多维随机变量与分布习题

1、WORD格式整理版习题三一、填空题3441. 设 X 与Y两随机变量,且 P(X_0,Y_0)=, P(X_0)：, P(Y_0)：,那么777P(max(X,Y) _0)5/7 .2. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布为专业学习参考资料那么关于X的边缘分布律为X12311/41/21/43假设(X, Y)的联合分布律为12311/61/91/1821/3aP1:, -应满足条件是.假设X与Y相互独立那么:-=2/9 ,- = 1/93 4. 设X与Y独立同分布,且X的分布律为P(X =0) =0.5, P(X =1) =0.5,那么随机变量Z 二maxX,Y的分布律为 P(Z=0)=

2、0.25, P(Z=1)=0.75;5. 设二维随机变量(X,丫)的联合概率密度为0 ： x : 1,0 ： y : 1其他那么概率 PX £0.5,Y v0.6=0.3.6.设(X,Y)联合概率密度为f(x,y)Ae42xH3y),x,00,其他那么系数A= 6 ;7.设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度为2七.ex y,f x,y =I 0,c=21/4.8. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为f (x, y)=丿48y(2 - x)00_x_1,0_y_x其它0_x_1其它x2那么关于X的边缘概率密度是fX(x) = d4.8y(2加"2也(2-x)09.

3、设随机变量X和Y相互独立,且 X在区间0,2上服从均匀分布,Y服从参数为11的指数分布,那么P：X Y V =1.2e10. 设随机变量 X与Y相互独立,且均服从区间0, 3上的均匀分布,那么PmaxX,Y <1- 1/9 .11. 假设X N(7,r2), 丫NX.打),相互独立,&X -k2Y服从分布为N(k* k2 巴,kg； +k；).12X1,X2,IH,Xn独立且服从于相同的分布函数F(x),假设令二max( X1, X2l(,Xn),那么 的分布函数 F(x)=Fn(x).、选择题1.设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y),其边缘分布函数 Fx(x)是(B)

4、(A)yim/(x,y)； (B)yjmF(x,y); (C)F(x,0); (D)F(0,x).2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,那么(A)1(B) PX =Y：361(D) P X 乞 Y.21(A) PX 二i,Y=j ,i,j =1,2,川6.361(C) PX -Y .23 设随机变量 X与Y相互独立,它们的概率分布依次为X-11P1/21/2Y-11P1/21/2那么以下各式正确的选项是(C)(A) X=Y.( B) PX=Y=0 . (C)PX=Y=1/2. (D) PX=Y=1.24.设X,Y的联合概率密度函数为f x,y=.6x y,

5、 0 _ x _ 1,0 _ y _ 1 ,那么以下结0, 其他论中错误的选项是B.(A) P(X,Y) G =f(x,y)dxdy.( B) P(X,Y) G = 6x2ydxdy.GG(C) PX _Y二 Odx 06x2ydy.( D) P( X _ Y) = f (x, y)dxdy.x_y1/ J!5.设二维随机变量x八1,那么X,Y其它满足C A独立同分布.C不独立同分布.B独立不同分布D不独立也不同分布.6.设随机变量X与Y相互独立,且分别服从N 0,1 和 N 1,1,那么B1(A) P(X YO)1(C) P(X Y_0)1(B) P(X 丫 乞 1)1(D) P(X -丫叮

6、)匕.7. 设X与Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX x , Fy y ,那么X,Y的联合概率密度为 f x, y ='Z = min X Y的分布函数为D(A) Fz z =FX x .(B)fz z = fy y .(C) Fz z =minFx X ,Fy y (DFz z n IIJ-Fx X.1-Fy y .8. 假设 X Nr,2,Y NJ,二；,且 X 与 Y 相互独立,那么C(A) X Y N( j2,(匚1飞2)2) . ( B) X -Y N(" - 廿时一二；)(C) X -2丫 山讨-22,时 4鳥).(D) 2X -丫 N?、-2,2J2

7、V).9. X N(-3,1),丫 N(2,1),且 X,Y 相互独立,记 Z =X - 2Y - 7, 那么 Z ( A)(A) N(0,5) .( B) N(0,12).( C) N(0,54).( D) N(-1,2).10.设X1,X2H,Xn相独立且都服从 N(r2),那么下式成立的是(B)(A) Xj = X2 =|( = Xn .2(C) 2X1 3 N(2i 3,4二3).1CT(B) (Xi X2|( Xn)N(i, )nn2 2(D) X1 -X2 N (0,62) 三、计算以下各题1. 一个箱子装有12只开关,其中2只是次品,现随机地无放回抽取两次, 每次取一只,以X和Y

