九年级春季班第10讲直角三角形的存在性问题-教师版0001

1、直角三角形的存在性问题内容分析在考虑ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：A 90 ;B 90 ;C 90 .在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下 一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似 /全等等知识才能求得.知识结构模块一：以函数为背景的直角三角形问题知识精讲1、知识内容:在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似 或者勾股定理的计算来确定直角三角形2、解题思路：(1) 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；(2) 计算出相应的边长等信息；(3) 根据边长

2、与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.例题解析【例1】如图，抛物线yy轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;3 23.、-x -x 3与x轴交于A、B两点(点 A在点B的左侧)，与84(2)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点, 角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.【答案】(1) A、B的坐标分别为(4, 0), (2, 0);(2)直线l解析式为y 3x 3或y 3x 3.44【解析】(1)解方程 3x2 3x 3 0,84可得：A、B的坐标分别为(4, 0), (2, 0);(2)设AB中点为D, D点为(1,0),以D为圆心，AD为半径作圆,若l与y轴平行，则找不到 3

3、个M点，使ABM为直角三角形.必定存在2个M点，使 A 90或B要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个” 即直线l与圆D相切，设切点为 M。，过M0作M°H，x轴于H, DE 5, DM 0 AD 3 ,912DH - , M0H 一. 554 12 八 412二M0的坐标为一，一或一，一 .5555 33，直线l解析式为y x3或yx3.44【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的 条件，从而求出正确的结果.【例2】 在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数 y x2 bx c的图像经过点A （ 1,0）和点B （0, 3）,

4、顶点为P.（1）求二次函数解析式及点 P的坐标；（2）如果点Q是x轴上一点，以点 A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点 Q 的坐标.2【答案】（1）解析式：y x 2x 3 ,顶点（1, 4）;（2）点Q的坐标是（1, 0）或（9, 0）.【解析】（1）由题意得1b c 0,解得：b 2 , c 3;c 3，二次函数解析式为 yx2 2x 3 x 1 2 4,.点P的坐标是（1,4）;（2） P （1, 4）, A （ 1,0）,，AP2 20设点 Q 的坐标是（x, 0）,则 AQ2 x 1 2 , PQ2 x 1 2 16 .。当 AQP 90 时，AQ2 PQ2 AP2 , 22x

5、 1 x 116 20 ,解得：X 1 , x2 1 （不合题意，舍去），.点Q的坐标是（1,0）;当 APQ 90 时，AP2 PQ2 AQ2 ,2220 x 116 x 1 ,解得：x 9,点Q的坐标是（9, 0）.当 PAQ 90时，不合题意.综上所述，所求点 Q的坐标是（1, 0）或（9, 0）.【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标.模块二：以几何为背景的直角三角形问题知识精讲1、解题思路：(1) 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；(2) 运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长

6、.例题解析【例3】 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半 轴上，OA = 4, OC = 2 .点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点 A匀 速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕 点P按顺时针方向旋转 90°得点D,点D随点P的运动而运动，连接 DP、DA.(1)请用含t的代数式表示出点 D的坐标；(2)在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三角形？若能， 求t的值.若不能，请说明理由.【答案】(1) D点坐标为t 1,1；t = 2或3.2【解析】解：(1)取CP中点M,作MNXOP

7、T N,作DH LPA于H.可得，MNP PHD . MN 1 , NP ； , P点坐标为D点坐标为t 1,-；2(2)当 PDA 90 时，PHDs t.PH hd即工工，解得:HD AH t 3 tCPCO2当 PAD 90时,COPSpad，匕CO即工PAPDPA1故当 DPA是直角三角形时，t 2或3.【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解.【例4】 如图，在 ABC中，CA = CB, AB = 8, cos A 4 .点D是AB边上的一个动点, 5点E与点A关于直线CD对称，联结 CE、DE.(1)求底边AB上的高;

8、(2)设CE与AB交于点F,当 ACF为直角三角形时，求 AD的长;(3)联结AE,当 ADE是直角三角形时，求 AD的长.【答案】(1) 3; (2) AD的长为. AD -DM3或竺；(3) AD的长为1.27【解析】解：(1)过C作CHLAB于H. AC = BC, AB = 8,AH = BH = 4.又 cos A ， , , AC = BC = 5， CH = 3 ； 5(2)分情况讨论:当AFC 90时,F 与 H 重合，EH = 2 .AD当A,DH3eh45一；2ACF 90时，作DM ±AC于M,设CM=x,ACD ECD 45 , CM5,解得:4. AM DM

9、34.4x，x x33257 ；综上：当 ACF为直角三角形时,AD的长为(3) AD = DE, ADE为直角三角形时,AD、DE只可能是直角边.ADEADCEDC 135 .CDB DH CH 3 .【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性,解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论.【例5】 如图，已知 ABC为等边三角形，AB = 6,点P是AB上的一个动点(与 A、B不 重合)，过点P作AB的垂线与BC交于点D,以点D为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形 DEFG ,其中D、E在BC上，F在AC上.(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为V,写出y与x的函数

10、关系式及定义域;(2)当BP = 2时，求CF的长;(3) GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由.【答案】(1) y 褥3 x 9 3召(6 3. 3 x3)；232；(3) BP的长为30 6点或者为6113& 【解析】(1) ; ABC为等边三角形,B C 60 , AB BCDP AB BP x, BDAC2x又.四边形 DEFG是正方形，EF BC , EF DE y,EC ?y ; . 2x y 乎 y336,y 出 3 x 9 3而(6 3点3)；(2)当 BP = 2 时，y 向 3 23. 3 3CF2y3(3) GDP能成为直角三角形.

