123__角的平分线的性质

1、从一个角的顶点引出一条射线，把这从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线线叫做这个角的角平分线12.3 角的平分线的性质1.1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质角平分线的作法和角平分线的性质. .2.2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用握简单的角平分线在生产、生活中的应用. . 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两

2、个相不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角等的角. .你有什么办法？你有什么办法？AOBC再打开纸片再打开纸片 ，看看折痕与这个角有，看看折痕与这个角有何关系？何关系？ 对折对折 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平

3、分线的平分线. .你能说明它的道你能说明它的道理吗？理吗？B BD DA AC CE E 【证明证明】 在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共边）（公共边） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）B BD DA AC CE E 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角个角的平分线？（不用角

4、平分仪或量角器）器）尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：1.1.以以O O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB于于N N2.2.分别以，为圆心大于分别以，为圆心大于 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在AOBAOB的内部交于的内部交于3.3.作射线作射线OCOC射线射线OCOC即为所求即为所求OABNMC12证明证明: :连接连接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)，AOC=BO

5、CAOC=BOC，即即OC OC 是是的平分线的平分线. .为什么为什么OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线? ?OABNMC 将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？你能得出什么结论？猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .证明证明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一点（已知），上一点（已知），D DP=BP=BP P（角平分线定义），（角平分线定义），P

6、DOA,PEOB PDOA,PEOB （已知），（已知），ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义），（垂直的定义），在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=BOP DOP=BOP （已证），（已证）， ODP=OEP ODP=OEP （已证），（已证），OP=OPOP=OP（已知），（已知）， OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)，PDPDPEPE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E，求证求证: PD=PE.: PD=

7、PE.P PA AO OB BC CE ED D12定理：定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .用符号语言表示为：用符号语言表示为：1= 21= 2， PD OA PD OA ，PE OBPE OB，PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分线的性质角的平分线的性质1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC. :EB=FC

8、. BAEDCF【解析解析】根据角的平分线的性质根据角的平分线的性质得得DE=DFDE=DF，再根据，再根据HLHL证明证明BEDBEDCFD,CFD,从而得到从而得到EB=FC.EB=FC.2.2.（宁德（宁德中考）如图，已知中考）如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，在不的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使添加任何辅助线的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一个，需添加一个条件是：条件是：_，并给予证明，并给予证明. . B D AEFc【解析解析】解法一：解法一：添加条件：添加条件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAEDAFDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加条件：添加条件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAEDAFDAFD（ASAASA）.