2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、D. 2x - y - 5=0 )2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.1 .已知i为虚数单位，计算i (1+i)=()A. 1 -i B. 1+i C. 1+i D. - 1 - i2,已知集合 A=x|x2<1, B=x|2xv1,贝U AAB=()A. (-1, 0)B. (-1, 1)C. (-8, 0 D. (- 8, 1)3 .下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. y=2 x B. y=x3+xC. y= D. y=lnx4 .点P (2, - 1)

2、为圆(x-1) 2+y2=25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为()A , x+y - 1=0 B . 2x+y- 3=0 C, x - y - 3=05 .执行如图所示的程序框图，输出的结果是（第1页（共15页）A. 15 B. 21 C. 24 D. 356 .已知a, bCR,则ab>2”是a2+b2>4”成立的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.在平面直角坐标系中，若不等式组x-!<0, （a为常数）表示的区域面积等于 3,型一升上>0则a的值为（）A. - 5 B, - 2 C. 2 D, 58 .如图，矩形AB

3、CD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将 DEF沿FD翻折，翻折后的 点E （记为点P）恰好落在BC上，设AB=1 , FA=x （x>1）, AD=y ,则以下结论正确的是（ ）A .当x=2时，y有最小值C.当x=J受时，y有最小值2B.当x=2时，有最大值 竿D.当x=6 时，y有最大值2二、填空题：本大题共 6小题,每小题5分，共30分.9 .已知向量a= (2, 1),后亍(1,心，若则实数k等于10.抛物线y2=8x的准线与双曲线 C：=1的两条渐近线所围成的三角形面积为第3页(共15页)得这个几何体的表面积是约为 辆；这两款车的销售总量约为1.113 3.5)辆.（参考数据

4、:1.1112.9, 1.1123.1,11 .在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若a=2bsinA,则B=12 .已知某几何体的三视图如图，正(主)视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可(单位：cm2).13 .国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增 20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年 Q型汽车销售量314 .设集合+b|1wawbw2中的最大和最小元素分别是 m=三、解答题：本大题共 6小题，共80分.15 .

5、已知函数 f (x) =sin2x 2cos2x. xCR.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)在0, 一上的最大值与最小值.711.16 .某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究， 分别记录了 3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数,得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差(C)9111312810发芽数(粒)232530261624(1)求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率;(2)从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分另为m,

6、n,用(m, n)的形式列出所有基本事件，并求满足吒3。的事件a的lL25<n<30概率.17 .已知等差数列an, a2=3, a5=9.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=c，其中c为常数，且c>0,求数列bn的前n项和Sn.18 .如图，已知AB，平面ACD , DE,平面ACD , AACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2 ,F, G分别为AD, DC的中点.(1)求证：CFL平面ABED ;(2)求四棱锥 C-ABED的体积；(3)判断直线 AG与平面BCE的位置关系，并加以证明.19 .已知函数f (x) =xex+ax2+2x+1在x= - 1处取

7、得极值.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若函数y=f (x) - m- 1在-2, 2上恰有两个不同的零点，求实数 m的取值范围.20 .已知椭圆E:=亍+ 3=1 (a>b>0)的一个焦点 F (2, 0),点A (2,也)为椭圆上'_*玄 八、(1)求椭圆E的方程；(2)设M、N为椭圆上两点，若直线 AM的斜率与直线 AN的斜率互为相反数，求证：直 线MN的斜率为定值；(3)在(2)的条件下， AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存 在，请说明理由.2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8小题，每

8、小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.1 .已知i为虚数单位，计算i (1+i)=()A. 1 -i B. 1+i C. 1+i D. - 1 - i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】根据复数的运算和i2= - 1进行化简即可.【解答】解：i (1+i) =i+i2=-1+i,故选C.2 .已知集合 A=x|x2<1, B=x|2x<1,贝U AAB=()A. (T, 0) B. (T, 1)C. (-8, 0 D. (-8, 1)【考点】交集及其运算.【分析】 分别求出A与B中不等式的解集确定出 A与B,找出两集合的交集即可.【解答】解：由

