中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案

1、中考数学锐角三角函数 （大题培优 易错 难题 ）附详细答案一、锐角三角函数1图 1 是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2 所示，两支脚 OCOD10分米，展开角 COD 60°，晾衣臂 OAOB10 分米，晾衣臂支架 HG FE6 分米，且 HOFO4 分米当 AOC90°时，点 A 离地面的距离 AM 为分米；当 OB 从水平状态旋转到 OB（在 CO延长线上）时，点 E绕点 F随之旋转至 OB上【解析】【分析】如图，作 OPCD于 P，OQAM 于 Q， FKOB于 K，FJ OC于 J解直角三角形求出 MQ，AQ 即可求出 AM，再分别求出

2、BE， B即E可【详解】解：如图，作 OPCD于P，OQAM于 Q，FKOB于K，FJOC于 JAM CD，QMPMPOOQM90 °，四边形 OQMP 是矩形，QM OP，OCOD10，COD60 °， COD是等边三角形，OPCD，1 COP COD30 °，2QMOPOC?cos30°5 3 （分米），AOCQOP90 °，AOQCOP30 °，1AQ OA 5（分米），2AM AQMQ55 3 OBCD，BODODC60 °在RtPKE中， EK EF2 FK2 2 6 （分米），BE 10-2-2 6 （ 8-2

3、6 ）（分米），在 Rt OFJ中， OJOF?cos60° 2（分米）， FJ2 3 （分米），在 Rt FJE中， EJ 62 （2 3）22 6 ，BE10- （ 2 6 -2 ） 12-2 6 ，B E-B4E故答案为： 5 5 3，4【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型2在ABC中，AB=BC，点 O是AC的中点，点 P是 AC上的一个动点（点 P不与点 A， O，C重合）过点 A，点 C作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE， OF（1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 O

4、F的数量关系；（2）如图 2，当ABC=90°时，请判断线段 OE与 OF之间的数量关系和位置关系，并说明 理由（3）若|CFAE|=2，EF=2 3，当 POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长答案】（ 1）OF =OE；（ 2） OF EK， OF=OE，理由见解析；（ 3） OP的长为 62或2 3 .3.解析】分析】（ 1）如图 1 中，延长 EO交 CF于 K，证明 AOECOK，从而可得 OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图 2 中，延长 EO交 CF于 K，由已知证明 ABE BCF， AOE COK，继而可 证得 EFK是等

5、腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK，OF=OE；（3）分点 P在 AO上与 CO上两种情况分别画图进行解答即可得 .【详解】（ 1）如图 1 中，延长 EO 交 CF于 K，AEBE，CFBE，AECK，EAO= KCO， OA=OC，AOE=COK，AOECOK， OE=OK， EFK是直角三角形， OF= 21 EK=OE；（2）如图 2 中，延长 EO交 CF于 K， ABC=AEB=CFB=90，° ABE+ BAE=90 ，° ABE+ CBF=90 ，° BAE=CBF， AB=BC，ABEBCF，BE=CF，AE=BF， AOECOK

6、，AE=CK，OE=OK，FK=EF， EFK是等腰直角三角形， OFEK，OF=OE；（3）如图 3中，点 P在线段 AO上，延长 EO交 CF于 K，作 PH OF于 H，|CFAE|=2，EF=2 3 ， AE=CK， FK=2， 在 RtEFK中， tan FEK= 3 ，FEK=30°，EKF=60°，31EK=2FK=4， OF= EK=2，2 OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，1在 RtPHF中， PH= PF=1，HF= 3 ，OH=2 3 ，2POF=PFO=30°， BOP=90 ，°OP= 3 OE= 2 3 ，

