第7章标准期权定价方法

1、第第7章章 标准期权的定价方法标准期权的定价方法n期权的定价关系给出了期权价值的上下限，并期权的定价关系给出了期权价值的上下限，并没有给出期权的精确价值。本章将给出股票期没有给出期权的精确价值。本章将给出股票期权、外汇期权、期货期权定价模型，它们的推权、外汇期权、期货期权定价模型，它们的推导过程在以后章节介绍。导过程在以后章节介绍。n7.1 期权定价模型期权定价模型n7.1.1 不派息股票期权定价不派息股票期权定价n有很多股票不派息，对于不派息股票期权定价有很多股票不派息，对于不派息股票期权定价使用使用Black-Scholes(1973)期权定价模型。期权定价模型。因为标的资产股票不派息，股

2、票的预期增长率因为标的资产股票不派息，股票的预期增长率等于无风险利率。欧式期权定价模型为：等于无风险利率。欧式期权定价模型为： n作者（作者（2006）认为不派息美式期权的价值是欧式期权）认为不派息美式期权的价值是欧式期权价值的价值的 倍。倍。)()(21dNXedSNcrTE)()(12dSNdNXeprTE)()(21dXNdNSecrTA)()(12dNSedXNprTATTrXSd)2/()/ln(21Tdd12rTen7.1.2 派息股票期权定价派息股票期权定价n对于派息率为对于派息率为 股票，股票的预期增长率为股票，股票的预期增长率为 。欧式。欧式看涨和看跌期权用看涨和看跌期权用M

3、erton(1973)定价模型定价模型.n作者（作者（2008）认为美式期权定价模型为：）认为美式期权定价模型为：)()(21dNXedNSecrTqTE)()(12dNSedNXepqTrTETTqrXSd)2/()/ln(21Tdd12qq)()(21)(dXNdNSecTqrA)()(1)(2dNSedXNpTqrAn7.1.3 外汇期权定价外汇期权定价n根据风险中性定价原则，外汇预期收益率等于本币无风险根据风险中性定价原则，外汇预期收益率等于本币无风险利率减去外币无风险利率。利率减去外币无风险利率。Garman和和Kohlhagen(1983) 以及以及Biger和和Hull（1983

4、）提出欧）提出欧式外汇期权定价模型。式外汇期权定价模型。)()(21dNXedNSecTrTrEdf)()(12dNSedNXepTrTrEfdn作者（2009）认为美式外汇期权定价模型为：美式外汇期权定价模型为：n其中：其中：TTrrXSdfd)2/()/ln(21Tdd12)()(21)(dNXedNSecTrTrrAdfd)()(1)(2dNSedXNpTrrAfdn7.1.4 期货期权定价期货期权定价n根据风险中性假设，根据风险中性假设，Black (1976)给出欧式期货期权给出欧式期货期权定价模型。定价模型。n作者（作者（2008）认为美式期货期权定价模型为：）认为美式期货期权定价

5、模型为：n其中其中)()(21dXNdFNecrTE)()(12dFNdXNeprTE)()(21dXNdFNcA)()(12dFNdXNpATTXFd)2/()/ln(21Tdd12n7.2 欧式期权风险度量欧式期权风险度量n影响欧式期权价值的因素有六个，即标的资产影响欧式期权价值的因素有六个，即标的资产的当前价格的当前价格 、期权的执行价格、期权的执行价格 、到期时、到期时间间 、无风险利率、无风险利率 、标的资产对数收益率、标的资产对数收益率的标准差的标准差 和标的资产的收益率和标的资产的收益率 。如果执。如果执行价格为常数，我们想知道当五个因素变化时，行价格为常数，我们想知道当五个因素

6、变化时，期权的价值如何变化。欧式看涨和看跌期权定期权的价值如何变化。欧式看涨和看跌期权定价模型对五个因素求偏导，就可以考察五个因价模型对五个因素求偏导，就可以考察五个因素变化对期权价值的影响。素变化对期权价值的影响。 SXTrqn7.2.1 标的资产价格的变化标的资产价格的变化n希腊字母希腊字母 (Delta)是期权的价值对标的资产求一阶是期权的价值对标的资产求一阶偏导数，表示期权的价值与标的资产价值关系曲线的偏导数，表示期权的价值与标的资产价值关系曲线的斜率。斜率。 Delta值越大，衍生证券价值的变化对标的资值越大，衍生证券价值的变化对标的资产的变化越敏感。下面仅介绍派息股票欧式期权的产的

