全国卷1（理数）

1、2015全国卷(理科数学)1L42015全国卷 设复数 z 满足1z1zi，则|z|()A1B. 2C. 3D21A解析 由1z1zi，得 z1i1ii，所以|z|1.2C52015全国卷 sin 20cos 10cos 160sin 10()A32B.32C12D.122D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.3A32015全国卷 设命题 p：nN，n22n，则綈 p 为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n3C解析 特称命题的否定是全称命题，故选 C.4K42015全国卷 投篮

2、测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6， 且各次投篮是否投中相互独立， 则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.3124A解析 记事件 M恰好投中 2 次，N3 次都投中，E通过测试，则事件M 与 N 互斥，且 EMN.又 P(M)C23(0.6)2(10.6)0.432，P(N)C33(0.6)30.216，所以 P(E)P(MN)P(M)P(N)0.648.故选 A.5H62015全国卷 已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点若MF1MF20，则 y0的取值范围

3、是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 335A解析 由题意不妨取 F1( 3，0)，F2( 3，0)，所以MF1( 3x0，y0)，MF2( 3x0，y0)，所以MF1MF2x20y2030.又点 M 在曲线 C 上，所以有x202y201，即x2022y20，代入上式得 y2013，所以33y033，故选 A.6G122015全国卷 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 11，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5

4、 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()图 11A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛6B解析 由题意，题中图形为四分之一圆锥，设圆锥的底面半径为 R，则由R28得 R16， 所以 V米14V圆锥1413162532033209(立方尺)， 所以32091.6221.9522(斛)7F12015全国卷 设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43ACB.AD13AB43ACC.AD43AB13ACD.AD43AB13AC7A解析 由题意知ADACCDAC13BCAC13(ACAB)1

5、3AB43AC.8C42015全国卷 函数 f(x)cos(x)的部分图像如图 12 所示，则 f(x)的单调递减区间为()图 12A.k14，k34 ，kZB.2k14，2k34 ，kZC.k14，k34 ，kZD.2k14，2k34 ，kZ8D解析 由图知T254141，所以 T2，即2|2，所以.因为函数 f(x)的图像过点14，0，所以当时，422k，kZ，解得42k，kZ；当时，422k，kZ，解得42k，kZ.所以 f(x)cosx4 ，由 2kx42k解得 2k14x0.01；S121414，m18，n2，S0.01；S141818，m116，n3，S0.01；S18116116

6、，m132，n4，S0.01；S116132132，m164，n5，S0.01；S132164164，m1128，n6，S0.01；S16411281128，m1256，n7，S0.01，循环结束故输出的 n 值为 7.10J32015全国卷 (x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D6010C解析 (x2x)y5的通项 Tr1Cr5(x2x)ry5r，由题意取 r3，得T4C35(x2x)3y2C35(x1)3x3y2，记(x1)3的通项 Tr1Cr3xr，由题意得 r2，所以 x5y2的系数为 C35C2330.11 G22015全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与

7、半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 14 所示若该几何体的表面积为 1620，则 r()图 14A1B2C4D811B解析 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为 r，高为 2r 的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为 r 的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为 2r2r12r212r2r2r2r24r25r21620，解得 r2.12B142015全国卷 设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整数x0使得 f(x0)0 得 x12，由 g(x)0得 x12，故函数 g(x)在，12 上

8、单调递减，在12，上单调递增又函数 g(x)在x12时，g(x)12时，g(x)0，所以其大致图像如图所示直线 yaxa 过点(1，0)若 a0，则 f(x)0.结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0，即存在唯一的整数 x0，使得点(x0，ax0a)在点(x0，g(x0)的上方，则 x0只能是 0，故实数 a 应满足f（1）0，f（0）0，f（1）0，即3e12a0，1a0，e0，解得32ea0)，则半径为 4t，所以 4t2(4t)2，解得 t32，所以圆的标准方程为x322y2254.15E52015全国卷 若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大

9、值为_153解析yx的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率画出可行域，如图中阴影部分所示由x1，xy40，得 C(1，3)，由题易知可行域上的 C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为 3.16C82015全国卷 在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则AB 的取值范围是_16( 6 2， 6 2)解析 如图所示MBABEB，在BMC 中，CBCM2，BCM30，由余弦定理知 MB22222222cos 3084 3( 6 2)2，所以 MB 6 2.在EBC 中，设 EBx，由余弦定理知 4x2x22xxcos 30，得 x284 3( 6 2)2，所以 x 6 2，即 E

10、B 6 2，所以 6 2AB0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和17解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13，可得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)又 an0，所以 an1an2.又由 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13，所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 可知bn1anan11（2n1） （2n3）1212n112n3 .设数列bn的前 n 项和为 Tn，则T

11、nb1b2bn121315 1517 12n112n3n3（2n3）.18G5、G112015全国卷 如图 15，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.图 15(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值18解：(1)连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中

12、，可得 BE 2，故 DF22.在 RtFDG 中，可得 FG62.在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF22，可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.(2)如图，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长，建立空间直角坐标系 G xyz.由(1)可得 A(0， 3，0)，E(1，0， 2)，F1，0，22 ，C(0， 3，0)，所以AE(1，3， 2)，CF1， 3，22 .故 cosAE， CFAECF|AE|CF|33

13、.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为33.19I42015全国卷 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值图 16xyw错误错误!(wiw)(yiy)46.65636.8289.81.61469108.8其中 wi xi，w18错误错误!i.(1)根据散点图判断，yabx 与 ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(

14、1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程(3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：(i)年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为错误错误!vu.19解：(1)由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程由于d错误错误!108.81.668，cydw56368

15、6.8100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y100.668w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y100.668 x.(3)(i)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值y100.668 49576.6，年利润 z 的预报值z576.60.24966.32.(ii)根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12，所以当 x13.626.8，即 x46.24 时，z取得最大值故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大20B12、H82015全国卷 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa

16、(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由20解：(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)或 M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24在 x2a处的导数值为 a，所以曲线 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即axya0.yx24在 x2a处的导数值为 a，所以曲线 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即axya0.故所求切线方程为axya0 和axya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设 P

17、(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0，故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1y2bx22kx1x2（ab） （x1x2）x1x2k（ab）a.当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意21B142015全国卷 已知函数 f(x)x3ax14，g(x)ln x.(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf(x)的切线；(2)用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)

18、minf(x)，g(x)(x0)，讨论 h(x)零点的个数21 解： (1)设曲线 yf(x)与 x 轴相切于点(x0， 0)， 则 f(x0)0， f(x0)0， 即x30ax0140，3x20a0，解得 x012，a34.因此，当 a34时，x 轴为曲线 yf(x)的切线(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，从而 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点当 x1 时，若 a54，则 f(1)a540，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故 x1 是h(x)的零点；若 a54，则 f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，所以只需考虑 f(x)在(0，1)上的零点个数(i)若 a3 或 a0，则 f(x)3x2a 在(0，1)上无零点，故 f(x)在(0，1)上单调而 f(0)14，f(1)a54，所以当 a3 时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当 a0 时，f(x)在(0，1)上没有零点(ii)若3a0，即34a0，则 f(x)在(0，1)上无零点；若 fa3 0，即 a34，则 f(x)在(0，1)上有唯一零点；若 fa3 0，即3a34，由于 f(0)14，f(1)a54，所以当54a34时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当334或 a54时，h(x)有一个零点；当 a