7、33 综上所述： OP的长为 6 2或 2 3.3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰 直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键3如图，在 O 的内接三角形 ABC中，ACB90°，AC2BC，过 C作 AB的垂线 l 交O于另一点 D，垂足为 E.设 P是 上异于 A， C的一个动点，射线 AP交 l于点 F，连接 PC与 PD，PD交 AB 于点 G.（1）求证： PAC PDF；（2）若 AB5，求 PD 的长；tan AFD y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （不要求写出（3）在点 P 运动

8、过程中，设x 的取值范围 ）x，；（ 3）【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）【解析】试题分析：（ 1）应用圆周角定理证明 APDFPC，得到 APCFPD，又由 PAC PDC，即可证明结论 .，应用勾股定理即可求得 BC，AC 的长，则由 AC=2BC得（2）由 AC=2BC，设可知 APB是等腰直角三角EF=AE=4，从而求得 DF 的长，由 ACE ABC可求得 AE，CE的长，由 形，从而可求得 PA的长，由 AEF是等腰直角三角形求得由（ 1）PACPDF得，即可求得 PD的长 .，由 AGPDGB 可得，由 AGD PGB可得，由角的转换可得，两（3）连接 BP，BD， AD，根

9、据圆的对称性，可得式相乘可得结果 .试题解析：（ 1）由 APCB内接于圆 O，得 FPCB，又 B ACE 90° BCE， ACE APD，APDFPC. APDDPCFPCDPC，即 APC FPD. 又 PAC PDC， PAC PDF.，ACB=90°，AB=5，（2）连接 BP，设，即. ACE ABC，AB CD，.如图，连接 BP， APB是等腰直角三角形 . PAB45 °，AEF是等腰直角三角形 . EF=AE=4. DF=6.由（ 1）PAC PDF得，即PD 的长为.连接 BP， BD，AD，（3）如图，AC=2BC，ABCD， 根据圆的对

10、称性，得 AD=2DB，即 BPAE，ABPAFD. AGPDGB， AGD PGB， ，即，考点： 1.单动点问题； 2.圆周角定理； 3.相似三角形的判定和性质； 4.勾股定理； 5.等腰直 角三角形的判定和性质； 6.垂径定理； 7.锐角三角函数定义； 8.由实际问题列函数关系式 .4如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中 BAC=45°，ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接 AE，将ADE沿AE所在直线翻折得到 ADE，DE交AC于 F点若 AB=6 cm（1）AE 的长为cm；（2）试在线段 AC 上确定一点 P，使得 DP+EP的值最小，

11、并求出这个最小值； （3）求点 D到 BC 的距离答案】（ 1）；（ 2）12cm；（ 3）cm解析】 试题分析：（ 1）首先利用勾股定理得出 AC 的长，进而求出 CD的长，利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： BAC=45 ，° B=90 ，° AB=BC=6 cm，AC=12cm ACD=30 ，° DAC=90 ，°AC=12cm， E为 CD边上的中点， AE=DC= cm首先得出 ADE为等边三角形，进而求出点E，D关于直线 AC 对称，连接 DD交 ACP，根据轴对称的性质，此时 DP+EP值为最小，进而得出答案连接 C

12、D，BD，过点 D作 DGBC于点 G，进而得出 ABDCBD（ SSS），则 BG=4，5 D° G=G，B进而利用勾股定理求出点 D到 BC 边的距离cm）点（2）于点（3）D试题解析：解：（ 1）（2）RtADC 中， ACD=3°0 ， ADC=6°0 ， E 为 CD边上的中点， DE=AE ADE为等边三角形将ADE沿 AE所在直线翻折得 AD，E AD为E等边三角形， AED =60 EAC=DACEAD=30 ，°EFA=90，°即 AC所在的直线垂直平分线段 ED 点 E， D关于直线 AC对称如答图 1，连接 DD交 AC

