中学考试圆有关地动点几何压轴题

1、实用标准北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：年级：初三辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期授课时段授课主题中考25题压轴题之涉及圆问题分析教学内容与圆有关的常见辅助线添加方法辅助线秘诀一已知直径或作直径，我们要想到两件事：1;直径上有一个隐藏的中点（圆心）2;利用圆周角定埋构造直角二角形辅助线秘诀二作半径1;连半径，造等腰三角形2;作过切点的半径辅助线秘诀三涉及弦长，弦心距；可造垂径定理的模型，为勾股定理创造条件辅助线秘诀四切线的证明1；后交点：连半径，证垂直2;无交点：作垂直，证半径辅助线秘诀五已知数圆心角度数，要想到同弧所对圆周角度数，反之亦然。文案大全实用标准辅助线秘诀六出现等弧问题时，我

2、们要想到1;在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等。2;在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角，圆周角也相等。辅助线秘诀七已知三角比或求某个角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，没有作垂直注意；同角或等角的三角比相同辅助线秘诀八圆中出现内接正多边形时；作边心距，抓住一个直角三角形来解决辅助线秘诀九已知两圆相切，常用的辅助线是；1;作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系2;作连心线辅助线秘诀十已知两圆相交，常用的辅助线是；1;作两圆公切弦2;作连心线例题讲解文案大全实用标准定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，三角形面积比值1 （本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小

3、题各5分）1已知：如图，在 Rt ABC中，/C=90 , BC=4, tan/CAB=_，点O在边AC上，以点O为圆心的圆2过A、B两点，点 P为AB上一动点. f（1）求。O的半径；（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D,设AP=x, BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； 一S ,（3）联结BP ,当点P是A寸的中点时，求 ABP勺面积与 ABD勺面积比_&BP的值.S .ABD文案大全定圆结合直角三角形，考察三角形相似，线段与三角形周长的函数关系2 (2010?上海)如图，在 RHABC中，/ ACB=90 .半径为1的圆A与边AB相交于点 D,与边AC相交于点E

4、, 连接DE并延长，与线段 BC的延长线交于点 P.(1)当/ B=30°时，连接 AP,若 AEP与 BDPt目似，求 CE的长；(2)若CE=2 BD=BC求/ BPD的正切值；(3)若tan / BPD1，设CE=k ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题3.如图，在半径为 5的。中，点 A B在。0上，/ AOB=90，点C是弧AB上的一个动点， AC与OB的延长线 相交于点D,设AC=k BD=y（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果。Q与。相交于点A、C,且O Q与。的圆心距为 2,当BD=

5、OB时，求。Q的半径；3（3）是否存在点 C,使彳DCE DOC如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切4 （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半彳空为4的。中，点C是以AB为直径的半圆的中点，ODLAC垂足为D,点E是射线AB上的任意一点,DF/ AB, DF与 CE相交于点 F,设 EF=x, DF=y .(1)如图1,当点E在射线OB±时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；(2)如图2,当点F在。上时，求线段 DF的长；(3)如果以点E为圆心、EF为半径的圆与。O相切，求线段

6、 DF的长.(第动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似5 （14 分）（2014?金山区二模）如图，已知在梯形ABCM, AD/ BC, AB± BC, AB=4, AD=3 sin / DCB= , P是5边CD上一点（点 P与点C D不重合），以PC为半径的。P与边BC相交于点C和点Q.（1）如果BP± CD 求CP的长；（2）如果PA=PB试判断以AB为直径的。与。P的位置关系;（3）联结PQ如果 AD可口 BQPf似，求 CP的长.动圆结合内切直角三角形，考察相似，两线段函数关系6. 2005中考（本题满分12分，每小题满分各为 4分）在4ABC中，Z ABC= 90&

7、#176; , AB= 4, BC= 3,。是边AC上的一个动点，以点 。为圆心作半圆，与边 AB相切于点D, 交线段 OCT点E,作EP，ED,交射线AB于点P,交射线 CB于点F。（1） 如图 8,求证： AD AEP;（2） 设OA= x, AP= y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 当BF= 1时，求线段AP的长.图9 （备用图）动圆结合定圆，考察两线段函数关系，圆相切7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图1,已知Uo的半径长为3,点A是LIO上一定点，点P为Uo上不同于点A的动点。1 .,(1)当tan A =_时，求AP的

