极坐标与参数方程

1、 极坐标系与参数方程知识点考纲下载平面直角坐标系中的伸缩变换了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况极坐标了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程参数方程了解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.第1课时坐标系1坐标系(1)坐标变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点(x，y)称为坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个单位长

2、度，一个角度(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标2. 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 ，.3 直线的极坐标方程（不用） 例1，设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成角为，求直线的极坐标方程。解，如图，设M为直线上任意一点，知在MOP中，由正弦定理得，（比直角

3、坐标方程复杂）几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点A(a，0)且垂直于极轴：cos_a；解，在中，（即）(3)直线过M(b，)且平行于极轴：sin_b （解，即）4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则该圆的方程为：（不用）220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：例1、在极坐标平面内，已知圆心，半径为，求其极坐标方程。解，在中，(1)当圆心位于极点，半径为r：r；解，设为圆上任意一点则即(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：2asin_平面直角坐标系中的伸缩变换例1，在同一平面直

4、角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.解将变换后的椭圆的方程1 改写为1.设伸缩变换为代入上式得 1，即.与x2y21比较系数，得 故所以伸缩变换为即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1.小结：伸缩变换：一般地，由，k0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点)课堂练习1方程x2y21对应的图形经过伸

5、缩变换后，对应图形的方程为_解析：将代入x2y21中得：1，1，1为所求的方程答案：1极坐标与直角坐标的互化例2，,在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为() A0(R)和cos 2 B(R)和cos 2 C(R)和cos 1 D0(R)和cos 1解析由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.答案B小结：(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴非负半轴重 合；取相同的单位长度(2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式

6、xcos 及ysin 直接代入并化简 即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进行整体代换课堂练习2 曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，则曲线C的极坐标方程为_解析：将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos .答案：2cos 简单曲线的极坐标方程及应用例3，在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为,直线sin与极轴的 交点，求圆C的极坐标方程解在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC|

7、 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .小结：(1)求曲线的极坐标方程与直角坐标系中的情况一样，就是找出动点M的坐标与之间 的关系，然后列出方程f(，)0，再化简并检验特殊点(2)极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程，注意方程的等价性课堂练习1，在极坐标系中，点(2，)到直线sin 2的距离等于_；解析：(1)极坐标系中点(2，)对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角 坐标系中直线y2.故所求距离为1.2，直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_,解，由2cos 1得2x1， 由2cos

8、得22cos ，即x2y22x，联立得y±，所以弦长为.直角坐标与极坐标基础达标练习题1 同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线， 并求曲线的焦点坐标解：圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则， 4x29y236，即1. 曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(±，0)2求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形。圆心为(3，3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(

9、x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos3，在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值；解：将圆asin 化成普通方程为x2y2 整理，得x2.将直线cos1化成普通方程为xy0. 由题意，得，解得a42.4 设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P，点M为线段OP的中点， 当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ，设点P的极坐标为(1，1)，点M的极坐标为(，)，点M为线段OP的中点，12，1，将12，1代入圆的极坐标方程，

10、得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ，它表示圆心在点，半径为的圆能力提升（备用）1已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以x2y24；因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.2在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R，求圆C的极坐标方程；解：(1)设P(，)是圆上的任意一点，则|PC|R. 由余弦定理，得2222×2

11、cos5，即圆C的极坐标方程为24cos10.3，设点P的极坐标为(1，1)，求过点P且与极轴所成角为的直线l的极坐标方程解，如图，设点M(，)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|，xOM，由点P的极坐标知|OP|1，xOP1，设直线l与极轴交于点A则在MOP中，OMP，OPM(1)由正弦定理得，所求的l的极坐标方程为sin()1sin(1)4,在极坐标系中，如果A(2，)，B(2，)为等边三角形ABC的两个顶点， 求顶点C的极坐标(0，02)解：A(2，)，2，xcos 2cos，ysin 2sin，即A点的直角坐标为(，)同理可求B点的直角坐标，x2cos，y2sin，即B(，

12、)设C点的直角坐标为(x，y)，则解之得或即C点的直角坐标为(，)或(，)当x，y时，C在第四象限时，当x，y，即C在第二象限时，即点C的极坐标是5，求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为(p>0)PQ是抛物线的弦，若点P的极角为，则点Q的极角为，因此有|FP|，|FQ|.,所以 (常数)原命题得证第2课时参数方程1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系

13、变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数， 从参数方程得到普通方程(2) 如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个 变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致3直线、圆和圆锥曲线的参数方程（不用）名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2R2(为参数且02)椭圆1(a>b&g

14、t;0)(t为参数且0t2)抛物线y22px(p>0)(t为参数)双曲线1(a>0，b>0)(为参数)直线的参数方程：由经过点，倾斜角为的直线的普通方程是， （t为参数）解，如图，在直线上任取一点则设是直线的单位方向向量，（单位长度与坐标轴单位长度一样）则因为所以存在实数使得即，所以经过点直线的倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）的几何意义是：由即表示参数对应的点M到定点的距离；当与同向时，取正值，当与反向时取负值； 参数方程与普通方程的互化例1，在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，(t为参数)过椭圆C：，(为参数) 的右顶点，则常数a的值为_解析直线l：，消去参数t后得