13、于点 P， 此时 DP+EP值为最小，且 DP+EP=DD ADE是等边三角形， AD=AE= ，即 DP+EP最小值为 12cm3）如答图 2，连接 CD， BD，过点 D作 DGBC 于点 G， AC 垂直平分线 ED，AE=AD，CE=CD， AE=EC， AD =CD=在ABD和CBD中， ， ABD CBD（SSS）DBG= DBC=45°DG=GB 设 DG长为 xcm，则 CG 长为cm，在 Rt GDC中，由勾股定理得，解得： （不合题意舍去） 点 D到 BC 边的距离为cm考点： 1翻折和单动点问题； 2勾股定理； 3直角三角形斜边上的中线性质； 4等边 三角形三角

14、形的判定和性质； 5 轴对称的应用（最短线路问题）； 6全等三角形的判定 和性质； 7方程思想的应用5（ 2013 年四川攀枝花 12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是梯形，ABCD，点 B（10，0），C（7，4）直线 l经过 A，D两点，且 sinDAB= 2 动点 P 在线段 AB上从点 A出发以每秒 2 个单位的速度向点 B运动，同时动点 Q从点 B出发以每 秒 5个单位的速度沿 BCD的方向向点 D运动，过点 P作 PM 垂直于 x轴，与折线 A DC相交于点 M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（ t>

15、0）， MPQ的面积为 S（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；（3）试求（ 2）中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出 S的最大值；（4）随着 P， Q两点的运动，当点 M 在线段 DC上运动时，设 PM的延长线与直线 l 相交 于点 N，试探究：当 t 为何值时， QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值【答案】解：（ 1）（ 4，0）； y=x+4（2）在点 P、Q 运动的过程中： 当 0< t 1时，如图 1，过点 C作 CF x轴于点 F，则 CF=4， BF=3，由勾股定理得 BC=5 3过点 Q 作 QEx 轴于点

16、E，则 BE=BQ?cosCBF=5t? =3t5PE=PBBE=（142t） 3t=145t，1 1 2S= PM?PE= × 2t（×145t）=5t2+14t22 当 1< t 2时，如图 2，过点 C、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，E，则 CQ=5t5， PE=AF AP EF=112t （5t5）=167t1 1 2S= PM?PE= × 2t（×167t）=7t2+16t22 当点 M 与点 Q 相遇时， DM+CQ=CD=7，即（2t4）+（5t5）=7，解得 t=16 7当 2<t<16 时，如图 3，7MQ

17、=CDDM CQ=7（ 2t4）（ 5t5）=16 7t，11S= PM?MQ= × 4（×16 7t ） = 14t+32 22综上所述，点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式为5t214t0<t17t216t1<t214t322<t<167S49 ，5a= 5< 0，抛物线开口向下，对称轴为直线7t=53） 当 0< t 1时， S 5t2 14t 5647a= 7< 0，抛物线开口向下，对称轴为直线8t= ，7当 0< t 1时， S随 t的增大而增大 当 t=1 时， S 有最大值，最大值为 9 当1<

18、;t 2时， S7t2 16t 7 t当 t= 8 时， S 有最大值，最大值为 6477 当 2<t< 16时， S=14t+327k=14<0，S随t 的增大而减小又当 t=2 时， S=4；当 t= 16 时，S=0，0<S<47综上所述，当 t= 8 时，7S 有最大值，最大值为 6420 124）t= 20 或 t=12 时， QMN 为等腰三角形解析】1）利用梯形性质确定点AOD 为等腰直角三角形， 求出直线 l 的解析式：D 的坐标，由 sin DAB= 2 ，利用特殊三角函数值，得到2从而得到点 A 的坐标；由点 A、D 的坐标，利用待定系数法D（

19、0，4）C（7，4）， AB CD，sin DAB= 2 ， DAB=45° OA=OD=4 2A（ 4，0）4k b 设直线 l 的解析式为： y=kx+b，则有 b40，解得： b1 y=x+44点 A坐标为（ 4，0），直线 l 的解析式为： （2）弄清动点的运动过程分别求解： 当 0<t 1时，如图 1；y=x+4 当 1<t 2时，如图 2； 当 2< t< 时，如图 3（3）根据（ 2）中求出的 S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定 （4） QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：S的最大值 如图 4，点 M 在线段 CD 上，MQ