8、长；2(2)如果|_Q过点P、O ,且点Q在直线AP上(如图2),设AP =x , QP = y，求y关于x的函数关系式，并 写出函数的定义域；4(3)在(2)的条件下，当tanAM一时(如图3),存在L M与口。相内切，同时与L Q相外切，且OM 1OQ ,3试求L M的半径的长。(第25题图)动圆结合定圆，考察两线段函数关系，相似，勾股定理，圆相交和正多边形8.如图1,已知。的半径长为1, PQ是。的直径，点M是PQ延长线上一点，以点 M为圆心作圆，与。交于 A、B两点，连接PA并延长，交。M于另外一点C.(1)若AB恰好是。的直径，设 OM=x AC=y,试在图2中画出符合要求的大致图形

9、，并求 y关于x的函数解析(2)连接 OA MA MC若OAL MA且 OMAfPMCf似，求 OM勺长度和。M的半径长；(3)是否存在。M使得AR AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM勺长度和。M的半径长；若不存在，试说明理由.动圆结合三角形，考察相似，线段比，圆位置关系9.2006中考25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分3分) 已知点P在线段AB上，点。在线段AB的延长线上。以点 。为圆心，OP为半径作圆，点 C是圆O上的一点。(1)如图，如果 AP=2PB PB=BO 求证： CASBCQ(2)如果AP=m(m是常数，且 m。，

10、BP=1, OP是OA OB的比例中项。当点 C在圆。上运动时，求 AC BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以 BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应 m的取值范围。1解：(1)联结OB在 RtABC 中，/C=90：1BC =4 , tan/CAB= 一, 21分) .AG8.设 OB =x,则 OC =8-x .在 RtOBC 中，NC=90:2 _2 . 2-x =（8 x ） +4 . （2 分）解得x =5 ,即O O的半径为5. （1分）（2）过点O作OHLAD于点H.OHi圆心，且 OHL AD1 1、AH =_AP=_x. （1

11、分）2 2在 RtA AOH 中，可得 OH = JAO2 AH 2x2 "00-x2八即 OH =，25 - （1 分）在 AOH和 ACD中，1分）NC =ZOHA,OH AH CD ACZHAO =NCAD , . .AAOIHo ADC ,100-x2 x即一2一=2.4 y 8/曰 8.100 二x2得 y 二一 定义域为0 <x <4/5 .（3） P是 AB的中点，AP=BP AGBO，PO直平分 AB设/CAB =口，可求得 ZABO=ot, /COB =2ct,2OBC =90 = 2ct , /AOP =90=u , /ABD=90° + c

12、（, NAPB =2/APO =90 0+a ./ABD =/APB. .ABM ABID Sj'APfS Abd ab /ABP=/D.1分）1分）由 AP=BP可得 /ABP=/PAB . PAB = D .BD =AB =4jg,即 y =4痣.（1 分）由 y=8 100x 4 可得 x2 =5010 石，即 AP2 =501075 . xS&bpiAP ；2 50 105 5石（S.abd - AB -808.1分）1分）（1分）1分）2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。专题：几何综合题；压轴题。分析：（1）当/B=30°

13、;时，ZA=60° ,此时 ADE是等边三角形， 则/ PEC=Z AED=60 ,由此可证得/ P=Z B=30° ;若 AEP与4BDP相似，那么/ EAP土 EPA B=/P=30° ,此时 EP=EA=1即可在 PEC中求得 CE的长；（2）若BD=BC可在RtABC中，由勾股定理求得 BD BC的长；过C作CF/ DP交AB于F,易证得 AD AFC, 根据得到的比例线段可求出 DF的长；进而可通过证 BCM BPD根据相似三角形的对应边成比例求得 BP、BC 的比例关系，进而求出 BR CP的长；在RtCEP中，根据求得的 CP的长及已知的 CE的长即

14、可得到/ BPD的正切值；（3）过点D作DQLAC于Q,可用未知数表示出 QE的长，根据/ BPD（即/ EDQ的正切值即可求出 DQW长；在 鼻 ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得 EQ DQ AQ的长；易证得 ADQ ABC根据得到的 比例线段可求出 BD BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到V、x的函数关系式.解答：解：（1）B=30° , / ACB=90 ,/ BAC=60 . AD=AE，/AED=60 =/CEP/ EPC=30 . . BDP为等腰三角形. AEP 与 4BDP 相传I,/ EPA=/ DPB=30 , . AE=EP=1

15、 在 RtECP中，ECEP；22(2)设 BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：(x+1) 2=x2+ (2+1) 2,解之得x=4,即BC=4过点C作CF/ DP. ADE 与 4AFC 相似，. 迪要，即 AF=AC 即 DF=EC=2AC-AFBF=DF=2. BFC 与 4BDP 相似,BD-BP42,即：BC=CP=4tan / BPdJJ JCP4-2(3)过D点作DQLAC于点Q.则4DQE与APCE相似，设 AQ=a 则 QE=1 a.潢嗡且tan/BPD ”1-1DQ=3 (1- a).在RtADQ中，据勾股定理得： ADaQ+dQ 即：12=a2+3 (1 - a

