定积分的应用教学ppt课件

1、3.9 定积分的运用定积分的运用 工程工程9 定积分的运用定积分的运用 义务义务9-1：微元法：微元法 我们知道：我们知道： badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 3.9.1 定积分的微元法定积分的微元法 其面积为：其面积为：ab xyo)(xfy 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则微分则微分dxxfdA)(表示小曲边梯表示小曲边梯形面积的近似值形面积的近似值 .)(badxxfAxdxx dA面

2、积元素面积元素dxxf)( 以以a,b为底的曲边梯形的面积为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素就是以面积元素f(x)dx为被积表达为被积表达式式, 以以a,b为积分区间的定积分为积分区间的定积分: 元素法的普通步骤：元素法的普通步骤：1. 根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如 x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba； 2. 设想把区间设想把区间,ba分成分成 n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量的近似值的近似值dxxf)(，称为量称为量

3、 F 的的微微元元素且记作素且记作 dF，即，即dxxfdF)(； 3. 以所求量以所求量 F 的的微微元素元素dxxf)(为被积表达式，为被积表达式，在区间在区间,ba上作定积分，得上作定积分，得badxxfF)(， 即为所求量即为所求量 F 的积分表达式的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法曲边梯形的面积曲边梯形的面积3.9.2.1. 平面图形的面积平面图形的面积3.9.2 定积分在几何上的运用定积分在几何上的运用 1求由上下两条曲线求由上下两条曲线 y = f上上(x)与与 y = f下下(x)及左右两条及左右两条直线直线 x = a 、x = b所围成平所围成平面

4、图形的面积面图形的面积A . 取横坐标取横坐标x x为积分变量，在区间为积分变量，在区间a,ba,b上任取一上任取一子区间子区间x,x+dxx,x+dx，在其上的小曲边梯形可近似，在其上的小曲边梯形可近似看成高为看成高为y y，底为，底为dxdx的小矩形，那么面积元素的小矩形，那么面积元素为为 dxxfxfdA)()(下上dxxfxfAba)()(下上义务义务9-2：定积分在几何上的运用：定积分在几何上的运用 曲边梯形的面积曲边梯形的面积取纵坐标取纵坐标y y为积分变量，在区间为积分变量，在区间c,dc,d上任取一上任取一子区间子区间y,y+dyy,y+dy，在其上的小曲边梯形可近似，在其上的

5、小曲边梯形可近似看成宽为看成宽为x x，高为，高为dydy的小矩形，那么面积元素的小矩形，那么面积元素为为 2 求由左右两条曲线求由左右两条曲线 与与 及上下两条直线及上下两条直线 y = c 、y = d所围成平面图形的所围成平面图形的面积面积A . )(yx左)(yx右dcdyyyA)()(左右dyyydA)()(左右解解 (1)画图取画图取x为积分变量为积分变量(3) 求面积元素：求面积元素：案例案例3.66 计算曲线计算曲线 和直线和直线 x = 1及及x轴所轴所围成平面图形的面积围成平面图形的面积Axy (2) 确定积分区间确定积分区间: 0,1dxxdA (4) 计算积分：计算积分

6、： 10dxxA32321023x(4) 求面积元素：求面积元素：dxxxdA)(2 得积分区间得积分区间1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解方程组解方程组22yxxy解解 (1)画图取画图取x为积分变量为积分变量(2) 确定积分区间确定积分区间: (3) (3) 确定上下曲线确定上下曲线: : 2)( ,)(xxfxxf下上(5) 计算积分：计算积分： 解解 (1) (1) 画图，取画图，取y y为积分变量为积分变量. . 解方程组解方程组 422xyxy得积分区间得积分区间4, 2 ydyyydA 242xy22 4 xy(2) 确定积分区间

7、确定积分区间: (3) (3) 确定左右曲线确定左右曲线: : 4)( ,21)(2yyyy右左(4) 求面积元素：求面积元素：(5) 计算积分：计算积分： 422)214(dyyyyy 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台3.9.2.2 旋转体的体积旋转体的体积取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕 x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的

8、体体积积为为体体积积元元素素， dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy yr 解解 (1) (1) 画图，确定积分区间画图，确定积分区间: : hP, 0hx xoxhry 案例案例3.69 计算由直线计算由直线 、直线、直线x = h及及x轴围轴围成的直角三角形绕成的直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体体积轴旋转而成的圆锥体体积 (2) 求体积元素：求体积元素： (3) 计算积分：所求圆锥体的体积为计算积分：所求圆锥体的体积为 dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr dxxhrdxydV22)(解解 这个旋转椭球体也可以看这个

9、旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆作是由半个椭圆 及及x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转而轴旋转而成的立体成的立体. . 22xaaby(1) 画图，确定积分区间画图，确定积分区间: ,aax(2) 求体积元素：求体积元素： dxxaabdxydV)(22222(3) 计算积分：所求椭球体的体积为计算积分：所求椭球体的体积为 aadxxaabV)(2222aaxxaab313222234abxyo)(yx cddyy2)( dcV特殊地，当特殊地，当 时，得球体的体积公式：时，得球体的体积公式： rba334rV解解)1 , 1()0 , 0(体积元素体积元素dxyydV)(22选选

10、 y 为积分变量为积分变量 1 , 0ydyyyV)(4101052521yy.1032xy 2yx 两曲线的交点两曲线的交点22yxxy 由由物物理理学学知知道道，如如果果物物体体在在作作直直线线运运动动的的过过程程中中有有一一个个不不变变的的力力 F作作用用在在这这物物体体上上，且且这这力力的的方方向向与与物物体体的的运运动动方方向向一一致致，那那么么，在在物物体体移移动动了了距距离离 s时时，力力 F对对物物体体所所作作的的功功为为sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微

11、元法”思想思想.3.9.3.1 变力作功变力作功3.9.3 定积分在物理上的运用定积分在物理上的运用 义务义务9-3：定积分在物理上的运用：定积分在物理上的运用 案例案例3.73 知弹簧每拉长知弹簧每拉长0.02m要用要用9.8N的力，求把的力，求把弹簧拉长弹簧拉长0.1m所作的功所作的功. 解解 由胡克定律，在弹性限制内，拉伸或紧缩弹簧由胡克定律，在弹性限制内，拉伸或紧缩弹簧所需的力所需的力F F和弹簧的伸长量或紧缩量成正比，即和弹簧的伸长量或紧缩量成正比，即 kxF 其中其中k k为比案例系为比案例系数数 由题设由题设x = 0.02mx = 0.02m时，时，F = 9.8NF = 9.