20、=CDDM CQ=7（ 2t4）（ 5t5）=167t，MN=DM=2t 4， 由 MN=MQ ，得 16 7t=2t 4，解得 t= 20 9 如图 5，当点 M 运动到 C点，同时当 Q 刚好运动至终点 D，此时 QMN 为等腰三角形， t= 520 12当 t= 或 t= 时， QMN 为等腰三角形95 考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函 数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类 思想的应用6如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC与 BD 交于点 O，且 AC80，BD60动点M、N分别以每秒 1个单位

21、的速度从点 A、 D同时出发，分别沿 A OD和 DA运动，当 点 N到达点 A时， M 、 N同时停止运动设运动时间为t 秒(1) 求菱形 ABCD的周长；(2) 记DMN 的面积为 S，求 S关于 t 的解析式，并求 S 的最大值；(3)当 t=30 秒时，在线段 OD的垂直平分线上是否存在点 P，使得 DPO= DON？若存在， 这样的点 P有几个？并求出点 P到线段 OD 的距离；若不存在，请说明理由答案】解：( 1)在菱形 ABCD中， ACBD，AC=80， BD=60， 菱形 ABCD 的周长为 200。(2)过点 M 作 MP AD，垂足为点 P 当 0<t 4时0 ，如

22、答图 1，MP=AM?sin OAD= t。×t ×t= t2。2，MD=70t，S= DN?MP=MP= （ 70 t）。SDMN= DN?MP= × t ×（ 70t）= t 2+28t= （t 35）2+490。S 关于 t 的解析式为。当 0<t40时，S随 t 的增大而增大，当 t=40时，最大值为 480； 当 40<t50时，S随 t的增大而减小，最大值不超过 480。 综上所述， S 的最大值为 480。（3）存在 2 个点 P，使得 DPO=DON。 如答图 3所示，过点 N作NFOD于点 F，则 NF=ND?sin ODA

23、=3×0=24，DF=ND?cos ODA=30× =18。OF=12。 。作 NOD的平分线交 NF于点G，过点 G作GHON于点 H， 则 FG=GH。SONF= OF?NF=SOGF+SOGN= OF?FG+ ON?GH= （ OF+ON）?FG。 。设 OD中垂线与 OD 的交点为 K，由对称性可知： DPK= DPO= DON= FOG， 。PK=。根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点 P关于 OD 轴对称的点 P。存在两个点 P 到 OD【解析】试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等

24、知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问3）问中，动点 M 在线段 AO 和 OD 上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（ 中，满足条件的点有 2 个，注意不要漏解 .（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；（2）在动点 M、N运动过程中： 当0<t 40时，如答图 1所示， 当40< t 50时，如 答图 2 所示分别求出 S 的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；（3）如答图 4 所示，作 ON的垂直平分线，交 EF于点 I，连接 OI，IN过点 N 作 NGOD，NHEF，垂足分别为 G，H易得 DNGDAO，由 EF垂直平分 OD，得到 OE=ED

25、=15，EG=NH=3，再设 OI=R，EI=x，根据勾股定理，在 Rt OEI和 RtNIH 中，得到 关于 R和x的 方程组，解得 R和 x的值，把二者相加就是点 P到 OD的距离，即 PE=PIP，到IE=R+x，又根据对称性可得，在 BD 下方还存在一个点 P也满足条件，故存在两个点 OD 的距离也相同，从而问题解决试题解析：（ 1）如图）在菱形 ABCD中， OA= AC=40， OD= BD=30， ACBD，AD=50，2） （如图）过点 M 作 MHAD 于点 H （如图 甲）当 0<t 40时，sin OAD= = = ，MH= t ，S= DN·MH=t2(