16、) 2,解之得-1 (舍去)， 5 ADQf ABC 相似，9，期里望工.AB BC AC 1+* 5+5k5+5 x 口厂_3+3 工 即-, BC-ABC的周长 y=AB+BC+AC=5+5工.3+3k即：y=3+3x,其中 x>0.3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。 专题：代数几何综合题；分类讨论。分析：（1）过。的圆心作OELAC垂足为E.通过证明 OD94AOE求得必望!，然后将相关线段的长度代入OE AE求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；（2）当BD=1OB时，根据（1）的函数关系式求得 y=E, x=6.分两种情况来解答 OA的值

17、当点O在线段OE上时,33OE=OE- OO2;当点Q在线段EO的延长线上时，QE=OE+OO6; 1 ,ISO -二6, 5"，然后由三角形的(3)当点 C为 AB的中点时，/ BOC方AOC=/AOB=45 , / OCA= OCB=2内角和定理求得AA证明 DC中 DOC/DCB=45 ,由等量代换求得/ DCB=Z BOC根据相似三角形的判定定理 解答：解：（1）过。的圆心作OEL AC垂足为E,AE=1aC与,OE叭. /DEO之 AOB=90 ,D=90° - / EODh AOE， OD修 AOE，亚萼，. OD=y+5,严 二,OE AE后手卷,5V100

18、- J - 5K. y关于x的函数解析式为：尸 定义域为：U<k<5血.（1分）当BDOB时，/至二动。_ J 33 3 xx=6.AE=1l=3，。可十 - 了二4当点O在线段OE上时,QE=O曰OO=2，otA=o1E2+AE2=hV22 + 32=V13当点O在线段EO的延长线上时，OE=OE+OO6, 0 A=，0e'+ae2T6之+3,二3遥o O的半径为5豆或35（3）存在，当点 C为靛的中点时， DC/ DOC证明如下：当点 C为淳的中点时，/ BOCW AOC/AOB=45 ,2180-45"又 OA=OC=OB-. / OCAW OCB=ql一=

19、6, 5° ，DCB=180 - / OCA / OCB=45 .DCB=Z BOC 又. / D=Z D,. DC歆 DOC存在点 C,使彳# DC"ADOCAOEL AC,利用点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理.此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线 相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解.4.解：（1）联结 OC AC是OO的弦，ODLAC，ORAD （ 1 分）1 一 1 . - DF/ AB 一 CF=EF, . . DF= _ AE = （AO +OE） . （ 1 分）2 2点C是以AB为直径的半圆的中点， COL

20、AB （1分）. EF=x , AGCG4, . .C&2X , OECE2 -OC2 = T'4x2 -16 =2dx2 -4 .（1 分）. y =2（4+2jx2 4） =2+%；x2 4.定义域为 x 之2. （1+1 分）11（2）当点 F在OO上时，联结 OC OF EF=1CE=OF = 4 ,，OGOB=AB=4.（分） 22B时,BE=FE. DF=2+V42 -4 =2+2 <3 . （1 分）（3）当。E 与。O外切于点CE2 -OE2 =CO2 ,（2x）2 -（x 4）2 = 42, 3x2 -8x -32 = 0 , X2= j7(舍去).(1

21、 分)1 3234 4 7X 14 2 7八DF=_(AB+BE) =_(8 +-)=-. (1 分)2 233当。E与。0内切于点 B时，BE=FE. CE2 OE2 =CO2 ,(2x)2 -(4 -x)2 =42, 3x2 8x_32 =0,.=-币,x2 = -4-4"(舍去). (1 分)3 3114 4. 7、 14 -2 7八.DF= (ABBE)= (81 2233当。E与。内切于点 A时，AE=FE.CE2 OE2 =C02 ,22 一 22. (2x)2 -(4 x)2 =42, 3x2 8x-32 =0,一x1-4 4,7x x2-4 -4 7 、(舍去).31

22、分)DF=1aE22.7-231分)5. : (1)作 DHL BC于 H,如图 1, AD/ BC, AEJ± BC, AB=4, AD=3DH=4, BH=3在 RtADHC, sin/DCHd,DC 5DC=5,ch4dc2 -dM=3,BC=BH+CH=6 BP, CD/ BPC=90 ,而/ DCH之 BCP RtA DCHh Rt BCP 匹二里即昱士BC PC 6 PCpcA； 5(2)作PH AB于E,如图2, PA=PBAE=BE= AB=2,2 PE/ AD/ BC, .PE为梯形ABCDW中位线，PD=PC PE（AD+BC =1 （3+6）=区222PC= B