8、分别表示第一次和第二次取出的次品数,试写出X和Y的联合概率分布律.P(X =0,Y =0)=C10C945P(X =0,Y =1)二CCnCwC11C12 C11661066P(X =1,Y =0)=P(X =1,Y =1)二c2c；0血11C12C1110566662.袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白色球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数,求1二维随机变量X,Y的联合概率分布律；(2)X, Y的边缘分布律.解：(1)X Y的取值范围为0,1,2,故pfx =0,Y =0 - C3C1 =丄,卩浪=1 丫 -Ogjpfx =2,Y

9、 = 01c6c：463611PX =0,Y =1 ,p1x=1 Y=1 ,p1x =2,Y =1、0,39PX =0,Y =2,pfx =1丫 =2；=0,PX =2,Y =2；=0,9X012P25/365/181/36Y012P4/94/91/901201/41/61/3611/31/9021/900(2)3.设随机变量X在1,2,3,4 四个整数中等可能取值,另一个随机变量Y在1X中等可能取一个整数值,求1X,Y的联合分布律；2X,Y的边缘分布律.解：由题意1x=i,Y = j其中i =1,2,3,4, j乞i, j为整数,那么由概率的乘法公式有px =i,Y = j = px =iP

10、Y = j X；,i =1,2,3,4, j< i.4i因此X-101P1/1/1/424Y01P1/21/21234Pj11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48PL1/41/41/41/414.随机变量X,Y的概率分布:(2)问X,Y是否独立？为什么?且P(XY =0) =1. (1 )求X,Y的联合分布,解 由于 P(XY =0) =1, 所以,有 P(X =-1,丫 =1) = P(X =1,Y =1) = 0,(1)设X,Y的联合分布为-101P j0P11P21P311/210P2201/

11、2Pi.1/41/21/415.假设随机变量 X和Y相互独立,都服从同一分布:X012P1/1/1/424Y012P1/41/21/4求概率PX二Y.解 注意,两个随机变量同分布,并不意味着它们相等,只说明它们取同一值的概率相等由全概率公式及 X和Y相互独立,可见PX =Y =PX =0,Y =0 PX =1Y =1 PX =2,Y=2= PX =0PY =0 PX =1PY =1 PX =2PY =21 21 21 2 92 4 2 166.设随机变量(X,Y)的联合密度为f(xk6-x-y, "X 嘗：:：八 4 ,0,其它求：(1)系数 k；(2) Plx ：1,Y ：3?;(

12、3) P：X Y<.-be r-bo rfLo解：(1)421(x,y)dxdy dy k(6-x-y)dx = 8k = 1二 k .831 13(2) P：X ：1Y ：3 dy (6 - x-y)dx208844_y12(3) P：X 丫乞42 ?dy o (6x y)dx837.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ae0,0 ： x ： y其它,求(1)常数A ( 2)随机变量X,Y的边缘密度,(3)概率P(X Y _1).,-(2)=e», fx (x)e , x>°,同理 f丫(y)hx0,x 兰0X 0, fx(x) a1ye *,

13、y 00, yE/ 八/、y(D 二 一：f(X, y)dxdy 二 A0 dx x e dy=A,得1JJ f (x, y)dxdy = F dx edy =1 +e° 2e 2. y 1''x8.P(X Y E1)=x假设一微波线路有两个中间站,它们无故障的时间X和Y是随机变量,其联合分布函数为F(x,y)=f-0.01x_e-0.01y4.01(x 切e e假设 x_0, y _ 0, 假设不然.(1)解求两个中间站连续100小时无故障的概率; 证实X和Y相互独立.(1) 连续100小时无故障的概率PX 100,y 100=1 F(100, ；) F( ；,10

14、0)F(100,100)=1 -e-e飞2=1 -2e° e,0.1353.现在证实X和Y相互独立以F1(x)和F2(y)分别表示X和Y的分布函数,那么0.01xF<x) = F (x, - ) = 1 e , F2(y)二F( ;,y) =1 _e卫.01y;由于F (x, y)二F1(x) F2(y),可见X和Y相互独立.2 19.设二维随机变量X,Y的概率密度为lx2 + xy, 0 兰 x 兰1,0 兰 y 兰 2, (x,y)才30,其它.求：1关于X和关于Y的边缘密度函数,并判断 X与Y是否相互独立?(2)P X Y _1 .解:( 1)2 20 岂 x 乞 1 2

15、x x,0 _ x _ 1才 3其它 .0, 其它0_y_2 丿1,0yE263其它 .0, 其它ff(-oOfX x =x, y )dy = < 02 xI Jn I2 1 xy dy 30,beH f xfY y = . . f X,y dx=01 xy dx,30,由于f (x, y) = fx(x)fY(y),所以X和Y不独立.1_x*P X Y = f x,y dxdy Qdx.Dxy dy365729.雷达的圆形屏幕的半径为R,设目标出现点X,Y在屏幕上均匀分布,1 求X,Y的边缘概率密度,2问X,Y是否独立?解 f(x, y)=«21/(二R ),0,x2 y2