26、如图 乙)当 40<t 50时， MD=80-t ，sin ADO= - ，MH= (70-t) ，S= DN·MH,=- t2 28t- (t-35) 2 490S=480480当 0<t40时，S随 t 的增大而增大，当 t=40时，最大值为 当40<t 50时， S随t的增大而增大，当 t=40 时，最大值为（如图）作 ON的垂直平分线，交 EF于点 I，连接 OI，IN 过点 N 作 NGOD， NHEF，垂足分别为 G，HOE=ED=15，EG=NH=3，设 OI=R， EI=x，则在 RtOEI 中，有 R2=152x2，在 RtNIH 中，有 R2=3

27、2(24-x)2，由, 可得：,PE=PI IE=根据对称性可得，在 BD 下方还存在一个点 P也满足条件，存在两个点 P，到 OD 的距离都是考点：相似性综合题7如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端 A 的仰角为 30°，再向主 教学楼的方向前进 24 米，到达点 E处（ C，E，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60°，已知测角器 CD的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高 度（ 3 1.7，3 结果精确到 0.1 米）答案】 22.4

28、m解析】分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构 造等量关系，进而求解【详解】解：在 RtAFG中， tanAFG= 3 ，FG=AGtan AFGAG3AG在 RtACG中， tan ACG=，CGCG=AGtan ACG= 3 AG又 CGFG=24m，即 3 AGAG3 =24m ，AG=12 3 m，AB=12 3 +1.6 22m.48如图，二次函数 yx2+bx3 的图象与 x 轴分别相交于 A、B 两点 ，点 B 的坐标为 （3，0），与 y 轴的交点为 C，动点 T 在射线 AB 上运动，在抛物线的对称轴 l上有一定点 D，其纵坐标为

29、 2 3，l与 x轴的交点为 E，经过 A、T、 D三点作 M（1）求二次函数的表达式；（2）在点 T 的运动过程中， DMT 的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；1 若 MT AD，求点 M 的坐标；2（3）当动点 T在射线 EB上运动时，过点 M作MHx轴于点 H，设 HTa，当 OHxOT 时，求 y 的最大值与最小值（用含 a 的式子表示）【答案】（ 1）yx22x3（2） 在点 T的运动过程中， DMT的度数是定值 （0， 3 ）（ 3）见解析【解析】【分析】 （1）把点 B的坐标代入抛物线解析式求得系数b 的值即可；（2） 如图 1，连接 AD构造 RtAED

30、，由锐角三角函数的定义知， tan DAE3 即 DAE 60°，由圆周角定理推知 DMT2 DAE 120 °；11 如图 2，由已知条件 MT AD，MTMD，推知 MD AD，根据 ADT的外接圆圆22心M 在AD的中垂线上，得到：点 M 是线段 AD的中点时，此时 AD为M 的直径时， MD 1 AD根据点 A、 D 的坐标求得点 M 的坐标即可；21（3）如图 3，作 MHx于点 H，则 AHHT AT易得 H（a1，0）， T（2a1， 20）由限制性条件 OH x O、T动点 T 在射线 EB上运动可以得到： 0a1x2a1 2a 11 4需要分类讨论：（ i

31、）当，即 1, a ，根据抛物线的增减性求得 y1 （a 1）2a 1 1 3的极值0 a 1, 14（ii）当 2a 1 1，即 4 < a2时，根据抛物线的增减性求得 y 的极值31 （a 1） 2a 1 1 （iii）当 a 1> 1，即 a>2 时，根据抛物线的增减性求得 y的极值 【详解】解：（ 1）把点 B（3， 0）代入 y x2+bx 3，得 32+3b30， 解得 b 2， 则该二次函数的解析式为： y x2 2x 3；（2） DMT 的度数是定值理由如下：如图 1，连接 AD抛物线 yx22x3（ x 1）24 抛物线的对称轴是直线 x1又点 D的纵坐标为