9、A中不等式解得：-1vxv1,即A= (- 1, 1),由B中不等式变形得：2xv1=20,解得：x<0,即A=(一巴0),则 A AB= (- 1, 0),故选：A.3 .下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. y=2 x B. y=x3+x C. y= D. y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【分析】 根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性， 以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【解答】解：A. y=2-x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；B. y

10、=x3+x 的定义域为 R,且(-x) 3+ (-x) = - (x3+x)；.该函数为定义域 R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，y=x3+x在R上为增函数，该选项正确；C.反比例函数 广一十在定义域上没有单调性，该选项错误；D. y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误.故选：B.4.点P (2, - 1)为圆(x-1) 2+y2=25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为()A, x+y- 1=0 B . 2x+y - 3=0 C, x - y - 3=0 D. 2x - y - 5=0【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由垂径定理，得 AB中点与圆心C的连线与A

11、B互相垂直，由此算出 AB的斜率 k=1,结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线 AB的方程.【解答】解：: AB是圆（x 1） 2+y2=25的弦，圆心为C （1, 0）设AB的中点是P （2, - 1）满足ABXCP7| 二因此，PQ的斜率k=f=0+1 =1 % 12可得直线PQ的方程是y+1=x - 2,化简得x - y - 3=0故选：C5 .执行如图所示的程序框图，输出的结果是（3 I第5页（共15页）A. 15 B. 21 C. 24 D. 35【考点】程序框图.然后执行循环语句，一旦满足条件就【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件, 退出循环，从而到结论.【解答】解：模

12、拟执行程序，可得S=0, i=1T=3, S=3, i=2不满足 i>4, T=5, S=8, i=3不满足 i>4, T=7, S=15, i=4不满足 i>4, T=9, S=24, i=5满足i>4,退出循环，输出 S的值为24.故选：C.6 .已知 a, bCR,则 ab>2”是 a2+b2>4”成立的（）A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】ab>2,可得：a2+b2>2at）> 4.反之不成立，例如取 a=y , b=2 .即可判断出

13、结论.【解答】 解：ab>2,a2+b2>2ab>4,当且仅当a=b=次时取等号.反之不成立，例如取b=2.ab>2”是02+b2>4”成立的充分不必要条件. 故选：A.7 .在平面直角坐标系中，若不等式组 ' x-l<0, （a为常数）表示的区域面积等于 3,0$ 一 y+L>0则a的值为（）A. - 5 B. - 2 C. 2 D. 5【考点】简单线性规划.【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中, 表示的平面区域的面积等于 3,构造关于a的方程，解方程即可得到答案.罡:第11>0【解答】解：不等

14、式组，, （a为常数）围成的区域如图所示. y+l）O 由于X, y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3, .yX | AC| X |xa-xb|=3,解得 |AC| =6, .C的坐标为（1,6）,由于点C在直线ax- y+1=0上，则 a - 6+1=0,解得 a=5.故选：D.A.当x=2时，y有最小值B.当x=2时,8.如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将 DEF沿FD翻折，翻折后的 点E （记为点P）恰好落在BC上，设AB=1 , FA=x （x>1）, AD=y ,则以下结论正确的是C.当x=V我时，y有最小值2 D.当x=7巧时，y有最大值2【考点】 二

15、面角的平面角及求法.AP=BP=W_ 1，进而得至U由此利用换元法及【分析】 由已知得 FE=FP=AD=BC=y , AB=DC=1 , FA=DE=DP=x ,从而 PC=J J _ ,第11页(共15页)则当t=工2，C.即x=。工时，y取最小值.二次函数性质能求出结果.【解答】 解：二.矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直, AB=1 , FA=x (x>1), AD=y , . FE=FP=AD=BC=y , AB=DC=1 , FA=DE=DP=x在 RtA DCP 中，PC虬 2 _ ,在 RtFAP 中，AP=Jy2,1 2,在 RtAABP 中，BP*2 - J