7、变化越敏感。下面仅介绍派息股票欧式期权的Delta值。值。n（1） 派息率为派息率为 股票（或股票指数）欧式期权的股票（或股票指数）欧式期权的Delta值值n派息率为派息率为 股票指数欧式看涨期权的股票指数欧式看涨期权的 值为：值为：qq0)(1dNeScqTEcE0)(1dNeSpqTEpEn其中：其中：n欧式看涨期权的欧式看涨期权的Delta值大于零，表示标的资产价格越值大于零，表示标的资产价格越大，欧式看涨期权的价值越大大，欧式看涨期权的价值越大n欧式看跌期权的欧式看跌期权的Delta值小于零，表示标的资产价格越值小于零，表示标的资产价格越大，欧式看跌期权的价值越小。大，欧式看跌期权的价

8、值越小。n如果标的资产价格增加如果标的资产价格增加1元，欧式看涨期权价格上涨元，欧式看涨期权价格上涨 n ，欧式看跌期权下跌，欧式看跌期权下跌 元。元。n美式期权也有类似的性质。美式期权也有类似的性质。dxedNdx122121)(EpEcn例题例题7-1 计算不派息股票欧式看涨期权的计算不派息股票欧式看涨期权的 值值n股票的当前价格为股票的当前价格为10元元/股，执行价格为股，执行价格为10元元/股，股，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为，期权的期限为1年，年，无风险利率为无风险利率为2%。求欧式看涨期权的。求欧式看涨期权的 值。值。n解：股票价格每增加股票

9、价格每增加1元，欧式看涨期权的价值增加元，欧式看涨期权的价值增加0.391元；相反股票价格下跌元；相反股票价格下跌1元，期权的价值也下跌元，期权的价值也下跌0.391元。元。 TTrXSd)2/()/ln(212 . 012 . 01)2/2 . 002. 0()10/10ln(2391. 0)2 . 0()(1NdNEcn（2） 欧式外汇期权的欧式外汇期权的 值值 n（3）欧式期货期权的）欧式期货期权的 值值 0)(1dNeTrcfE0)(1dNeTrpfE0)(1dNerTcE0)(1dNerTpEn 7.2.2 7.2.2 期权价格变化百分比期权价格变化百分比n期权的期权的 （EtaEt

10、a）值是期权价格的变化率与标的资产价）值是期权价格的变化率与标的资产价格变化率之比，是反映标的资产风险对期权风险影响格变化率之比，是反映标的资产风险对期权风险影响的重要指标。的重要指标。n如果如果 ，相当于标的资产每增加，相当于标的资产每增加1%，欧式看，欧式看涨期权的价值上涨涨期权的价值上涨15%。n看涨期权价值的变化方向与标的资产的变化方向相同。看涨期权价值的变化方向与标的资产的变化方向相同。n看跌期权价值的变化与标的资产的变化方向相反。看跌期权价值的变化与标的资产的变化方向相反。%15Ec1)(/1EqTEcEEccSdNecSSdScdcEE1)(/1EqTEpEEppSdNepSSd

11、SpdpEEn7.2.3 资产价格变化引起资产价格变化引起 的变化的变化 n（1） 派息率为派息率为 股票指数欧式期权的股票指数欧式期权的 值值 n希腊字母希腊字母 （Gamma）表示，是期权的价值对标的）表示，是期权的价值对标的资产的二阶偏导数。资产的二阶偏导数。n根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，二者的根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，二者的 值相等。值相等。n当期权盈亏平衡时，当期权盈亏平衡时， 达到最大值，也就是说平价期达到最大值，也就是说平价期权最难套期保值。权最难套期保值。TSdneqTE)(1qn例题例题7-2 计算不派息股票欧式期权的计算不派息股票欧式期权的 值值n股票

