5机械工程控制基础系统的稳定性ppt课件

1、第五章第五章 系统稳定性系统稳定性机械工程控制基础机械工程控制基础主讲人：钟金豹主讲人：钟金豹内蒙古科技大学机械工程学院内蒙古科技大学机械工程学院第五章第五章 系统稳定性系统稳定性一、系统稳定性的初步概念一、系统稳定性的初步概念A Ab b、不稳定的摆、不稳定的摆A AA AAAa a、稳定的摆、稳定的摆1 1、 稳定的概念稳定的概念 稳定性示例稳定性示例第五章第五章 系统稳定性系统稳定性原理：外力原理：外力-阀芯阀芯初始位移初始位移Xi(0)Xi(0)，阀，阀口口2 2、4 4打开打开-活塞活塞右移右移( (随动随动)-)-阀口阀口关闭关闭( (回复平衡位回复平衡位置置)()(反响反响)-)

2、-活塞继活塞继续右移惯性）续右移惯性）-阀口阀口1,31,3开启开启-活塞活塞左移左移-阀口关闭阀口关闭- -活活塞继续左移惯性）塞继续左移惯性）-阀口阀口2,42,4开启开启1)1)随动：活塞跟阀芯运动。随动：活塞跟阀芯运动。2)2)反馈与惯性：引起振荡。反馈与惯性：引起振荡。3) 3) 振荡结果与外界无关。振荡结果与外界无关。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性结论：结论：1)1)系统是否稳定，取决于系统本身结构和参数），系统是否稳定，取决于系统本身结构和参数），与输入无关。与输入无关。2)2)不稳定现象的存在是由于反馈作用。不稳定现象的存在是由于反馈作用。3)3)稳定性是指自由响应的收敛性

3、。稳定性是指自由响应的收敛性。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性 稳定性定义稳定性定义原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是渐近稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。统是渐近稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。 稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。

4、和参数，与输入无关。 若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。稳定的；否则系统就是小范围稳定的。 第五章第五章 系统稳定性系统稳定性对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。 稳定程度稳定程度临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存

5、在恒定的偏差或输出维持始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。 a) a) 稳定稳定b) b) 临界稳定临界稳定c) c) 不稳定不稳定第五章第五章 系统稳定性系统稳定性处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定

6、裕量，以保证其在实际工作时处于稳备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。定状态。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性2 2、稳定的条件、稳定的条件 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号信号(t)(t)的作用，此时系统的输出增量的作用，此时系统的输出增量偏向为单位脉冲响应，这相当于系统在偏向为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当显然，当t t时，假设：时，假设：0)(limtxot系统渐近稳定。

7、系统渐近稳定。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑系统考虑系统01110nnnnasasasa其特征方程为：其特征方程为：tAe对于特征方程的单实根对于特征方程的单实根- -，相应瞬态输出为：，相应瞬态输出为：当当- - 0 0 0时，该输出分量指数单调递增。时，该输出分量指数单调递增。当当- - = 0 = 0时，该输出分量为常数。时，该输出分量为常数。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性对于特征方程的一对单复根对于特征方程的一对单复根- -+j+j，相应瞬态，相应瞬态输出为：输出为：)sin()

8、sincos(22tCBetCtBett其中，其中， = arctgB/C = arctgB/C。当当- - 0 0 0时，该分量为指数发散的振荡过程。时，该分量为指数发散的振荡过程。当当- - = 0 = 0时，该分量为等幅振荡。时，该分量为等幅振荡。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性)(121rrttataae对于对于r r重实根重实根- -，相应的时域分量为：，相应的时域分量为：当当- - 0 0 0时，该输出分量指数单调递增。时，该输出分量指数单调递增。当当- - = 0 = 0时，该输出分量多项式递增。时，该输出分量多项式递增。kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbet

9、tctccttbtbbe, )sin(sin)(cos)(1122121121对于一对对于一对r r重复根重复根- -+j+j，相应的时域分量为：，相应的时域分量为：当当- - 0 0 0时，该分量为指数发散的振荡过程。时，该分量为指数发散的振荡过程。当当- - = 0 = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。时，该分量为多项式发散的振荡过程。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性 综上所述，不论系统特征方程的特征根为综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所特征根均为负数或具有负的实

10、数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。有特征根均在复数平面的左半部分。 由于特征根就是系统的极点，因此，线性由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在点均在s s平面的左半平面。平面的左半平面。 显然，稳定性与零点无关。显然，稳定性与零点无关。 系统稳定的判别方法：系统稳定的判别方法：1)1)特征方程根的分布；特征方程根的分布；2)2)开环传递函数开环传递函数-闭环系统的稳定性；闭环系统的稳定性；第五章第五章 系统稳定性系统稳定性二、劳斯二、劳斯RouthRouth稳定判据稳定判据 系统稳定的必要条件系统稳定的

11、必要条件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD系统的特征方程为：系统的特征方程为：其中，其中，pi(i=0,1,2,n)pi(i=0,1,2,n)为系统的特征根。为系统的特征根。 优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来判断根的分布。根与系统的关系来判断根的分布。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性由根与系数的关系可以求得：由根与系数的关系可以求得：)() 1()()()(210124213210313121022101

