一元二次方程知识点总结及典型习题

1、第1页共13页一元二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1.理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式；2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1)明确只有当二次项系数a#0时，整式万程ax +bx+c=0才是一元二次万程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).(3)熟练整理方程的过程3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4.列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1.明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一

2、元一次方程求解；2.根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3.体会不同解法的相互的联系；4.值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如x2=n或(ax + b)2= n(a,0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 形如x2= n的方程的解法:第2页共13页当 n = 0 时，x = x? = 0;当n 0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x+m)? =n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：1移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方

3、程的左边，常数项移到方程的右边；2“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；3配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x + m)2= n的形式；4求解：若n芝0时，方程的解为x = -m，若n 0时，方程无实数解。当b2-4aca。时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等;2当b -4ac=。 时， 方程有两个实数根， 且这两个实数根相等， 写为 当b2-4ac 0时a = 0仁 方程有两个相等的实数根；)= 0从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2.常见的问题类型(1)利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的

4、情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式，证明一元二次方程根的情况1先计算出判别式(关键步骤)；2用配方法将判别式恒等变形；3判断判别式的符号；4总结出结论.例：求证：方程(a2+1)x22ax + (a2+4) = 0无实数根。(4)分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形

5、技巧(6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合(7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题(四)、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。a = 0u 方程有两个不相等的实数根；当0当a 0方程无实数根;第4页共13页2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a），增长率（x），变化的次数（n ）,变化后的基数（b），这四者之间的关系可以用公式a（1 +x）n= b表示。4.其它实际问题（都要注意检验解

6、的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （36岁）已知：a,b,c分别是AA B C的三边长，当m 0时，关于x的一元二次方程第5页共13页c（x2+m） +b

7、（x2m） 2jmax = 0有两个相等的实数根，求证：AABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分别是MBC的三边长，求证：方程b2x2+ （b2+ c2a2）x + c2=0没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx24x + 4 = 0与x24mx+4m24m-5 = 0的根都是整数？ （m=1）第6页共13页(6)已知关于x的方程x2+2x +2二=，其中m为实数，(1)当m为何值时，方程没有实 数根？( 2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：(1) m3 )(3) 7y2=11y(4) 9n2=5n2(原方程无实数根)2(2) y

8、 +4y 45=0 ( y=9, y2=5)(3)8x2+10 x - 3=。(x1=,x2= 3)42(4) J7x2疽五乂 =0 ( x1=0,x2=d3)(5) 6x23 J3x =2屈_虽(x,x2=2一)(6) (x - 5)2= 2(x - 5)-1 ( x1= x2= 6 ) 3(7)第10页共13页(x2+3x)22(x2+3) 8 = 0 ( x1= 2,x2= 1,x3= 4,x4=1)第11页共13页5.解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）（1） V2（2x_7）2=牌（x=7土很2(3) (m+ n)x2+2nx = mn ( m+n#0(2) 2m m2+1 = 2

9、(m2 2m)2( m =26)(3)6x(x -2) =(x -2)(x 3)(x1 = 2, x2=)5(4)y23 _ y(3 2y) y(3y -1)3一233(yi =”22=2)-22273(5)81(2x5)2=144(x3)2( x27,x-)1026.解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：(1) x2- 2mx m2- n2= 0(x1= m _ n, x2= m n)22(2) x 3a = 4ax -2a 1(x=3a -1乂=a 1)x= -1,x2第12页共13页(4) a2(x2-x 1) -a(x2一1) = (a2- 1)x(三)一元二次方程的根的判别式1.不

10、解方程判别方程根的情况：(1) 4x2_x+3=7x(有两个不等的实数根)(3) 4x2+5=4j5x(有两个相等的实数根)2-2. k为何值时，关于x的二次万程kx 6x十9=0(1)有两个不等的实数根(k 1且k=0)(2)有两个相等的实数根(k = 1)(3)无实数根(k1)3.已知关于x的方程4x2-(m+2)x = 1-m有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.八13(m=2,x=x?=；或m=10, x=x?=；)(讨论a)(2) 3(x2+2) = 4x(无实数根)第13页共13页4.若方程x2+2(a +1)x +a2+4a 5 =0有实数根，求：正整数a.( a = 1,

11、a = 2,a = 3)第14页共13页5.对任意实数m,求证：关于x的方程(m?+1)x2 2mx + m2+ 4 = 0无实数根.6. k为何值时，方程(k1)x2(2k+3)x + (k+3)=0有实数根.(当k一1=。时，原方程有一个实数根，x =；5k =121时，解碍21，所以当kN- 且k # 1时万程有两个实数根。k4421 ,、芝-一时，方程有头数根.)47.设m为整数，且4m40时，方程x22(2m3)x+4m214m十8 = 0有两个相异整数根， 求m的值及方程的根。(当m=12时，方程的根为x1=16,x2= 26；当m=24时，方程的根为x1=38,x2=52):_0

12、综上所述，当k第15页共13页（四）一元二次方程的应用1.已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3, 4, 5,面积为6）2.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数.（84）3.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册， 第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？（550, 605）4.某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（

13、不计利息税）(10%)第16页共13页5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（20元）6.已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为7.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.（20%）C向D运动，乙由B向C运动,40千米，问几分钟后，两人相距2而千米?（2分钟后）第17页共13页8.如图，东西和南北向两条街道交于。点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米 时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）9.已知关于x的方