11、G) PGD 90时，如图；6x73yy,6x V3l| 百解得：x30 6 ,311则4x x90时，如图；3.y, 4x x2fl 3 3解得：x当 GDP为直角三角形,BP的长为注意对相x 93x9【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性,关性质的准确运用.【例6】如图，在 ABC中,C 90 , AC = 4 cm, BC = 5 cm ,点 D 在 BC 上，并且CD = 3 cm .现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿 BC向终点C移动.过点P作PE / BC交AD于

12、点E,联结EQ.设动点运动时间为 x (s)(1)用含x的代数式表示 AE、DE的长度；(2)当x为何值时，EDQ为直角三角形.【答案】(1) AE -x , DE 5 5x； 44(2)当x为2.5 s或3.1 s时， EDQ为直角三角形.【解析】(1)在 Rt ADC 中，AC = 4, CD = 3,则 AD = 5. EP / DC,AEPs ADC ,AEAP 口 AEx-，即ADAC5455 AE -x, DE 5 x ;44(2)分两种情况讨论：O当 EQD 90时，如图；易得 EQ PC 4 x,又. EQ / AC, EDQ s ADC ,.EQ DQ 的 4 x 1.25x

13、 2AC DC 43解得：x = 2.5;当 QED 90时，如图；CDA EDQ , QED C 90 , EDQ s CDA ,.EQ DQ 口口 5 4 x 1.25x 2CA DA125解得：x = 3.1;综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，EDQ为直角三角形.【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第(2)问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论.随堂检测【习题1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A ( 1, 0)、B (4, 0)、C (0, 2).点D是点C关于原点的对称点，联结 BD,点E是x轴上

14、的一个动点，设 点E的坐标为(m, 0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P.(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值;(3)是否存在点P,使 BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写(2) D点坐标为(0,2).1直线BD的解析式为：y -x 2.2.1 2 31，P点坐标为 m, -m m 2 , Q点坐标为 m, m 2222. CD = PQ,1 231mm2m2 4.222解得：m = 2或m = 0 (舍)， 故m的值为2;(3) P 8,18 , B 1, 0 , P3 3, 2(注：

15、可设过 B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出)【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标.【习题2】 如图，在 Rt ABC中，/ ACB = 90° , AB = 13, CD/AB,点E为射线 CD上一动点(不与点 C重合)，联结AE交边BC于F , / BAE的平分线交BC于点G.(1)当 CE = 3 时，求 Sacef ： Smaf 的值；(2)设CE = x, AE = y,当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式;(3)当AC = 5时

16、，联结EG,若 AEG为直角三角形，求 BG的长.【答案】(1) 3； (2) y 26 x; (3) BG的长为6或竺9.1324【解析】解：(1) CD/AB, CE = 3, AB = 13,EF CE 3D. 一.AF AB 13Sce EF. siat Af 百(2)延长AG交CD于M.CM CG 2 .AB GB CM 26 .1 .CD/AB,EMA MAB EAM ,AE = EM , y 26 x.(3) EAG 90，分两种情况讨论.当 AGE 90时，可得AG = GM.1 .CD/AB,1 - 八 BG BC 6 ;2当 AEG 90时，可得 ACFs GEF , EC

17、Fs GAF , ECF FAG .又 FAG GAB , ECF B ,.GA = GB.169 BG24综上所述，若 AEG为直角三角形，BG的长为6或16924【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以 及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式.课后作业【作业1】如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0）,点B是点A关于原2 点的对称点，P是函数y _ （x 0）图像上的一点，且 ABP是直角三角形，求点 P x【答案】（2, 1）或（尤，应）.的坐标.【解析】解：分情况讨论，因为点P在第一象限，所以当

18、 B 90时，P点横坐标为2,.P 点为（2, 1）;当 P 90 时，连接 OP, OP = OA = 2,22. 22_2设 P 点为 m , 一 ， m2 .mm解得：m隹或m 衣,点P在第一象限，m综上，P点的坐标可能为（2, 1）或（应，J2）.P点在第一象限，因此注意【总结】本题主要考查直角三角形的存在性问题，由于本题中 直角三角形只有两种情况.【作业2】如图，在 ABC中，AB = AC = 10, cosB = 4. D、E为线段BC上的两个动点， 5且DE = 3 (E在D右边)，运动初始时 D和B重合，当E和C重合时运动停止.过 E 作EF / AC交AB于F ,联结DF .(1)设BD = x, EF = y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果 BDF为直角三角形，求BDF的面积；(3)如图2,如果 MN过 DEF的重心，且 MN / BC分别交FD、FE于M、N,求整 个运动过程中线段 MN扫过的区域的形状和面积(直接写出答案)【答案】(1)5-x8x 13); (2)红或849