直角坐标系解决立体几何问题

1、在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。、空间直角坐标系的建立xyo. Mxyo. M平面直角坐标系空间直角坐标系z空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)1 向量的数量积公式（包括向量的夹角

2、公式）:若与的夹角为(0),且=x1,y1,z1,=x2,y2,z2,则 ·=|cos 或 ·= x1x2+y1y2+z1z2若与非零向量 cos = =2 向量的数量积的几何性质:两个非零向量与垂直的充要条件是·=0两个非零向量与平行的充要条件是·=±|利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；（2）确定关键点的坐标；D1（3）求空间向量的夹角；（4）得出异面直线的所成角。用向量解决角的问题两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。注意,由于两向量的夹角范围

3、为,而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180°例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,求异面直线DA1与AC1的所成角；DCAB分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？ （异面直线平移相交，求相交直线的交角）问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？（求向量DA1与AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。 （以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD1为Z轴）问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？ （请

4、学生个别回答）例2直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为4的菱形,且DAB=60°，AA1=6，AC与BC交于E，A1C1与B1D1交于E1， （1）求：DA1与AC1的所成角；（2）若F是AE1的中点，求：B1E与FD1的所成角；直线与平面所成的角（如图）图12图11图13可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.xyzABCC1A1B1GDE平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到.例4、 在直三棱柱中，底面是等腰直角三

5、角形，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求直线与平面所成角正弦值.分析：题中显然所求的角为，但在中没有求解的条件.由题中条件，可轻易建立坐标系（如图），由直三棱柱只知高度为，所以设底面直角边，从而算得立体中各点的坐标，如、，由得，得向量、，由数量积得，由所求角等于的余角，与平面所成的角的正弦值为。求二面角的大小已知二面角l，分别是平面和平面的一个法向量，设二面角l的大小为，规定0，则（这里若平面的法向量是二面角的内部指向平面内的一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图2-2）2-12-2（

6、ABCDl二面角的大小（如右图），也可用两个向量所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线、（、），从图中可知：等于、所成的角.）例8.三棱柱，平面平面，且，求：二面角的余弦值大小.xyzABOA1B1O1H1H分析：以点为原点，分别以、所在直线为、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则、.作、，结合、在上，算得，从而算得，即为所求.例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小。AzyxDCBS解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，）， A（0

7、，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则平面SCD 则在角与距离问题的方法上，向量运用的关键在于认识角、距离与向量的关系、从而使立体几何教学显得简明易懂，提高教学效果。在进行向量与立体图形相关问题进行教学时，需要注意一下几点:强化数形结合的思想，加强学生运算能力的培养和提高引导学生理解本章向量垂直与平行的判断或证明与直线垂直与平行的联系和区别；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。 用向量解决距离问题两点间距离由可算出；若，则由数量积得 ，若已知两点坐标，则可直接用两点

8、间距离公式.点到直线的距离过点作直线的垂线，垂足为，则由且点共线得，解出点后再求。例1、直角坐标系中的三点，求点到直线的距离。解：过作，垂足为设，则点坐标为，又， ，异面直线、的距离可先设、的公垂线段（、），再由垂直向量性质得，从而得到、的坐标，最后算出所求.BCDAB1C1D1A1yxzEF例2、正方体的边长为，求异面直线、的距离？分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设是所求的公垂线，令、，则、的坐标为，同理，再由、，算得、，最后算出、.这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.点到平面的距离EABCDA1B1C1D

9、1yxz先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于在法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离.例3、正四棱柱，是的中点，求点到平面的距离. 分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面的法向量为，由，得；令，得法向量在上的投影为，点到平面的距离为.此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。两平行平面之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。1、(2011年高

10、考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。2、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.3、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。1、【解析】：（）折起前，当 。（）由及（）知两两垂直，不妨设为坐标原点，以轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得夹角的余弦值为2、证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建