16、 _ 小. BC=BP+PC=二，,- 1 +-1 =y整理得y2=r一=J_ _，令t=3则y2=二、填空题：£大题共 6勺% 每小题5分:共封0分.9.已知向量3= (2, 1),区+芯=(1, k),若；则实数k等于3.【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】由条件求出g的坐标，由鼻“可得a?b=0,解方程求得 k的值.【解答】解：二.向量W= (2, 1),二+£= (1, k),b= (- 1, k - 1). a±b,则3相二(2, 1) ? ( 1, k-1) =-2+k- 1=0,. k=3 ,故答案为3.10.抛物线y2=8x的准线与双

17、曲线2C：A_8=1的两条渐近线所围成的三角形面积为【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x= -2,双曲线c： zi zi=i的两条渐近线为8可可得两交点为（-2,6），（-2, -,即有三角形的面积为 二X 2X 2J2=2f2 故答案为：2-.72，11.在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为【考点】正弦定理.u 5兀a, b, c,若 a=2bsinA,贝U B1或已一. o o【分析】由已知利用正弦定理可得,sinA=2sinBsinA ,从而可求 si

18、nB ,进而可求 B .【解答】解：a=2bsinA ,由正弦定理可得,/ sinA 丰 0,.D 1 sinB=一，sinA=2sinBsinA ,0°< B< 180°.B=12.已知某几何体的三视图如图，正（主） 得这个几何体的表面积是 3什4 （单位:视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可 cm2）.【考点】由三视图求面积、体积.由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公【分析】由三视图知几何体是半个圆柱, 式求出几何体的表面积.【解答】 解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面,，底面圆的半径是 1cm,母线长是2cm,，几何体的表面积

19、 S=TtX 12+TtX 1x2+2x2=3 7+4 (cm2), 故答案为：3兀+4.13 .国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年 Q型汽车销售量 约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆.(参考数据：1.111 = 2.9, 1.112=3.1, 1.113= 3.5)【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质.【分析】由题意可得，今年 Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等

20、比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解.【解答】 解：由题意可得，今年 Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为sod -1. i12)= 1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列,则R型电动汽车的销售量为12X 5XZQ=1920.这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970 .故答案为：1050; 2970.314 .设集合+b| 1 w aw bw2中的最大和最小元素分别是M、m,则M=5 , m=2/3 .8.【考点】集合的表示法.【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a

21、取最小值1, b取最大值2时，求出最大值M.【解答】解：+ b>1-+a>2/3,故m=g,3a=1, b=2 时一+b=5 ,故 M=5 ,故答案为：5, 2.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.15.已知函数 f (x) =sin2x 2cos2x. xCR.(1)求函数f (x)的最小正周期；JI I(2)求函数f (x)在0,二厂上的最大值与最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法.兀【分析】(1)根据两角差的正弦公式得至|Jf(x)=sin2x- cos2s _ l/2sin(2s - -) 1 ,从而求出f (x)的最小正周期；(2)根据x

22、的范围，求出2x-的范围，从而求出f (x)的最大值和最小值即可.冗【解答】解：（1）由已知 f （x） =sin2x 2cos2x=、in2K 一cos2x -耳-） 1 ,.f （x）的最小正周期为兀；0工JT .37T 丁2冥-工二47CW即 x=0 时，f min（x）= - 2 ,当以一千$，即X专时，-1数分另IJ为m, n,用（m, n）的形式列出所有基本事件，并求满足f25<nK30125<n<30的事件A的日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（C ）9111312810发芽数（粒）23253026162416.某农业科研实验室，对春季

23、昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了 3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数,得到如表数据:（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率;（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）根据平均数即可求出,（2） 一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可.【解答】解：（1）这6天的平均发芽率为:232530261624100 Too 10'jaooo'fooX100V24%这6天的平均发芽率为 2

