A R。工=1 m nC D按逆时针顺序排列，且点 A位于第一象限内，求四边形 ABCD勺面积S的最大值、 解析：(I )依题意：，,.m-n=n m=42、,n =2:2' n=2所求椭圆方程为 v2,2.土 L =142(nWA(x,y).由 y=kx 得 2 2kx2 y2. " j . 2k2 , .1 2k2'J =142根据题设直线图象与椭圆的对称性，知二421 2k22k.1 2k216k1 2k2(k - 2).c 16S=1

23、 (k-2).1 2k k设1那么M (k) =2k -, M (k) =2 k M(k)在kw2-)时单调递增,1当k圭2时，1，M (k) =2-7 0kkM(k)"n =M(2) =9，当k之2时，16 32Smax = "9 = "9219.本小题总分值13分在四锥P abcd中，侧面PCD _L底面ABCD，PD _l CD，底面ABCD是直角梯形， ABCD，NADC =90 ，AB = AD = PD =1，CD =2.(I )求证：bc,平面pbd ;(n)设e为侧棱pc上一点，pE =?、pC，试确定 人的值，使得二面角 e _ bd _ p的大

24、小为45 .解析：(I )平面PCDL底面 ABCD PD± CD所以PDL平面 ABCD所以PD±AD.如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.那么 A1, 0, 0，B1, 1, 0，C0, 2, 0，P0, 0, 1DB =(1,1,0),BC = (-1,1,0).所以BC DB =QBC _ DB,又由PD!平面 ABCD可得PD1 BG 所以BC1平面PBQ(n )平面PBD的法向量为BC =(-1,1.0),所以_PC =(0,2,T),PE =KPC&(0,1) 'E(0,2%1一九广设平面 QBD的法向量为 n= a, b, c，DB

25、 =(1,1,0), DE =(02,1-)DB =0'DQ0,得所以,a+b=02九b+(1_ 九)c = 0144由-解得. o二 n BC = 2 一1cos = -ii-4 同BC20、本小题总分值14分设函数 f (x) =x(x1)2，X A0、(I)求f (X)的极值;(n)设0<aW记/(刈在(0,a上的最大值为F(a”求函数G(a)_ F(a)a的最小值;出设函数 g(x) =in x-2x2+4x+tt为常数，假设使g(x)wx + mw一 在f(x)住(0,依)上恒成立的实数 m有且只有一个，求实数 m和t的值、解析：(I )屋, 、S 八令”、C f x)

26、=：3x-1 x -1 f x)=0Xi-,x2 -1 3一、区间 f x:,I , 分别单调增，单调减，单调增， 0,1 11,1 , V 二,3 , 3,于是当有极大值x=1 极小值 f(1) = 0，一、区间f x分别单调增,单调减，单调增,所以当1时,0 ： a -3F24,特别当Ga 二二1 一91时,a = 一3有4；G a91、，那么F 1.，所以对任意的F a = f 13443G a =a 27a 270 <a W1，G(a)minc 上 、上恒成立，0,二田由得2.Rx = x m-gx2 x 3xnxm-hi x =(4x +1 xx 1)得 xw (0,1)时，h；(x)<0' xw(1,z )时'h；(x)>0'故 x = 1 时，函数一取到最小值.从而+1 ；同样的，一 13 c 2 cA xm -t 1h2 x)= f x x-m=x -2x - m _ 0在，c上 上恒成立，由0,二h2 x)=3x x -4"时,3h2 < 0 '<4x ，二3,时,h20,故4时,3函数,