【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第六篇第4节基本不等式

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第六篇第 4 节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,3利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13基本不等式的实际应用6,12,14基本不等式的综合应用5,8,10基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 已知 f(x)=x+-2(x<0),则 f(x) 有(C)(A) 最大值 0 (B) 最小值 0(C) 最大值 -4 (D) 最小值 -4解析 : 因为 x<0, 所以 f(x)=-(-x+)-2-2-2=-4,当且仅当 -x=, 即 x=-1时取等号 .选 C.2. 下列不等式一定成立的

2、是 ( C ) (A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+2(x k,k Z)(C)x2+1 2|x|(xR)欢迎下载。(D)>1(xR)解析 : 当 x>0 时,x2+ 2·=x, 所以 lg(x2+) lg x(x>0),故选项 A 不正确 ; 当 2k- <x<2k,k Z 时,sin x<0,sin x+<0,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知 , 选项 C 正确 ; 当 x=0 时, 有=1, 故选项 D 不正确.故选 C.3. 若 a,b R,ab0, 且 a+b=1,则下列不等式中 , 恒成立的是

3、 (B)(A)a2b2 (B)a2+b2 (C)(1+)(1+)9(D) + 4解析 : 由 a+b=1, 可得 a2+b2+2ab=1,因为 2aba2+b2, 当且仅当 a=b 时取等号 .所以 2a2+2b21,则 a2+b2.当 a,b 异号时 , 不妨取 a=-1,b=2, 易知 A,C,D 都不正确 .故选 B.4. 导学号 38486112(2017 ·枣庄一模 ) 若正数 x,y满足 +=1, 则 3x+4y的最小值是 (C)(A)24 (B)28 (C)25 (D)26解析 : 因为正数 x,y 满足 +=1,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第六篇

4、第节基本不等式则 3x+4y=(3x+4y)( +)=13+ 13+3×2=25,当且仅当 x=2y=5 时取等号 .所以 3x+4y 的最小值是 25.故选 C.5. 导学 号38486113(2017 · 山东平度二模 ) 若 直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0) 过点 (1,-2),则+最小值 (D)(A)2(B)6(C)12 (D)3+2解析 : 因为直线 2mx-ny-2=0(m>0,n>0) 过点 (1,-2), 所以 2m+2n-2=0,即 m+n=1,因为 +=(+)(m+n)=3+ 3+2,当且仅当 =, 即 n=m时取等号

5、,所以 +的最小值为 3+2,故选 D.6.(2017 ·河北邯郸一模 ) 已知棱长为的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形 ), 在侧棱 AB上任取一点 P(与 A,B 都不重合 ), 若点 P到平面 BCD 及平面 ACD的距离分别为 a,b, 则+的最小值为 ( C )(A)(B)4(C)(D)5解析 : 由题意可得 , a ·SBCD+bSACD=h·S BCD,其中 SBCD=S3 / 83 / 8ACD,h为正四面体 ABCD的高 .h=2,所以 a+b=2.所以 += (a+b)( +)= (5+) (5+2)=,当且仅当 a=2b=时取等号 .故

6、选 C.7. 设x,yR,且xy0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5+4x2y2 5+2=9, 当且仅当x2y2= 时“=”成立.答案 :98.(2017 ·洛阳二模 ) 设 a>0,b>0. 若是 3a 与 32b 的等比中项 , 则+的最小值为.解析 : 根据题意 , 若是 3a 与 32b 的等比中项 , 则有 3a+2b=3,则有 a+2b=1;则+=(a+2b)( +)=4+(+) 4+2=8,当且仅当 a=2b=时, 等号成立 .即+的最小值为 8.答案 :8能力提升 ( 时间 :15 分钟 )9. 若对于任意的x>0

7、, 不等式 a 恒成立 , 则实数a 的取值范围为【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第六篇第节基本不等式(A)(A),+)(B)(,+ )(C)( -,)(D)(- ,解析 : 由 x>0,=,令 t=x+, 则 t 2=2,当且仅当 x=1 时,t取得最小值 2. 此时取得最大值 ,所以对于任意的x>0, 不等式 a 恒成立 , 则 a. 故选 A.10. 导学号 38486114(2017 ·揭阳一模 ) 已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a R), 恒过第三象限上一定点 A, 且点 A 在直线 3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,

8、 则+的最小值为 ( B ) (A)4 (B)12(C)24 (D)36解析 : 抛物线 y=ax2+2x-a-1(a R),即 y+3=(x+1)(ax-a+2),所以 A(-1,-3),所以 m+n=,又+=+=6+3(+)6+6=12,当且仅当 m=n时等号成立 .故选 B.5 / 85 / 811.(2017·山东淄博一模) 设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(C)(A)4(B)6(C)8(D)9解析 :=(a-1,1),=(-b-1,2),因为 A,B,C 三点共线 , 所

9、以 2(a-1)-(-b-1)=0,化为 2a+b=1.又 a>0,b>0, 则 +=(2a+b)( +)=4+ 4+2=8, 当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.(2017·江苏卷) 某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买x 吨,运费为 6 万元 / 次, 一年的总存储费用为总存储费用之和最小 , 则 x 的值是4x 万元 ,.要使一年的总运费与解析 : 一年的总运费为6×=( 万元 ).一年的总存储费用为4x 万元 .总运费与总存储费用的和为(+4x) 万元 .因为 +4x2=240,当且仅当 =4x,即 x=30 时取得等号 ,所以当 x=30

10、时, 一年的总运费与总存储费用之和最小.答案 :30【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第六篇第节基本不等式13.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20.(1)求 u=lg x+lg y的最大值 ;(2)求+的最小值 .解:(1) 因为 x>0,y>0,所以由基本不等式 ,得 2x+5y=202.即 xy10, 当且仅当 2x=5y 时等号成立 , 此时 x=5,y=2,所以 u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1.所以当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y有最大值 1.(2) 因为 x>0,y>0, 所以 +=(+)

11、·=(7+) (7+2) =, 当且仅当 =时等号成立 .所以 +的最小值为.14. 某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池 , 池的深度一定 ( 平面图如图所示 ), 如果池四周围墙建造单价为 400元/ 米, 中间两道隔墙建造单价为 248元/ 米, 池底建造单价为 80 元/ 平方米 , 水池所有墙的厚度忽略不计 .(1) 试设计污水处理池的长和宽 , 使总造价最低 , 并求出最低总造价 ;(2) 若由于地形限制 , 该池的长和宽都不能超过 16 米, 试设计污水处理池的长和宽 , 使总造价最低 , 并求出最低总造价 .7 / 87 / 8解:(1) 设污水处理池的宽为x 米, 则长为米 .总造价 f(x)=400 ×(2x+)+248 ×2x+80×162=1296x+12960=1296(x+)+12960 1296 × 2+12960=38880,当且仅当 x=(x>0),即 x=10 时取等号 .所以当污水处理池的长为 16.2 米, 宽为 10 米时总造价最低 , 总造价最低为 38