第十一讲无穷级数

1、第十一讲 无穷级数一、 考试要求1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。6、 掌握ex,sinx,cosx,ln(1+x)与（1

2、+x)的麦克劳林展开式，会用它们将简单函数间接展开成幂级数。7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义 (2) 性质：1）若加括号发散Þ 发散; 2）若收敛Þ 2 正项级数 (1) 定义 (2) 判敛：1) 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法 3 交错级数 4 一般项级数 绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数: (1) 收敛半径、收敛区间、收敛域 (2) Abel定理：若已

3、知在x=a点收敛（发散），则 当 ()时绝对收敛（发散）。 (3) 性质：连续，逐项求导，逐项积分 6 函数的幂级数展开 7 傅里叶级数 (1) ,，（或只在,但在），则f（x）的付里叶级数定义为 ，其中, , n=0,1,2,称为f（x）的付里叶系数。(2) 收敛定理：设定义在中（或只在），在满足：（i）除可能的第一类间断点外均连续，（ii）只有有限多个极值点，则f（x）的付里叶级数在中（或只在）处处收敛，且其和函数为 = (3) 常见情况 ，此时 其中 , , n=0,1,2, (4) 如果是的偶函数，或定义在0，上的函数作偶延拓，则，其中；如果是的奇函数，或定义在0，上的函数作奇延拓，则

4、，其中三、 重要公式与结论1、对于级数，令，则（1）若收敛，则=，且（2）若或该极限不存在，则发散。2、设都是非零常数，则有（1）若与都收敛，则收敛；（2）若和中一个收敛，而另一个发散，则发散；（3）若和都发散，则的敛散性不确定。3、设（或），如果则，且和都发散。4、若幂级数在处收敛，则对任何满足的，绝对收敛；若幂级数在处发散，则对任何满足的，发散。5、幂级数的变换公式（1）设的收敛域为，其和函数为，是定义在上的一个已知函数，则的收敛域为，且其和函数为；（2）常用的变换是，其中为正常数。6、对于任意项级数，若发散，且是由比值或根值判别法判定的，则也发散。7、几何级数在时收敛，且；当时发散。8、

5、级数（或），当时收敛，当时发散。9、 10、若f(x)且单调下降，则与同敛散11、 四、典型题型与例题题型一、数项级数敛散性的判定解题思路： 1、 若则发散；否则进一步判断。2、若为正项级数，先化简，视其特点选择适当的判别法：（1） 若中含有（或），则可与级数（或对数级数）比较；（2）若中含有的乘积的形式（包括），则可考虑用比值判别法；（3）若中含有形如的因子，则可考虑用根值判别法；（4） 以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质，结合敛散的定义和性质，考察其收敛性。3、若为任意项级数，则可用方法1和2判断的敛散性（1） 若收敛，则绝对收敛；（2）若发散，则看是否是交错级数，若是，用莱布尼兹

6、判别法判断是否条件收敛。1、具体数项级数的敛散性 例1、 例2、判定下列级数的敛散性 (1) ,因为 , 所以 收敛 (2) , 因为 所以收敛 (3) , 注：故 单调递减，且,从而条件收敛 (4) 绝对收敛，发散，故必发散2、抽象级数的敛散性（通常以选择题的形式出现）例3、 设收敛，则级数 (A) 绝对收敛， (B) 条件收敛 (C) 发散 (D)敛散性与有关 例4、 设，收敛，则级数 (A) 绝对收敛， (B) 条件收敛 (C) 发散 (D)敛散性与有关 例5、下列选项正确的是(A) 若收敛，则必收敛(B) 若单调下降，且则必收敛 (C) 若且收敛，则必收敛 (D) 若收敛，则必收敛例6

7、、若级数与都发散，则 (A) 发散， (B) 发散 (C) 发散 (D) 发散例7、(02 1) 设，且，则级数(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定例8（033）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定例9、（041）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛.（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.（C）若级数收敛，则. （D）若级数发散, 则存在非零常数，使得. 例10、（053） 设若发散，收敛，则下列结

8、论正确的是 (A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛例11、（061）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛.3、含参数数项级数的敛散性例12、判断下列级数的敛散性 例13、 判别级数的敛散性，当收敛时，进一步判断是绝对收敛还是条件收敛？4、综合题例14、（设函数f(x)在上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且，证明收敛，而发散.例15（041）设有方程，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛. 题型二、 求函数项级数的收敛域及幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域解题思路：例16、 求的收敛域

9、. 例17、求 的收敛域.例18、求幂级数的收敛域。题型三、 求函数项级数的和函数及级数的和解题思路：例19、 例20、求级数的和 例21、（063）求幂级数的收敛域及和函数例22、（051）求幂级数的收敛区间与和函数f(x). 题型四、 函数的幂级数展开解题思路：例23、 将展开为x的幂级数例24、（061）将函数展成的幂级数.例25、（073）将函数展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.题型五 有关傅里叶级数展开的问题（数一）例26 设， 其中 ,则 .解：S( 例27 设f(x)=的傅里叶级数展开式为则b3=_.解 例28 设f(x)在上二阶连续可导，是f(x)的傅里叶系数，证明绝对收敛.证 = =由题设 ，存在M>0，使 收敛，从而绝对收敛.例29* 把函数在上展开成正弦级数，并利用所得展开式推出求和公式 解 ，这里 =令 ，于是有 乘得 两式相加得 题型六、综合题 例30、（071）设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I)证明：(II)求y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