12、nnnnnnnnnpppaapppppppppaappppppaapppaa第五章第五章 系统稳定性系统稳定性若使全部特征根若使全部特征根pipi若均具有负实部，则要求若均具有负实部，则要求特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai(i = 0, 1, 2, , ai(i = 0, 1, 2, , n)n)均大于零，即：均大于零，即： 留意，该条件仅为系统稳定的必要条件。留意，该条件仅为系统稳定的必要条件。 ai0 (i = 0, 1, 2, , n)ai0 (i = 0, 1, 2, , n) 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件劳斯稳定判据劳斯稳定判据 其中，其中，ai0 (i=0,1,2,

13、n)ai0 (i=0,1,2,n)，即满足系统，即满足系统稳定的必要条件。稳定的必要条件。 0)(1110nnnnasasasasD考虑系统的特征方程：考虑系统的特征方程：劳斯稳定判据的判别过程如下：劳斯稳定判据的判别过程如下： 第五章第五章 系统稳定性系统稳定性q 列出劳斯阵列列出劳斯阵列 130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaabsnsna0 a0 a2 a2 a4 a4 a6 a6 sn-1sn-1 a1 a1 a3 a3 a5 a5 a7 a7 sn-2sn-2 b1b1b2b2b3b3b4 b4 sn-3sn-3 c1c1c2c2c3c3c4 c4 sn

14、-4sn-4 d1d1d2d2d3d3d4 d4 s2s2e1e1e2e2s1s1f1f1s0s0g1g1121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd第五章第五章 系统稳定性系统稳定性在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。 q 用劳斯判据判别系统稳定性用劳斯判据判别系统稳定性考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列考察劳斯阵列表中第

15、一列各数的符号，如果第一列中各数中各数a0a0、a1a1、b1b1、c1c1、的符号相同，则表示的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。于系统具有的正实部特征根的个数。 通常通常a0 0a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。阵列表中第一列的各数均大于零。 第五章第五章 系统稳定性系统稳定性q 例题例题设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：05

16、001004)(23ssssD应用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。应用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解：劳斯阵列如下：解：劳斯阵列如下：s3s31 1100100s2s24 4500500s1s1-25 0-25 0s0s05005000 0劳斯阵列第一列中元素劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，表明符号改变了两次，表明系统具有两个正实部的系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。极点，故系统不稳定。事实上系统包含了三个极点事实上系统包含了三个极点0.406+j10.1850.406+j10.185、0.406-j10.1850.406-j10.185、 -4.812 -4.812第五章第五章 系

17、统稳定性系统稳定性 低阶系统的劳斯稳定判据低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s2s2a0a0a2a2s1s1a1a10 0s0s0a2a2a00a00，a10a10，a20a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：从而，二阶系统稳定的充要条件为：第五章第五章 系统稳定性系统稳定性q 三阶系统三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s3s3a0a0a2a2s2s2a1a1a3a3s1s1 0 0s0s0a3a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项

18、系数大于零，且：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 a1a2-a0a30 第五章第五章 系统稳定性系统稳定性q 例题例题例例1 1：系统方框图如下，试确定开环增益：系统方框图如下，试确定开环增益K K为为何值时，系统稳定。何值时，系统稳定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xi(s)Xo(s)Xo(s)解：系统闭环传递函数为：解：系统闭环传递函数为：KsssKKsssKs56)5)(1()(23第五章第五章 系统稳定性系统稳定性由三阶系统的稳定条件，有：由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：此系统为三阶系统，特征方程为：056)(23KssssD0560KK即：

19、当即：当0K300K0)xi(t) = a+bt (a, b0)作用下，作用下，稳态误差稳态误差essess 0) 0)时，系统各参数应满时，系统各参数应满足的条件。足的条件。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性解：系统必须稳定，稳态误差才有意义。解：系统必须稳定，稳态误差才有意义。系统的特征方程为：系统的特征方程为：0)(21221321hKKKKssTTsTT稳定条件为：稳定条件为：0, 021212121hhKKKKKKKKTTTT即：即：2121210TTTTKKKKh本系统为本系统为I I型系统，在输入型系统，在输入xi(t) = a+bt xi(t) = a+bt 作用下的稳态误差为

20、：作用下的稳态误差为：hvpssKKKKbKbKae211第五章第五章 系统稳定性系统稳定性显然，稳态误差显然，稳态误差essess0 0的情形，即的情形，即由由 0 00+ 0+ 变化时，变化时，G(jG(j) )以幅值以幅值顺时针旋转顺时针旋转v90 v90 。 综上所述，对于包含积分环节的开环系统，对综上所述，对于包含积分环节的开环系统，对虚轴作上述处理后，绘制虚轴作上述处理后，绘制NyquistNyquist图时需考虑图时需考虑由由 0 00+ 0+ 变化时的轨迹。变化时的轨迹。 即按常规方法作出即按常规方法作出由由 0+ 0+ 变化时的变化时的NyquistNyquist曲线后，从曲