32、 2 3，D（1，2 3 ）由 y x2 2x3 得到： y（ x 3）（ x+1）， A（1，0），B（3，0）在 RtAED中，tanDAE DE 2 3 3AE 2 DAE 60 ° DMT2DAE120 °在点 T的运动过程中， DMT 的度数是定值；1 如图 2，MT AD又 MTMD ，21MD AD21MD AD2 ADT的外接圆圆心 M在 AD的中垂线上， 点 M 是线段 AD的中点时，此时 AD为M 的直径时， A（1，0），D（1，2 3 ），点 M 的坐标是（ 0， 3 ）3）如图 3，作 MHx 于点H，则 AHHT 1 AT2又 HT a，H（a1

33、，0）， T（ 2a 1， OH x，O又T动点 T 在射线 0a1 x 21a0）EB上运动，0 a1 2a 1a1，2a 112a 11（i）当1 （ a 1）2a 当 x a 1 时， y 最大值 当 x 1 时， y 最小值 4 ，即 1剟aa1）4 时，32（a1） 3a24a；0 a 1, 1ii ）当 2a 1 14即 < a2时，1 （a 1） 2a 1 11) 3 4a2 8a1) 3 4a2 8a 3 a2 4a当 x 2a 1 时， y 最大值（ 2a 1）22（2a 当 x 1 时， y 最小值 4 （iii ）当 a 1>1，即 a>2 时，当 x

34、2a 1 时， y 最大值 （ 2a 1） 22（ 2a主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形 结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出 线段之间的关系；另外，解答( 3)题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解9水库大坝截面的迎水坡坡比( DE与 AE的长度之比)为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2， 大坝高 DE=30米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长和面积【答案】故大坝的截面的周长是( 6 34 +30 5 +98)米，面积是 1470 平方米【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和 BF的长，然后利用

35、勾股定理求出AD 和 BC，再由大坝的截面的周长 =DC+AD+AE+EF+BF+B，C梯形的面积公式可得出答案试题解析： 迎水坡坡比( DE与 AE的长度之比)为 1： 0.6，DE=30m，AE=18 米，在RTADE中， AD= DE2 AE2 =6 34米背水坡坡比为 1： 2，BF=60 米，在 RTBCF中， BC= CF2 BF2 =30 5 米，周长 =DC+AD+AE+EF+BF+BC=634 +10+30 5 +88=(6 34+30 5 +98)米， 面积 =( 10+18+10+60) ×30÷2=147(0平方米)故大坝的截面的周长是( 6 34+

36、30 5 +98)米，面积是 1470平方米10如图，在平面直角坐标系xOy中，点 P 是C外一点，连接 CP交C于点 Q，点 P关于点 Q的对称点为 P，当点 P在线段 CQ上时，称点 P为C“友好点 ”已知 A（1，0）， B（0，2），C（3，3）（1）当O的半径为 1 时， 点A， B，C中是 O“友好点 ”的是 已知点 M 在直线 y 3 x+2 上，且点 M 是 O“友好点 ”，求点 M 的横坐标 m 的取值 3范围；若在 BCD（2）已知点 D（2 3 ，0），连接 BC，BD，CD，T的圆心为 T（t， 1），半径为 1， 上存在一点 N，使点 N是T“友好点 ”，求圆心 T的

37、横坐标 t的取值范围答案】 （1） B；0m 3；（2）4+3 3 t<3 3 解析】分析】 （1） 根据“友好点”的定义， OB<2r2，所以点 B是O“友好点”；N 是 T“友好点2，由此”，NT2r 设M（m， 3m+2 ），根据“友好点”的定义， OM3求解即可；（2）B（0，2），C（3，3），D（2 3，0），T的圆心为 T（t， 1），点BD交于点2，所以点 N 只能在线段 BD上运动，过点 T作 TNBD于 N，作 THy轴，与 33H易知 BDO30°， OBD 60°， NTHT，直线 BD：yx+2，可知 H（t，233 t+2），继而可得