12、的当前价格为股票的当前价格为10元元/股，执行价格为股，执行价格为10元元/股，股，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为，期权的期限为1年，年，无风险利率为无风险利率为2%。计算欧式期权的。计算欧式期权的 值。值。 n解：股票价格每增加解：股票价格每增加1元，参数元，参数 增加增加0.078。1561. 021)(2121dedn2 . 01d078. 012 . 0101561. 0)(1TSdnEn（2） 外汇欧式期权的外汇欧式期权的 值值n n（3）期货欧式期权的）期货欧式期权的 值值 TSdneTrEf)(1TSdnerTE)(1n7.2.4 利率变化对

13、期权价值的影响利率变化对期权价值的影响n利率变化对期权价值的影响用利率变化对期权价值的影响用 （Rho）表示，）表示，是期权价值对无风险利率求一阶偏导数。是期权价值对无风险利率求一阶偏导数。n欧式看涨期权的欧式看涨期权的Rho值大于零，看跌期权的值大于零，看跌期权的Rho值小于零。无风险利率增加，看涨期权的值小于零。无风险利率增加，看涨期权的价值增加，看跌期权的价值降低。价值增加，看跌期权的价值降低。r0)(2dNTXercrTErcE0)(2dNTXerprTErpEn例题例题7-3 计算不派息股票欧式期权的计算不派息股票欧式期权的 值值n股票的当前价格为股票的当前价格为10元元/股，执行价

14、格为股，执行价格为10元元/股，股，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为，期权的期限为1年，年，无风险利率为无风险利率为2%。计算欧式期权的。计算欧式期权的 值。值。n解：无风险利率每增加解：无风险利率每增加1%元，看涨期权的价值增加元，看涨期权的价值增加5.10%。2 . 01d012 . 02 . 012Tdd5 . 0)0()(2 NdN10. 55 . 0110)(102. 02edNXTerTrcEn7.2.5 收益变化对期权价值的影响收益变化对期权价值的影响n美式期权价值对收益率变化的偏导数为：美式期权价值对收益率变化的偏导数为：n看涨期权价值的变化

15、与收益率的变化方向相反，也就看涨期权价值的变化与收益率的变化方向相反，也就是说收益率越高，标的资产的现值越小，看涨期权的是说收益率越高，标的资产的现值越小，看涨期权的价值越小。价值越小。 n看跌期权价值的变化与收益率的变化方向相同，也就看跌期权价值的变化与收益率的变化方向相同，也就是说收益率越高，标的资产的现值越大，看跌期权的是说收益率越高，标的资产的现值越大，看跌期权的价值越大。价值越大。0)(1dNTSeqcqTEqcE0)(1dNTSeqpqTEqpEn7.2.6 波动率变化对期权价值的影响波动率变化对期权价值的影响n波动率变化对期权价值的影响用波动率变化对期权价值的影响用 （Vega）

16、表示。是）表示。是期权价值对标准差求一阶偏导数。期权价值对标准差求一阶偏导数。n根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，看涨期权根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，看涨期权和看跌期权的和看跌期权的 值相等。值相等。n期权的值为正，说明无论是看涨期权还是看跌期权，期权的值为正，说明无论是看涨期权还是看跌期权，波动率越大，期权的价值越大。因为标的资产的波动波动率越大，期权的价值越大。因为标的资产的波动越大，标的资产的到期价格上涨（或下降）越大，看越大，标的资产的到期价格上涨（或下降）越大，看涨涨(或看跌或看跌)期权的价值越大。期权的价值越大。TdnSeqTE)(1n例题例题7-4 计算不派息股票欧

17、式期权的计算不派息股票欧式期权的 值值n股票的当前价格为股票的当前价格为10元元/股，执行价格为股，执行价格为10元元/股，股，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为，期权的期限为1年，年，无风险利率为无风险利率为2%。计算欧式期权的。计算欧式期权的 值。值。n解：标的资产对数收益率的波动率每增加解：标的资产对数收益率的波动率每增加1%，看涨，看涨和看跌期权的价值分别增加和看跌期权的价值分别增加1.561%。n 2 . 01d1561. 0)(1dn561. 11561. 0110)(1dnTSEn（2）欧式外汇期权的）欧式外汇期权的 值值n（3）欧式期货期权的）