12、8N，所以所以k = 490k = 490，那么，那么F = 490 x. F = 490 x. (1) 建立坐标系如图建立坐标系如图. 取伸长量取伸长量x为积分变量为积分变量 (2) 确定积分区间确定积分区间: 1 . 0 , 0 x(3)(3)求功元素求功元素 : :xdxdW490(4) 计算积分：计算积分： 所求的功为所求的功为 xdxW4901 . 001 . 0022490 x= 2.45(J)点击图片恣意处播放点击图片恣意处播放暂停暂停解解(1) 建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx , (2)

13、(2) 确定积分区间确定积分区间: : (3) 求功元素：求功元素： 这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dxg23xoxdxx 5功元素为功元素为,1094dxxdwdxxw50410950242109x(J)1125000(4) 计算积分：所求的功为计算积分：所求的功为 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为 h处的压强为处的压强为hp ，这里，这里 是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为 h处，那么，平处，那么，平板一侧所受的水压力为板一侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深

14、不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想3.8.3.2 液体的压力解解 挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆. (1) 建立坐标系如图建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,xp (2) 确定积分区间：确定积分区间： (3) 求压力元素：求压力元素： 小矩形片的压力

15、元素为小矩形片的压力元素为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R (4) 计算积分：计算积分： 所求压力为所求压力为 33331053. 63108 . 92RR(N)案例案例3.76 一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直位一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直位置于水中，两底的长度分别为置于水中，两底的长度分别为4m和和6m，高为，高为6m，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧遭到的水压力水密度为遭到的水压力水密度为10 3 kg / m 3.yxoABxx+dx解解 (

16、1) 建立坐标系如图，建立坐标系如图，那么直线那么直线AB的方程为的方程为36xy(3) (3) 压力元素为压力元素为 dP dP =gx2ydx=gx2ydxdxxx)36(8 . 92 (2) 确定积分区间： x0，6 dxxxP) 36(108 . 923606032393108 . 9xx )(1023. 884108 . 953N(4) 计算积分：计算积分： 所求压力为所求压力为 3.9.4 定积分在经济中的运用定积分在经济中的运用 由于总函数如总本钱、总收益、总利润等由于总函数如总本钱、总收益、总利润等的导数就是边沿函数边沿本钱、边沿收益、边沿的导数就是边沿函数边沿本钱、边沿收益、

17、边沿利润等，当知初始条件时，可用定积分求出总函利润等，当知初始条件时，可用定积分求出总函数数.3.9.4.1 由边沿函数求总函数由边沿函数求总函数义务义务9-4：定积分在经济中的运用：定积分在经济中的运用 案例案例3.72 设某产品在时辰设某产品在时辰t总产量的变化率为总产量的变化率为f(t)=100+12t-0.6t2(单位单位/小时小时)，求从，求从t=2到到t=4这两小时的总产这两小时的总产量量.解解 由于总产量由于总产量P(t)P(t)是它的变化率的原函数是它的变化率的原函数, ,所以从所以从t=2t=2到到t=4t=4这两小时的总产量为这两小时的总产量为 dtttdttf)6 . 0

18、12100()(2424242322 . 06100ttt= 260.8 (单位)案例案例3.73 知某产品的边沿本钱函数为知某产品的边沿本钱函数为 固定本钱为固定本钱为1000元，求总本钱函数元，求总本钱函数 . 24)(QQC)(QC1000)()(0dttCQCQ解解1000)24(0dttQ100024212QQ100024202Qtt案例案例3.74 知消费某商品知消费某商品x单位时单位时,边沿收益函数为边沿收益函数为(元元/单位单位)，试求消费，试求消费x单位时总收益以及平均收益单位时总收益以及平均收益.并求生并求生产这种商品产这种商品2000单位时的总收益和平均收益单位时的总收益

19、和平均收益.解解 由于总收益是边沿收益函数在由于总收益是边沿收益函数在0,x上的定积分上的定积分,所以所以消费消费x单位时总收益为单位时总收益为dttxRx)50200()(0 xtt0210020021001200 xx 那么平均单位收益 xxxRxR1001200)()(50200)(xxR当消费2000单位时,总收益为 R(2000)=360000(元)平均单位收益为 )(180)2000(元R按照需求-供应模型，随着商品数量的添加，消费者情愿支付的价钱是下降的.在需求与供应的平衡点,当市场上产品的数量为q*，那么市场价钱为p*= pd(q*). 市场机制使得消费者以总费用R = p*q*得到q*单位商品.想象q*单位商品不是一个单位一个单位地投放市场.对第一个单位商品，消费者情愿出价pd(1)；这样，购买该单位商品总费用是pd(1)；对第二个单位商品，消费者情愿出价pd(2)；这样，购买该单位商品总费用是pd(2)；按照这种思绪，消费者情愿出价pd(i)购买第i单位商品.所以，消费者实践上是以pd(1) + pd(2) + + pd(q*)购得这q*单位商品的.这中间有个差额：在经