38、 NT 1t+3 3 ，由此可得关于 t 的不等式，解出 t的范围即可 .3 2 2 【详解】（1） r 1， 根据 “友好点 ”的定义， OB< 2r 2， 点 B是O“友好点 ”，OC 32 32 =3 2 >2r2，点 C不是 O“友好点 A（1，0）在O上，不是 O“友好点 ”，故答案为 B； 如图，设M（m， 3m+2 ），根据“友好点 ”的定义，32m22，整理，得 2m2 2 3 m0，解得 0m 3 ；点 M 的横坐标 m 的取值范围： 0 m 3 ； （2）B（0，2），C（3，3），D（2 3，0），T的圆心为 T（t， 1），点 N 是T“友好点 NT2r 2

39、，点N只能在线段 BD上运动，过点 T作TNBD于 N，作 THy轴，与 BD交于点 H BDO=30 ，° OBD60 °， THN= OBD=60 ，°B(0，2)，D(2 3 ，0)，直线3BD： yx+2 ，3H点BD上，H(t， 3 t+2)，3NTHT?sinTHN=HT，HT 3 t+2 (1) 3 t+3，33NT 3 HT 3 （ 3 t+3） 1 t+3 3 ，2 23 2 21 3 3 t+2，22，t 4+3 3 ，当 H与点 D重合时，点 T的横坐标等于点 D的横坐标，即 t3 3 ， 此时点 N不是“友好点 ”，t <3 3，故圆

40、心 T 的横坐标 t 的取值范围： 4+3 3 t< 3 3 【点睛】本题是圆的综合题，正确理解 “友好点 ”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函 数是解题的关键11 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现 代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是 31°，拉索 AB 的长为 152 米，主塔处桥面距地面 7.9 米（ CD的长），试求出主塔 BD 的高（结果精确到 0.1 米，参考数据： sin31 °0.，52cos31°06.，8 tan31 °0.）60答案】主塔 BD的高约为

41、 86.9 米 解析】分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由 BD=BC+CD可得出 .【详解】在 Rt ABC中， ACB=90°，BCsin AAB BC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04 BD BC CD 79.04 7.9 86.94 86.9（米） 答：主塔 BD的高约为 86.9 米【点睛】 本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键 .12如图， AB为e O的直径， C、D为eO上异于 A 、 B的两点，连接 CD，过点 C 作 CE DB ，交 CD 的延长线于点 E ，垂足为点 E ，直径 AB

42、与 CE 的延长线相交于点 F .（1）连接 AC、 AD ，求证： DAC ACF180 .（2）若ABD 2 BDC .求证：CF 是 e O 的切线 .当 BD6，tan F3 时，求 CF 的长 .4【答案】（1）详见解析；（ 2）详见解析； CF20.3.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得 ADB=90°，即 AD BD，由CEDB 证得 ADCF，根据平行线的性质即可证得结论；（2）连接 OC先根据等边对等角及三角形外角的性质得出3=2 1，由已知4=21，得到 4=3，则 OCDB，再由 CEDB，得到 OCCF，根据切线的判定即可 证明 CF为O 的切线；BD

43、34由 CF AD，证出BAD=F，得出 tan BAD=tanF= ，求出 AD= BD=8，利AD 43OC 3用勾股定理求得 AB=10，得出 OB=OC=， 5，再由 tanF= = ，即可求出 CFCF 4【详解】解：（ 1） AB是e O的直径，且 D为 e O上一点，ADB 90 ，Q CE DB ，DEC 90 ，CF / /AD ，DAC ACF 180 . （2） 如图，连接 OC . Q OA OC ， 1 2 . Q 3 1 2 ，3 2 1.1，Q 4 2 BDC ， BDC4 2 1 ，4 3 ，OC / /DB.Q CE DB ， OC CF .又Q OC为 eO