18、欧式期货期权的 值值 TdnSeTrEf)(1TdnSerTE)(1n7.2.7 期限变化对期权价值的影响期限变化对期权价值的影响n期限变化对期权价值的影响用希腊字母期限变化对期权价值的影响用希腊字母 （Theta）表示，是期权价值对期限的一阶偏导数，表示期权的表示，是期权价值对期限的一阶偏导数，表示期权的期限与期权价值关系曲线的斜率。单个期权的参数大期限与期权价值关系曲线的斜率。单个期权的参数大多数情况为负数，也就是说，越临近到期日，不确定多数情况为负数，也就是说，越临近到期日，不确定因素就越少，期权越不值钱。该参数又称时间衰变因素就越少，期权越不值钱。该参数又称时间衰变（time deca

19、y）参数。）参数。n（1）派息率为）派息率为 股票指数欧式看涨期权的股票指数欧式看涨期权的 值值q)()(2)(211dNrXedNqSeTdnSerTqTqTcEn看涨期权的看涨期权的 值由三项组成。第一项表示期权的期限值由三项组成。第一项表示期权的期限越长，波动率会越大，期权的价值上升。第二项可正越长，波动率会越大，期权的价值上升。第二项可正可负，当标的资产派息时，第二项为负，期权的价值可负，当标的资产派息时，第二项为负，期权的价值下降。当标的资产需要支付持有成本时，第二项为正，下降。当标的资产需要支付持有成本时，第二项为正，看涨期权的价值增加。第三项为正，表示时间越长执看涨期权的价值增加

20、。第三项为正，表示时间越长执行价格越小。行价格越小。n（2）派息率为）派息率为 股票指数欧式看跌期权的股票指数欧式看跌期权的 值值 n n看跌期权的看跌期权的 值也由三部分组成，第一项为正，随着值也由三部分组成，第一项为正，随着期权期限的延长，波动率会引起看跌期权价值的增加。期权期限的延长，波动率会引起看跌期权价值的增加。如果标的资产派息，标的资产的现值下降，看跌期权如果标的资产派息，标的资产的现值下降，看跌期权的价值上升。第三项为负，表示期限越长，推迟了执的价值上升。第三项为负，表示期限越长，推迟了执行期权的时间，这时降低了看跌期权的实际价值。行期权的时间，这时降低了看跌期权的实际价值。 q

21、)()(2)(211dNrXedNqSeTdnSerTqTqTpEn例题例题7-5 计算不派息股票欧式期权的计算不派息股票欧式期权的 值值n股票的当前价格为股票的当前价格为10元元/股，执行价格为股，执行价格为10元元/股，股，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为，期权的期限为1年，年，无风险利率为无风险利率为2%。计算欧式期权的。计算欧式期权的 值。值。 n解：当期权的期限增加解：当期权的期限增加1年时，看涨期权的价值增加年时，看涨期权的价值增加0.26元，看跌期权的价值增加元，看跌期权的价值增加0.15元。元。2 . 01d1561. 0)(1dn02d5

22、. 0)(2dN26. 05 . 01002. 00122 . 01561. 010102. 010eeEc15. 05 . 01002. 00122 . 01561. 010102. 010eeEp7.3 美式期权风险度量美式期权风险度量n由于美式期权是欧式期权的由于美式期权是欧式期权的 倍，标的资产价格对倍，标的资产价格对美式期权价值的影响美式期权价值的影响 、期权价值变化率、期权价值变化率 、 对标对标的资产的变化率的资产的变化率 、利率对期权价值的影响、利率对期权价值的影响 、收益、收益率对期权价值的影响率对期权价值的影响 、波动率对期权价值的影响、波动率对期权价值的影响 是欧式期权度

