经典：曲面的法向量与切线方程

1、2021/8/61主要内容主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极限运算极限运算多元连续函多元连续函数的性质数的性质多元函数概念多元函数概念2021/8/62全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性方向导数方向导数全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数多元函数的极值的极值2021/8/63练练 习习 题题1.1.3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz 求求设设4

2、.4.)( . , ), ,(2223二二阶阶偏偏导导数数连连续续求求设设fyxzyzxyxyfxz 2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz ，求求具具有有二二阶阶导导数数设设)(二二阶阶偏偏导导数数连连续续f5.5. , 2yxzezyxz 求求设设6.6. , ),( ),(),(2xvxugfyvxugvyvuxfu ，求求偏偏导导数数连连续续设设.lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx 求求极极限限2021/8/641.1.解解)0(,sin ,cos )1( yx令令. 0 )0 , 0(),( 等等价价于于则则yx cos)cos(si

3、n)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim 2200 yxxxyyx故故.lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx 求求极极限限xyyxyx lim )2( xyyx11lim. 0 2021/8/652.2. )( ),(222222xzfyxyxfz ，求求具具有有二二阶阶导导数数设设解解令令,2222yxyxu ).( ufz 则则z uxyz型型xududfxz ).22(2xxyf fxxyxxz )22(222uxyz型型f xfxxyxxyxf )22()22(22 xudufdxxyyf)22()22(22)22()

4、22()22(222xyxfxxyyf .)1(4)1(2222fyxfy 2021/8/663.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz 求求设设)(二二阶阶偏偏导导数数连连续续f解解令令,xyu ; yv ).,( vufz 则则记记,1uff ,12211ufuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff .2221ufuvff 二阶偏二阶偏导连续导连续xuufxz ,1fy z uvxy型型vfyuufyz ,21ffx 2021/8/67xuufxz ,1fy vfyuufyz ,21ffx 1f uvxy型型2f uvxy型型)(122f yxx

5、z xfy 1xuufy 1.112fy )(2122ffxyyz yffxy 21)(yfyfx 21 vfyuufvfyuufx2211 22211211ffxffxx .22212112ffxfx )(12f yyyxz yfyf 11 vfyuufyf111).(12111ffxyf 2021/8/684.4.)( . , ), ,(2223二二阶阶偏偏导导数数连连续续求求设设fyxzyzxyxyfxz 解解令令,xyu ;xyv ).,( 3vufxz 则则记记,1uff ,12211ufuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff .2221ufuvff 二阶偏

6、二阶偏导连续导连续 yvufxyz 3),( yfx 3)(3yvvfyuufx )1(213xfxfx .2214fxfx fuvxy型型2021/8/69 yfxfxyz 221422 yyfxfx2214 yfxyfx 2214)()(222114yvvfyuufxyvvfyuufx )1()1(2221212114xfxfxxfxfx ,222123115fxfxfx 2112ff yvufxyz 3),( yfx 3)(3yvvfyuufx )1(213xfxfx .2214fxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx 2021/8/610 xyzyxz 22)(2214fxf

7、xx xfxfxxfxfx22221414)()( 411413xvvfxuufxfx 22222xvvfxuufxfx 421211413xyfyfxfx 22222122xyfyfxfx2021/8/611.2422114213 fyfyxfxfx 421211413xyfyfxfx 22222122xyfyfxfx 122114134fyxfyxfx2221222fyfyxfx 411413xvvfxuufxfx 22222xvvfxuufxfx2021/8/6125.5. , 2yxzezyxz 求求设设解解设设,),(zezyxzyxF 则则, 1 xF, 1 yF,1zzeF zx

8、FFxz ze 11 112zyxyyxz),(yxzz ,11 zyx2)1()1( zyxyzzyFFyz ze 11,11 zyx3)1( zyxzyx2021/8/6136.6. ,),(), ,(), ,(2xvxugfyvxugvyvuxfu ，求求偏偏导导数数连连续续设设解解令令,uxs ; yvt 记记,1sff ,2tff , xu .2yv 则方程组为则方程组为 ). ,(), ,( gvtsfu,1 gg.2 gg方程组两端对方程组两端对 x 求偏导数：求偏导数： .,xgxgxvxttfxssfxu 2021/8/614方程组两端对方程组两端对 x 求偏导数：求偏导数：

9、 .,xgxgxvxttfxssfxu .2)1(,)(2121xvyvgxugxvxvfxuxufxu.2, 1,xvyvxxuxxvxtxuxuxs .)12( , )1(121121gxvgyvxugfuxvfxufx2021/8/615121 2121 gyvgff xD在在1 221)12)(1(gfgyvfx 0 的条件下，方程组有唯一解。的条件下，方程组有唯一解。1221211 gyvgffuD,)12(1 221gfgyvfu 111121ggfufxD ).1(111 fufxg,)12)(1()12(12211 221gfgyvfxgfgyvfuxu ,)12)(1()1(

