(完整版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

1、高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 f(x)?f(x)f(x?x)?f(x)?y?f1121? 1函数的平均变化率为? xx?x?xx?12注1：其中是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 x?注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 f(x?x)?f(x)?y00?limlim处的瞬时变化率是在，2、导函数的概念:函数x?x)y?x(f ?x?x00?x?x?0'或在处的导数，记作则称函数在点处可导，并把这个极限叫做)(fxxx)?fy?f(x)(xy000f(x?x)?f(x)?y'00|y?limlim'. =，即)(xfx?x 0?

2、x?x00?x?0x? 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 (1) cy?0 ?y'?n*x?y (2)Nn?n?1 nx?y'?x1a?0,a?ay? (3)x aalny'?xe?y (4)x e?y'?0?,0,a?a?1xxy?log (5)a1 ?'yxlna (6)xyln?1 ?'yx (7)xsin?y xcosy'?x?ycos (8) xsin?'y ?均可导（可积），则有： ，6、常

3、见的导数和定积分运算公式:若xxgf 和差的导数运算'?'' )(xfg(x)f(x)?g(x)?积的导数运算 '?'' )(f(x)g?fx(x)g(x)?f(x)?g(x)? 特别地：xCfx''?Cf?商的导数运算 '''?)x(f(x)fg(x)g(x)?f(x)?0)?(g(x ?2?)g(x)(xg?g'(x1)特别地： '?2xgxg? 复合函数的导数? u?y?yxux 微积分基本定理b?fdxx F(a)-F(b) a?xxfF'?）（其中 和差的积分运算bbb?d

4、x)(xx)dx?f(x)?dx?ff(fx)2121 aaabb?f(x)dx(k为常数kf(x)dx?k)特别地： aa 积分的区间可加性cbb?f(x)dx(其中a?c?bdxf(x)?f(x)dx) aca .用导数求函数单调区间的步骤: 求函数f(x)的导数 )xf'(令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. )xf'(令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； )'(xf注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数 )xf'(3)求方程=0的

5、根 )'(xf(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，/(xf)在这个根处取得极大值；如)x(f在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么检查在这个根处(x)x果左负右正，那么f()在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f 无极值?ba, 上的最大值与最小值的步骤如下：在8.利用导数求函数的最值的步骤:求)xf(?b,a 在求上的极值；)f(x比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。的各极值与将)(baf(),f)f(x ：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；注 ?”的思想） 近似代替“ :求和9分割 以直代曲取极限（

6、求曲边梯形的思想和步骤 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： b?ab?1dx? 1 性质ab?f(x)dx?0ba,f(x)?0,x? 性质5 若，则abbbb?LL )xdx?f?(x)dx?(f(x)?f(x)f(x)?f(x)dx?f推广：mm2112aaaabccb21? L: 推广 dxx)f?f(x)dx(f(x)dx?dxf(x)cacak1 11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积； （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积

7、分的 值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数； （3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 12物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。 第二章、推理与证明知识点 13.归纳推理的定义： 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 14.归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 : 归纳推理的特点15.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知

8、的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 17.类比推理的思维过程 观察、比较 联想、类推 推测新的结论 18.演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由

9、一般到特殊的推理。 19演绎推理的主要形式：三段论 20.“三段论”可以表示为：大前题：M是P小前提：S是M 结论：S是P。 其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式：要证

10、A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤 （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26常见的“结论词”与“反义词” 原结论词 反义词 原结论词 反义词 至少有一个 一个也没有 对所有的x都成立 存在x使不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 使成立存在x至少有n个 至多有n-1个 p或q且 q?p n个至

11、多有n+1个 至少有 且qp或 q?p 27.反证法的思维方法:正难则反 28.归缪矛盾 （1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾 29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 ?时命题成立；n取第一个值 (1)证明：当N?nn00 *，且kn)N时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. (2)假设当n=k (k0 由(1)，(2)可知，命题对于从n开始的所有正整数n都正确 0注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。 第三章、数系的扩充和复数的概念知识点 30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，

12、数ba?叫做复数集。 集R,b?a?bi|aC规定：a=c且， b=d?bi?c?dia 强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。 实数 (b?0)? 31数集的关系： Z复数)?0一般虚数(a?虚数 (b?0)? ?纯虚数(a?0)? ? 32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对(a,b)bi?a?z唯一确定。 由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标)ba(,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，系中的点集之间可以建立一一对应。 x轴叫做虚轴。实轴上的点都

13、表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示轴叫做实轴，y 纯虚数。biz?a?OZ也叫绝对34.求复数的模对应的向量的模的模叫做复数(绝对值)与复数zr22 biz或?ab?bi?az?a? 记作值)。由模的定义可知： 复数的加、减法运算及几何意义35. ，则复数的加、减法法则：。di?c?z?a?bi与zi?d)z?z?a?c?(b2121 注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。 ? 。复数的乘法法则：i?bcadac?bd?c(a?bi)(?di)?ad?bdbcc?bi)(?di)ac?a?bi(a 叫做实数化因子其中复数的除法法则：di?ci? 2222dcc?d)c?di(c?di)(c?di 互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。36.共轭复数:两复数b