15、yxa椭圆C：， 消去参数后得1. 又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入yxa得a3. 答案3小结：消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数注意：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围课堂练习1如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_；解析：将x2y2x0配方，得(x)2y2，圆的直径为1.设P(x，y)，则x|OP|cos

16、1×cos ×cos cos2，y|OP|sin 1×cos ×sin sin cos ，圆x2y2x0的参数方程为(为参数),2，在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为，(t为参数)和，(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_解，由，得y. 又由， 得x2y22. 由，得， 即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)由参数方程求极坐标方程例2，设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析曲线C的普通方程为yx2，把xcos ，ysin 代入得sin 2cos2

17、，整理得cos2 sin ，故曲线C的极坐标方程为cos2sin .答案cos2sin 小结：此类问题的前提是直角坐标系和极坐标系符合互化的条件，基本过程是将直角坐标系 下的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程课堂练习：2 已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l.，以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_解析：由sin2tcos2t1得曲线C的普通方程为x2y22，过原点O及切点(1，1)的直线的斜率为1，故切线l的斜率为1，所以切线l的方程为y1(x1)，即xy20.把xcos ，ysin 代入直线l的方程可得cos si

18、n 20，即sin20，化简得sin.，答案：sin 直线的参数方程及应用例3，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点求|PA|·|PB|的值 为最小时的直线l的方程解设直线的倾斜角为(90°<<180°)，则它的方程为(t为参数)，由A、B是坐标轴上的点知yA0，xB0，由02tsin ，得|PA|t|，由03tcos ，得|PB|t|. 故|PA|·|PB|·.90°<<180°，当2270°，即135°时，|PA|·|PB|有最小值直线

19、方程为(t为参数)小结：(1)在直线的参数方程(t为参数)中：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量|P1P2|t1t2|.(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2|；定点是弦的中点，则设弦的中点为M，则点M对应的参数值（由此可求及中点坐标）课堂练习3 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：，(s为参数)和直线l2：，(t为参数) 平行，则常数a的值为_解析：由消去参数s，得x2y1.，由消去参数t，得2xayal1l2，a4. 答案：4圆与圆锥曲

20、线的参数方程及应用例4，（不用）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，a>b>0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin,m(m为非零常数)与b若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_解析由已知可得椭圆标准方程为 1(a>b>0)由sinm可得sin cos m，即直线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c，0)，则得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22(a2c2)整理，得，故椭圆C的

21、离心率为e.， 答案小结：求直线与圆、圆锥曲线的交点、弦长或判定位置关系等问题时，一般都需把参数方程、极坐标方程化为普通方程来解决课堂练习 1，在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程 为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_；解析：(1)由cos 4，知x4. 又x3y2(x0)由得或|AB| 16.,2，椭圆1上到直线x2y120的距离最小的点的坐标为_解，椭圆的参数方程为，设椭圆上任一点P(4cos ，2sin )，则d |2cos()3|. 当cos()1时，dmin，此时. ， 所求点的坐标是(2，3) 参数方程基础达

22、标练习题1已知曲线C的极坐标方程为22cos()20. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若点M(x，y)在曲线C上，求xy的最小值解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)由(1)知，曲线C的方程为(x1)2(y1)24. 设(为参数)，则xy2sin 2cos 2sin()2， 所以xy的最小值为2.2 在平面直角坐标系xOy 中， 直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程 为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程， 并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1，得tx1，代入y2t， 得到直线l的普通方程为2xy20

23、. 同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，(，1)3 将圆x2y24上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x2y80 绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l. (1)求直线l与曲线C的方程； (2)求C上的点到直线l的最大距离解：(1)设曲线C上任一点为(x，y)，则(x，2y)在圆x2y24上，于是x2(2y)24， 即y21. 直线3x2y80的极坐标方程为 3cos 2sin 80，将其记作l0，设直线l上任一点为(，)，则点(，90°)在l0上，于是3cos(90°)2sin(90°)80，即3s

24、in 2cos 80，故直线l的方程为2x3y80.(2) 设曲线C上任一点为M(2cos ，sin )，它到直线l的距离为 d，其中0满足：cos 0，sin 0.当0时，dmax.4已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方 程，并指出它是什么曲线解：(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21，联立方程得，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，(，)(2)依题意，C1的普通方程为xsin ycos sin 0，则A点的坐标为(sin2，

25、sin cos )故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)，即(为参数)P点轨迹的普通方程为(x)2y2. 故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆能力提升（备用）1 (2013·高考)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与 t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，0<<2)(2)M点到坐标原点的距离 d(

26、0<<2)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点2 已知曲线C：y24x，直线l过点P(1，2)，倾斜角为30°，直线l与曲线C相交 于A，B两点(1)求直线l的参数方程；(2)求|PA|·|PB|的值解：(1)直线l过点P(1，2)，倾斜角为30°，直线l的参数方程为，(t为参数)(2)设A，B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入C：y24x，化简得t28(1)t320，|PA|·|PB|t1|·|t2|t1t2|32.3 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解：(1)由点A在直线cosa上，可得a，所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心