10、1221111gfgyvfxfufxgxv 2021/8/6167. 求曲线求曲线 ,417)1(3,49222222zyxzyx（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）上对应于上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。8. 试证曲面试证曲面)0( aazyx上任何点处上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。的的最最短短距距离离之之间间与与平平面面求求旋旋转转抛抛物物面面2222 zyxyxz9.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22 设设10.2021/8/6177. 求曲线求曲线 ,417)1(3

11、,49222222zyxzyx（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）上对应于上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。解解将将 x = 1 代入方程组，代入方程组， ,417)1(3,4912222zyzy解方程组得，解方程组得， , 1, 5 . 0 , 1, 5 . 0zyzyx = 1 处的点为处的点为).1 ,.50 , 1( ),1 ,.50 , 1(21 MM将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导，求导，2021/8/618将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导，求导， , 02)1(26, 0222dxdzzdxdyyxdxdzzdx

12、dyyx)(xyy )(xzz ,3)1(, xdxdzzdxdyyxdxdzzdxdyyzyzyD1 z 时时， 0 ,23xzzxzxdxdy .231zxxyzxyxydxdz 方程组有唯一解。方程组有唯一解。, )1 ,0.5 , 1( 1点点对对 M切向量切向量, 111MxMxzyT ,2 , 2 , 1 2021/8/619, )1 ,0.5 , 1( 1点点对对 M切向量切向量, 111MxMxzyT ,2 , 2 , 1 切线方程切线方程.2125 . 011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5 . 0(2)1( zyx. 022 zyx, )1 ,0.5 , 1( 2

13、点点对对 M切向量切向量, 122MxMxzyT ,2 , 2 , 1 切线方程切线方程.2125 . 011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5 . 0(2)1( zyx. 0422 zyx2021/8/6208. 试证曲面试证曲面)0( aazyx上任何点处上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。证证曲面上任取一点曲面上任取一点 M (x0, y0, z0).设设.),(azyxzyxF ,21xFx ,21yFy .21zFz 曲面在点曲面在点 M (x0, y0, z0) 处的法向量处的法向量21 ,21 ,21 000zyxn 切平面

14、方程切平面方程0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx2021/8/621切平面方程切平面方程0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx,000000zyxzzyyxx .000azzyyxx 点点 M 在曲面上，因此在曲面上，因此.000azyx 切平面方程切平面方程化为截距式化为截距式. 1000 azzayyaxx所以截距之和为所以截距之和为000azayax )(000zyxa .a 2021/8/6229.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22 设设解解函数的定义域：函数的定义域：00| ),( yxyxDxyxfx42 yyx

15、fy102 令令, 0 , 0 解得解得),35 ,34( ),35 ,34( ),2 , 1( ),2 , 1( 其中只有其中只有D )2 , 1(是驻点。是驻点。,422xfxx , 1 xyf.1022yfyy 点处，点处，在在 )2 , 1( , 06 A, 1 B,29 C, 0262 ACB因此，在因此，在(1, 2)处取得极小值处取得极小值. 2ln107)2 , 1( f2021/8/623的的最最短短距距离离之之间间与与平平面面求求旋旋转转抛抛物物面面2222 zyxyxz10.解解,),(22上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设yxzzyxP ,022dzyxP的的距距离离

16、为为到到平平面面 则则.2261 zyxd设设.)22(61),(2 zyxzyxu则问题就是在条件则问题就是在条件022 yxz下，下，求求2)22(61),( zyxzyxu的最小值。的最小值。构造函数构造函数),()22(61),(222yxzzyxzyxF 2021/8/624 )4( , 0)3( , 0)2)(22(31)2( , 02)22(31)1(, 02)22(31 22yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx 令令.81 z构造函数构造函数),()22(61),(222yxzzyxzyxF 由由 (1), (3) 得得,41 x由由 (2), (3) 得得,41 y代入代

17、入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的极值点即得唯一可能的极值点2021/8/625.647241414161min d值一定存在，值一定存在，根据题意，距离的最小根据题意，距离的最小处处取取得得最最小小值值故故必必在在)81 ,41 ,41(.81 z由由 (1), (3) 得得,41 x由由 (2), (3) 得得,41 y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的极值点即得唯一可能的极值点2021/8/626例例 已知曲面的方程为已知曲面的方程为,sinxyxz 证明：曲面上任一证明：曲面上任一点处的切平面通过某一定点。点处的切平面通过某一定点。解解设曲面上任一点为设曲面上任一点为 M ( x0, y0, z0 ) . xyxxzxsin,cossinxyxyxy xyxyzysin,cosxy 曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为处的法向量为 1 ,cos ,cossin 00000000 xyxyxyxyn切平面方程切平面方程0)()(cos)(cos(sin00000000000 zzyyxyxxxyxyxy2021/8/627曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为处的