23、量参数的倍是欧式期权度量参数的倍 。只有期限对美式期权价。只有期限对美式期权价值的影响与欧式期权差别较大。值的影响与欧式期权差别较大。 rTerqrTe)()(2)(1)(1)(dNSeqrTdnSeTqrTqrcA)()(2)(1)(1)(dNSeqrTdnSeTqrTqrpAn本章小结本章小结 n在期权参数相同的情况下，美式期权的价值大于欧式在期权参数相同的情况下，美式期权的价值大于欧式期权的价值。期权的价值。n标的资产越大期权的价值越大。标的资产越大期权的价值越大。n利率越高，看涨期权的价值越大，看跌期权的价值越利率越高，看涨期权的价值越大，看跌期权的价值越小。小。n标的资产的收益率越高

24、，看涨期权的价值越小，看跌标的资产的收益率越高，看涨期权的价值越小，看跌期权的价值越大。期权的价值越大。n标的资产的波动率越大，期权的价值越大。标的资产的波动率越大，期权的价值越大。n期权的期限越长，期权的价值越大。期权的期限越长，期权的价值越大。附录附录7A 恒等式恒等式n为了方便欧式和美式期权风险参数的推导，下面介绍为了方便欧式和美式期权风险参数的推导，下面介绍几个恒定式。这几个恒等式既适用于欧式期权定价公几个恒定式。这几个恒等式既适用于欧式期权定价公式，也适用于美式期权定价公式。美式期权定价模型式，也适用于美式期权定价公式。美式期权定价模型为：为：n )()(21)(dXNdNSecTq

25、rA)()(1)(2dNSedXNpTqrATTqrXSd)2/()/ln(21Tdd12n（1） 和和 对对 和和 的偏导数的偏导数1d2dSXTSSdSd121TSXXdXd121n（2） 和和 之间的关系之间的关系n因为因为 21d22dTdd12TTddd2121222TTTqrXSd22215 . 0)()/ln(2/ln2)(21XSedTqrn（3） 和和 之间的关系之间的关系n根据标准正态概率密度函数的定义，根据标准正态概率密度函数的定义，n因此因此n同理同理)(1dn)(2dn2/221)()(dednddNXSedneednTqrXSeddTqr)(1/ln2/2)(212

26、1)()(2122TqrSeXdndn)(21)()(n（4） 和和 之间的关系之间的关系n因为因为)(dn)( dn )()(dndn)(21)(2/)(2dnednd附录附录7B 美式期权风险参数的推导美式期权风险参数的推导n下面以派息股票美式期权定价模型为例，介绍风险参下面以派息股票美式期权定价模型为例，介绍风险参数的推导过程。欧式期权风险参数可以用类似的方法数的推导过程。欧式期权风险参数可以用类似的方法推导。推导。n7B.1 推导推导n（1）看涨期权的）看涨期权的AcSddXnSddnSedNeScTqrTqrA2211)(1)()()()(SdXSedXnSddnSedNeTqrTq

27、rTqr1)(111)(1)()()()(SddnSeSddnSedNeTqrTqrTqr11)(11)(1)()()()(0)(1)(dNeTqrn（2）看跌期权的）看跌期权的ApSddnSedNeSddXnSpTqrTqrA11)(1)(12)()()(SddnSedNeSdXSedXnTqrTqrTqr11)(1)(1)(1)()()(0)(1)(dNeTqrn7B.2 推导推导n（1）看涨期权的）看涨期权的n（2）看跌期权的）看跌期权的AcAp0)(/1)(ATqrAcAAcSdNecSSScc0)(/1)(ATqrApAAcSdNepSSSppn7B.3 推导推导n（1）看涨期权的）

28、看涨期权的n（2）看跌期权的）看跌期权的Ac0)()()(1)(11)(1)(22TSdneSddneSdNeSScTqrTqrTqrcAAp0)()(1)(1)(22AcTqrTqrpATSdneSdNeSSpn7B.4 对执行价格的偏导数对执行价格的偏导数n（1）看涨期权）看涨期权XddXndNXddnSeTqr22211)()()()(TXXSedXndNTXdnSeTqrTqr1)()(1)()(121)(0)(2dNXdNXdNXdNSeXcTqrA)()()(221)(n（2）看跌期权）看跌期权XddnSeXddXndNXpTqrA11)(222)()()(TXSeXdnSeTXdXndNTqrTqr1)(1)()()(2)(220)(2dNn7B.5 推导推导n