柯西不等式各种形式的证明及其应用

1、柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-SchwarzCauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地 步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式2n n/ n一2一 2 I一 ak bk

2、 2 0AJ k皂IJ在一般形式中， 令n = 2,a= a,a2= b,n =c,b2= d,得二维形式(a2+b2jjc2+d2)兰(ac +bd2等号成立条件：ad =bca/b=c/d扩展：(a：+a；+a2 +a；Xb2+房+b；+ b2 )2 (ag+a?b2 + a3b3+anbn )2等号成立条件:耳：b1=a2: b2= an: bn当a = 0或h = 0寸，ai和都等丁0,I不考虑ai:h,i =1,2,3，,n,二维形式的证明:2222a bc d a,b, c, dR2 2 ,2.22. 2 ,2 2=ac b d a d b c2 22 22 22 2=a c 2a

3、bcd b d a d - 2abcd b c22=ac bd)i ad - bc2-ac bd等号在且仅在ad -bc =0即ad=bc时成立三角形式Ja2+b2+ Jc2+d2芝J(a -c f +(b -d f等号成立条件：ad = bc三角形式的证明：Ja+b：十Jc 十d=a2+b2+c2+d2十zVObJc2+d2芝a2+b2+c2+d2+2 ac+bd注： 表示绝对值2一2. 2 .2-a-2ac c b -2bd d22=a -c l b -d两边开根号，得, a2 b2 c2 d2a - c)， b - d之向量形式| P| | Q， = (a1,a2,a3鬲=(b1,b2,

4、b3-,bj(N, n M2)等号成立条件：P为零向量，或a=7$(乳余R)向量形式的证明： 令 m= agB,山,an,n= bi, b2,b3H,bnm n=&灯a2b2a3b3 | anbn= mn cos； m,n2tcos m, n ： -1qba2b2a3b3|anbn . a2a2a；川a,b2b2b；Ib；一般形式,a2 a； a3 山a2.,lb2b；房b：cos m,nnn寸ak*b -k=1k=1:akbkIk日Ja：bi=a2: b2 = =an:屏，或a, bi均为零。般形式的证明:n naK bk2一k T k d证明:不等式左边=（a2b2+a2b2共n2

5、/2项jjk/j不等式右边=aibi, ajbj广ajbj, abIII III共n2/2项用均值不等式容易证明，不等式左边芝不等式右边，得证。推广形式（卡尔松不等式）：卡尔松不等式表述为：在 m*nm*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。等号成立条件:.X12X12TlgnX21X21. |()X2nHIXmi，XmiI | )Xmn1111fm而rm币广m%而rm不占，H X1+,n Xi2+ H为3+HI+n XinJl但J JI)其中，m,nN或者：1| m n |mn-玉-、1.7 ,J4-其中，m,n w N +,X在R*或者X1 y 山X2y2山

6、I XnynHI11n占|(H X，+(口y f+m注:口x表示x1, y1J|, xn&5乘积,其余同理推广形式的证明:推广形式证法一: 记A =x+y + 川人=X2+y2+川,川A =Xn+据 + 川由平均不等式得1X1X2山Xnn=AA2山A一AAJHAn11-.11 x项1 yn.山即A1A2 IHAn ； i【xn. i【yn川即 *yIII X2y2H) Xnyn川1 m、而n Xju)同理可得AA-尢-nIIIIH上述n个不等式叠加，得1J口xnJ n y1+22yylllyn、口y 1AA2HIA JAA2HI An1Y+m11弓l(n xi +(n y MH,证毕或

7、者推广形式证法事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证, 这个不等式并不难，可以简单证明如下：mxmx. 由均值不等式一nxj1三己、吝mImj.j-xXjij-xXjl ii41m-zmjminj aXjn nmj*Xjn n13n以上各式相加得Emvn njk4j XjiL iT J、Xjii i、 Xjii 11_1n上式也即k=1mnXjkjm / nn为3 j刀 1,该式整理,mn Xjk3、-m-m次n、Xji.i注1得卡尔松不等式，证毕付：柯西(Cauchy)不等式相关证明方法:(昌也+a2b2+an加北(a2+a；+ +a；2(膏+b2+ +b；2(aD等号当且仅当a=a2