16、岂 R2其它(1) fx(x)二说伫丄dv = 2作_f(x, y)dy» T'R2/ 二 r2 y10,: R2 2-x二 R2|xR其它同理 fYy二2 2 .R2-x2,| y R其它(2) f (x,yp fX (x) fY (y),所以 X 和 Y不独立.10. 设两个独立随机变量 X与Y的分布律为P(X =1)=0.3, P(X =3) =0.7,P(Y =2) =0.6, P(Y =4)=0.4,求(1) Z =X Y的分布律,(2) W = X -Y的分布律解由独立性可得Z357P0.180.540.28W-31-1P0.120.460.420 ： x ： 1

17、, 0 ： y ：. x 其它11.设随机变量X,Y的联合概率密度f (x.yX,Y1, 21, 43, 23, 4P(X =x,Y =y)0.180.120.420.28X +Y3557X -Y-1- 31- 1所以Z =X Y的分布律与 W =X -Y的分布律分别为求z =X -Y的概率密度.0,FZ(z) =P(X Y 兰z)z x0dx 0 3xdy1x3亠 idx 3xdy =z -x _z21 3zz21,0 乞 z1z _1所以,Z的密度函数为fZz t_iz2I0,0 ： z : 1 其它12.设二维变量x, y的概率密度为12 - x - yf(x, y)二 00 ： x ：

18、 1,0 ： y ： 1其他求(1) PX 2Y ； (2) z=X Y的概率密度.解：(1) PfX 2Y (2-x-y)dxdy,其中 D为 0 ： x ： 1,0 ： y ： 1 中 x 2y 的那部D分区域；f】1丄X求此二重积分可得 P 1X 2Y f = p dx ： (2 - x - y)dy(x x )dx0 8=7_24(2) FZ(z)二 P'：Z Ezl = Plx Y < z:当 z 乞0 时,Fz(z)=O ;当 z_2时,Fz(z)=1 ；zZ-X1 3Fz(z) = 0dx 0 (2x y)dy = -§z当1 ： z 2时,Fz( Z)

19、=1 -1 1“dxz,2-x-y)dy】z3 -2z2 4z-§33r22z -z ,0 cz c12于是 fZ (z) = z 4z 4,1 ： z ： 2 0,其他13.随机向量(X,丫)的概率密度为f (x, y)x y,假设 0 _ x, y _ 1,0,其他.求随机变量U二X Y的概率密度f(u).解 对于u : 0和u 2,显然f (u) =0.(1)设0 _u _1 .注意到,当x u时f(x,u-x)=0.因此,由二随机变量之和的概率 密度公式,有:uf (u)二 f (t ,u -t)dt (t u - t)dt 二 u2 .0(2)设1 _u _2 .注意到当x

20、 : u -1时f (x,u -x) =0 .由二随机变量之和的概率密度公 式,有: 1f(u)f(t,u-t)dt(t ut)dt = u(2u).u于是,随机变量U二X Y的概率密度u2 ,假设 0 Eu 乞1,f (u) = u(2 -u),假设 1 込u 込2,.0 ,其他.14. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为d, t>0 f (t)=<0 t0并设各周的需要量是相互独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度.解：(1)设第一周需要量为 X,它是随机变量设第二周需要量为 Y,它是随机变量且为同分布,其分布密度为te±, t>0

21、f (t) = *0 t乞0Z=X+Y表示两周需要的商品量,由f(x, y)=丿xe公ye0x 0, y . 0其它z > 0当 z<0 时,fz ( z) = 0当z>0时,由和的概率公式知fz(z)二 _；fx(z-y)fy(y)dy二 0(z-y)e3 yedy3ze6-zfz二 6i 0z乞0(2)设z表示前两周需要量,其概率密度为fz(Z)二z 0z _0设E表示第三周需要量,其概率密度为: _Xcxe , x >0fE(X)= <0 x兰0z与E相互独立n = z + E表示前三周需要量当 u<0,f n ( U) = 0当u>0时baJ(

22、u -y)fE (y)dy=0£(u -y)3e3)ye今dy -0 65U ue120所以n的概率密度为fn (U)fn (U)=i 0u 0u乞0X和Y的独立性可知：X和Y的联合分布是区域15. 假设G二(x,y):0乞x乞2, 0空y乞1是一矩形,随机变量G上的均匀分布.考虑随机变量0,假设X <Y,、/ _ 0,假设X<2X,=1,假设 X Y;= 1,假设 X 2Y.求U和V的联合概率分布.解 易见,假设(x,y). G,那么随机变量X和Y的联合密度为f(x, y)=12 ,否那么f(x, y) =0.口f(x,y)二二21°,假设(x, y) G,假设(x, y) G.直线x = y和x =2y将G分为三局部(见插图)：G,二x ： y,G2 = y : x : 2 y , G3 =x >2y.易见1PX :Y二 P(X,Y) G：41PY : X ： 2Y二 P( X ,Y) G：41PX 2Y二P(X,Y) G3 =2 01例3.19插图x=