44、的半径，3tan BAD tanF ，4BD 3AD 4 .Q BD 64AD BD 8 ，3AB 62 82 10， OBQ OC CF ，OCF 90 ，OC 5 .tanFOCCF3，4，解得 CF3点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（ 2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果13如图 1，在 Rt ABC中， ACB90°，AC3，BC4，动点 P在线段 BC上，点 Q在 线段 AB上，且 PQBQ，延长 QP 交射线 AC于点 D（1）求证： QAQD；（2）设 BAP，当 2tan 是正整

45、数时，求 PC的长；（3）作点 Q 关于 AC的对称点 Q，连结 QQ， AQ，DQ，延长 BC交线段 DQ于点 E，连结AE， QQ分别与 AP， AE交于点 M，N（如图 2 所示）若存在常数 k，满足 k?MN72【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出 BBPQ CPD，由直角三角形的性质得出 BAC D，即可得出结论；1（2）过点 P作 PHAB于 H，设 PH 3x， BH4x， BP 5x，由题意知 tan 1 或 ，当25tan 1 时， HA PH 3x，与勾股定理得出 3x+4x5，解得 x ，即可求出 PC长；711当 tan 时， HA 2PH6x，得出 6x+4x

46、 5，解得 x ，即可求出 PC长； 22（3）设 QQ与 AD 交于点 O，由轴对称的性质得出 AQ AQDQDQ，得出四边形1AQDQ是菱形，由菱形的性质得出QQAD， AO AD，证出四边形 BEQ'Q 是平行四边2形，得出 QQBE，设 CD3m，则 PC4m，AD3+3m，即 QQBE 4m+4，PE8m，MOPC由三角函数得出 MO tan PAC PC ，即可得出结果AOAC【详解】（1）证明： PQ BQ， BBPQCPD， ACB PCD 90 °， A+BAC90 °，D+CPD90 °， BAC D，QA QD；（2）解：过点 P作

47、PH AB于 H，如图 1 所示： 设 PH3x，BH4x，BP 5x，4由题意得： tan BAC ，BAP<BAC，31 2tan 是正整数时， tan 1 或 ，2 当 tan 1 时， HA PH 3x， 3x+4x 32 42 5，5 x ，73 即 PC 4 5x ；71当 tan 时， HA 2PH6x，2 6x+4x5，1 x ，23 即 PC 4 5x ；233 综上所述， PC的长为 或 ；72（3）解：设 QQ与 AD交于点 O，如图 2 所示： 由轴对称的性质得： AQAQ DQDQ， 四边形 AQDQ是菱形，1QQ AD，AO AD，2 BC AC， QQBE，

48、 BQEQ，四边形 BEQ'Q是平行四边形， QQBE，设 CD 3m ，则 PC4m， AD3+3m， 即 QQBE 4m+4，PE8m ，MOAO tan PACPCAC4m3MO3 3m2即 MN 2MO 4m （ 1+m），k PEgQQ 8m(4 4m)8 MN 4m(1 m)点睛】 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的 判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的 判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键14已知 RtABC， BAC 90°，点 D是BC中点，ADAC，BC4 3，过 A，

49、D两点作 O，交 AB 于点 E，（1）求弦 AD 的长；（2）如图 1，当圆心 O在AB上且点 M是 O上一动点，连接 DM交AB于点 N，求当 ON 等于多少时，三点 D、 E、M 组成的三角形是等腰三角形？（3）如图 2，当圆心 O不在 AB上且动圆 O与 DB相交于点 Q时，过 D作 DHAB（垂 足为 H）并交 O于点 P，问：当 O变动时 DPDQ 的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由答案】（ 1） 2 32）当 ON等于 1 或 31 时，三点 D、 E、 M 组成的三角形是等腰三角形 3）不变，理由见解析解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD 的长；（2）连 DE、ME，易得当 ED和EM 为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得 OEDM，易得到 ADC为等边三角形，得 CAD=60°，则 DAO=30°，DON=60