24、4%, (2) (m, n)的取值情况有 (23,25)；(23；30),(23,(25,30),(25,26) T(25,，26) p(30,16),(30,(26,16).(26,24),(16i 20,2&), (23, 1幻，(23, 24),16), (25, 24L24),事件数为15,则事件A包含的基本事件为25, 30), (25, 26) (30, 26),f25<m<3C设254庐：3。为事件A,31.所求概率15 517.已知等差数列an, a2=3, a5=9.bn=c 4(1)求数列 an的通项公式an;,其中c为常数，且 O0,求数列bn的前n项

25、和Sn.【考点】【分析】(2)对数列的求和；等差数列的通项公式.(1)利用等差数列通项公式即可得出.c分类讨论，利用等比数列的前 n项和公式即可得出.解：(1)由已知解得 d=2, a1=1,.数列an的通项公式为an=2n - 1.(2)由(I )知：bn=c=c2n 1,当 c=1 时，bn=1,Sn=n.bn是b1=c,公比为c2的等比数歹U;stl=c (118.如图，已知AB，平面ACD , DE,平面ACD , AACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2 ,F, G分别为AD, DC的中点.(1)求证：CFL平面ABED ;(2)求四棱锥 C-ABED的体积；(3)判断直线 AG

26、与平面BCE的位置关系，并加以证明.【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.【分析】(1)由AB，平面ACD得出平面ACD，平面ABED ,由等边三角形得出 CFXAD ,利用面面垂直的性质得出 CFL平面ABED ;(2)棱锥的底面 ABED为直角梯形，高为 CF,代入体积公式计算即可；是 AG /(3)取CE的中点H,连结GH, BH,则可证明四边形 ABHG是平行四边形，于BH ,得出AG /平面BCE .【解答】 证明：(1) .F为等腰 ACD的边AD的中点，CFXAD ,. AB，平面 ACD , AB?平面 ABED ,，平面 ACD，平面 AB

27、ED ,平面 ACD n平面 ABED=AD , CF±AD CF?平面 ACD ,.CF,平面 ABED .(2) ACD是边长为2的等边三角形，CF=V3. S 梯形 ABED="X (1 + 2)X 2=3,忠 EFWSaBEF'CF二 y (3)结论：直线AG /平面BCE.证明：取CE的中点H,连结GH, BH, . G是CD的中点，.GH / DE,且 GH=QE=1，/AB，平面 ACD , DE，平面 ACD ,/.GH / AB ,又 GH=AB=1 ,四边形ABHG为平行四边形，/.AG / BH ,又 AG?平面 BCE, BH?平面 BCE,

28、.AG /平面 BCE.19.已知函数f (x) =xex+ax2+2x+1在x= - 1处取得极值.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若函数y=f (x) - m- 1在-2, 2上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题等价于xex+x2+2x=m在-2, 2上恰有两个不同的实根.令 g (x) =xex+x2+2x , 求出函数的单调性求出g (x)的最小值，从而求出 m的范围即可.【解答】 解：(1) f

29、(x) =ex+xex+2ax+2, f (x)在x=1处取得极值，(- 1) =0,解得a=1.经检验a=1适合，/.f (x) =xex+x2+2x+1, f (x) = (x+1) (ex+2),当 xC (-8, - 1)时，f (x) v 0,f (x)在(-8, - 1)递减；当 xC (- 1+00)时，f (x) >0, f (x)在(-1, +8)递增.(2)函数y=f (x) - m - 1在-2, 2上恰有两个不同的零点，等价于xex+x2+2x - m=0在-2, 2上恰有两个不同的实根，等价于xex+x2+2x=m在-2, 2上恰有两个不同的实根.令 g (x) =xex+x2+2x, . g' (x) = (x+1) (ex+2),由(1)知g (x)在(-8, 1)递减； 在(1, +8)递增.g (x)在-2, 2上的极小值也是最小值;式