23、C=22EA+PC=PE 以AB为直径的。O与OP外切；（3）如图 1,作 PF71 BC于 F,贝U CF=QF设 PC=x,贝U DP=5 x,. PF/ DH . CPD ACDH.,.四=£E,即工=旦，解得cf3, CD CH 5 35CQ=2C等，5BQ=BG- CQ=6-空，5PQ=PC/ PQC=/ PCQ AD/ BC, /ADP+Z PCQ=180 ,而/ PQC吆 PQB=180 , / ADP玄 PQB当 ADW BQP=,即 =-r-=-,BQ QP 6 一旦 x 5整理得 2x2 - 25x+50=0,解得 xi=-, X2=10 （舍去），2经检验x=W

24、是原分式方程的解.2-5PC*2当 ADW PQB.幽匹，即金=" :PQ BQ x 6-奥整理得 5x2 - 43x+90=0,解得 x1=, x2=5 （舍去）,5经检验x=是原分式方程的解.51 Q PC*, 518,E一一一 F .如果 AD可口 BQPt目似，CP的长为二或225.(1证明：连结OD'：AP切半圆于 D, . ODA= PED =90 又：OD =OE,. ODE "OED90 ODE =90 OED.EDA =/PEA,又 A A =/A ADE L AEPOD5=OD= OE,同理可得:4AD x5：ADE I tAEPAP AE641

25、6x = y = x255AE AD 84x x55(x 0)(3)由题意可知存在三种情况但当E在C点左侧时B F显然大于4所以不合舍去,5 ，, 一当x A5时AP aAB(如图)延长DO, BE交于H 易证.DHE三DJE6HD = 6 x, PBE -PDH =90 5.：PFB L PHD16 )x5PPB12 =x5PB =2= AP =6I!当x<5时P点在B点的右侧4延长DO,PE交于点H同理可得 DHE三EJDPBF L PDH，点、P 在射线 DH 上，SZcdp-Zabc,DC BC DC BA-.或-/. DP BA DP - BC，.”：或;尸(1.|)或P(1,

26、*25、解:(1)作OH_UF于凡'0H过圆心,AP是弦,，AP=2AH, 1分在 RtAAOH 中 p tan ', OA-3 尸，设 OH=kp AH=2k nrh 2 门开： Af-r- ia 43 点,JX工 J 立"JJ , ' ,» h. . rw . .一.一 w . » » . gw. .，1 J，AP=2AH葭石2 分<2)联结P。，联结OQ0Q过点巴 O, .PQ-OQ, .ZQPO-ZQOP,1曰过点匕4,二PO-AO, ,NQPOm/Af.ZQOP=ZA,又7/P=/P, /.AQPOAOPA, 2

27、分AP AOOP = QOx 3g同】一二f 1 3 j 0<h«6,2, 13 yx<3)作FFLao于F,联结OP, igQAf的半径长为r4tan 3 =-,，设 PFTaAF»3a a>0 .<*OF=3-3a>3在 RtAOPF 中，二口标=g ”F 即9 = (3 3口十6序，7.ig9即若”二一9 _518 = 25OM同时与G)。相内切，与。Q相外切，MO=3-r, QM="，1 分.”n，OQ,，在 RtAOMQ 中 j MQ：=QM - O。"55gq即，斗厅=»)/(),.=二，即。班的半径长

28、为2分j-211118.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。 专题：计算题；证明题。分析:(1)过点M作MNL AC,垂足为N,可得邸二就二工,再根据PML AB,又AB是圆。的直径，可得PN=V2+7V，在RtAPNM,再利用cos/NPM二居即可求得丫关于x的函数解析式；PM(2)设圆M的半径为r,利用勾股定理求出 OM根据 OMAAPM(C可彳# PMO直角三角形.然后可得/ CPM /PCMtB不可能是直角.又利用/ AOM=2Pw / P,可得即若A OMA< PMG目似，其对应T只能是点 。与点C对 应、点M与点P对应、点A与点M对应.从而求

29、得 OM然后即可求得。M的半径长.(3)假设存在。M使得AR AC恰好是一个正五边形的两条边，连接 OA MA MC AQ设公共弦 AB与直线OM 相交于点 G,由正五边形求得/ AMB /BAG再利用AB是公共弦，OML AB, / AMO=36 ,从而求得/ AOM= AMQ 在求证 MA0 MOA利用相似三角形对应边成比例即可求得.解答：解：(1)过点M作MNL AC,垂足为N,. 1一 AN=由题意得：PML AB,又AB是圆。的直径，OA=OP=1 ./APO=45 , PA=V2，在 RtPNMK ss/NPg卷， Jrin又 PM=1+x / NPM=45 ,.近令V2 c口s45 = 二 >CDS4D 1+x2，y关于x的函数解析式为 尸&宜r无(