8、=an=。或bi=kai时成立(k为常数，i =1,2明介绍如下：证明1：构造二次函数f(X)TX + bi )2 +(a2X +b27 +(anX + af=a2a；HI a：X22 aq启2炫川anbXb； b2|l| b：7af aan -0R,i =1,2 nn )现将它的证Xj2n寸Xji同理有Xj2 n、Xjii Af （X ）芝0恒成立2，.:=4a1ba2b2anb； 一4a；a；anbb；bn 9为证结论正确，只需证:a b b c a c而2a b c=a b b c a c又9 = (1 +1 +1)2 2只需证：C 1112 a b c I- -a b b c a c1

9、11a b b c a c - - -a b b c a c2_111 =9b、c互不相等，所以不能取等 原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例 2 2：求函数y =3jx5+4J9 x的最大值。函数的定义域为5, 9, y 0y = 3、x -5 4 9 - x 32 42 2 .x -5 2.9x= 5*2 =10函数仅在4-.5=3、Mx,即x=6.44寸取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点P（x0,y0汲直线l:Ax+By+C=0 （A2+B2。）设点p是直线l上的任意一点，则Ax+Bx+C=0（1）I22P1P2=q（xx）+（y。y）（2）点P1P2两点间的距离

10、P1p2就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有222,2+-A-a b b c a c a b cJA2十B2J（xx）2+（y yf习A（xXI） + B （y yj女=yC - *1斗C由(1)1) (2)(2)得：JA2+R2JP P2I习A/ +By。+C即Ax +By +CP1P2 N 2 (3)JA2+R2当且仅当yo一 乂：尚_Xi二Ap1pL l (3)式取等号 即点到直线的距离公式即Ax0+By0+C4、证明不等式2.卜22例 3 3 已知正数a,b, c满足a+b+c=1证明a3+b3+c性 一-一3证明：利用柯西不等式2(313i e 1 (a?+b2+C ) =

11、 a2a2+b2b2+c2c2IJ3,3以,3、2 a2十b2十c2Ila十b+c】I3.33-2 * .,=a b c a b c abc = 1又因为a2十b2+ c2N ab+b廿ca匕不等式两边同乘以2,再加上a2+b2+ c2得：a b c - 3 a2b2c22,a2b2c2 a3b3c3*3 a2b2c2故a3 b3c3_2 c235、解三角形的相关问题例 4 4 设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b, c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明x .y . z _ -、a2b2c2、2R证明：由柯西不等式得,应& +x/czjc苴Jax + by + czL记S

12、为L ABC的面积，贝Uabc abc ax by cz = 2S = 2|4R 2R=L ab bc ca _ 、a2 3 4b2c2,2R2R故不等式成立。6、求最值例 5 5 已知实数a,b, c ,d满足a + b+c + d=3,解：由柯西不等式得，有即2b2+3c2+6d2芝(b+c + d22由条件可得，5 -a2_ 3-a解得，1Ma壬2当且仅当 世栏=些 =*时等号成立，1 2,1 3161.1.-代入b =1,c =二，d=二时，amax=236,/21,b=1,c=,d=时amin=1337、利用柯西不等式解方程例 6 6 在实数集内解方程2229x y z =4-8x

13、6y -24y =39解：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)L(Tj十62十(一24彳芝(一8x+6y_24y j / (x2+y2+z2)(-8； +62+(-24门=9 64 36 4 144 ): = 392一22又-8x 6y-24y =392111+abc2_ 2- 2-2a +2b +3c +6d =5试求a的最值2b23c26d22162:i b c dab bc caabc222_2_222x y z中-8624= 8x 6y 24z即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x y z它与 逑x+6y 24y =39联立，可得69x = y =z =13268

14、、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数n、(x -x)v-Nr=皂，并指出r 1且r越接近nn，.(x -x)2 % - y2 i 4 i =1于1,相关程度越大，r越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性 相关系数。现记a=为 一x, b = yi- y，贝U,nvabir=.i -，由柯西不等式有，r ac：d或cos2ea2b2.c2d22因为0 4 cos 0 1，所以，一?一1 ,(a2b2)(c2d2)22222(a b )(c d ) _(ac bd). .柯西不等式的相关内容简介(1)(1) 赫尔德(Holder)(Holder)不等式11(a1pa2p，np)bb2七)汕a2b2，nbn(【】=1)p q当p=q=2时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。(ac bd)2(a2b2)(c2d2)(2)(2) 平面三角不等式(柯西不等式的等价形式)r2,2.2222222a, a?an.bAbn，b)(a?A)- (anbn)可以借助其二维形式+a22+bi2+b22芝勺(a+bi)2+ (a2+E)2来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式111(aiPa2PanP)p(biPb2