21、线后，从G(j0)G(j0)开场，以开场，以的半径顺时针的半径顺时针补画补画v90 v90 的圆弧的圆弧( (辅助线辅助线) )得到完整的得到完整的NyquistNyquist曲曲线。线。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性显然，对于最小相位系统，由于：显然，对于最小相位系统，由于：0)0(eeKjGjvv其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。 =0 =0 = = 0 0 =0+ =0+ReReImImI型系统型系统 =0 =0 = = ReRe0 0 =0+ =0+ImImII型系统型系统 =0 =0 = = ReRe0 0 =0+ =0+ImIm型系

22、统型系统第五章第五章 系统稳定性系统稳定性对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。奇数个时起于负实轴。为作图方便，通常按为作图方便，通常按由由 0+ 0+ 0 0变化加辅助线，即从变化加辅助线，即从G(j0+)G(j0+)开始以开始以的半径逆时针补画的半径逆时针补画v90v90的圆弧。作出的圆弧。作出辅助线的辅助线的NyquistNyquist曲线方向仍然是曲线方向仍然是0 0 0+ 0+ + +。作出辅助线后，即可应用作出辅助线后，即

23、可应用NyquistNyquist判据判别系统的判据判别系统的稳定性。稳定性。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性q 例题例题 例例1 1：单位反馈系统的开环传递函数为：单位反馈系统的开环传递函数为) 1()(TssKsG应用应用NyquistNyquist判据判别闭环系统的稳定性。判据判别闭环系统的稳定性。解：解：开环开环 Nyquist Nyquist曲线不曲线不包围包围 (-1, j0 ) (-1, j0 )点，点，而而N=0N=0，因此，系统闭，因此，系统闭环稳定。环稳定。 =0 =0 = = 0 0 =0+ =0+ReReImIm第五章第五章 系统稳定性系统稳定性 例例2 2：已知系统

24、的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG应用应用NyquistNyquist判据判别闭环系统的稳定性。判据判别闭环系统的稳定性。解：解：)1)(1 ()(222212TTKA2121270)180(90)(arctgTarctgTarctgTarctgT第五章第五章 系统稳定性系统稳定性 0 0： A(0) A(0)K K (0)(0)270270 ： A( A() )0 0 ( ( ) )270270注意到：注意到： 212121270270270)(TTTTarctgTarctgT即即T1T2 T1T2 T1T2 时，时，NyquistNyq

25、uist曲线位于第一象限。曲线位于第一象限。 第五章第五章 系统稳定性系统稳定性T1T2T1T2T1T2 =0 =0 = = 0 0 =0+ =0+ReReImIm =0 =0 =0+ =0+由图可见，由图可见，NyquistNyquist曲线顺时针包围曲线顺时针包围(-1, (-1, j0 )j0 )点半次，而点半次，而P P1 1，系统闭环不稳定。，系统闭环不稳定。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性5 5、 Nyquist Nyquist判据中判据中“穿越穿越的概念的概念q 穿越：指开环穿越：指开环NyquistNyquist曲线穿过曲线穿过 (-1, j0 ) (-1, j0 ) 点左边

26、实轴时的情况。点左边实轴时的情况。q 正穿越：正穿越： 增大时，增大时，Nyquist曲线由上而下曲线由上而下穿过穿过-1 - 段实轴。段实轴。q 负穿越：负穿越： 增大时，增大时，Nyquist曲线由下而上穿曲线由下而上穿q 过过-1 - 段实轴。负穿越相当于段实轴。负穿越相当于Nyquist曲曲线线q 反向包围反向包围(-1, j0 )点一圈。点一圈。正穿越时，相角增加，相当于正穿越时，相角增加，相当于Nyquist曲线正曲线正向包围向包围(-1, j0 )点一圈。点一圈。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性-1-1+ + +0 0ReReImIm = = =0 =0 q=2q=2Nyqui

27、stNyquist稳定判据：当稳定判据：当由由0 0变化到变化到时时NyquistNyquist曲曲线在线在(-1, j0 )(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之点左边实轴上的正负穿越次数之差等于差等于q/2q/2时时q q为系统开环右极点数），闭环系为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。统稳定，否则，闭环系统不稳定。易知，上图所示系统闭环稳定。易知，上图所示系统闭环稳定。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性6 6、 滞后系统的滞后系统的NyquistNyquist稳定性分析稳定性分析考虑开环附加延迟环节的系统考虑开环附加延迟环节的系统sesGsG)()(0jejG

28、jG)()(0)()()(0jGjGA)()()(0jGjG 可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，仅对相频特性有影响。具体实例见仅对相频特性有影响。具体实例见P176P176。延。延迟环节不利于系统稳定迟环节不利于系统稳定第五章第五章 系统稳定性系统稳定性四、四、BodeBode稳定判据稳定判据 1 1、NyquistNyquist图与图与BodeBode图的对应关系图的对应关系BodeBode稳定判据是几何判据，稳定判据是几何判据，NyquistNyquist判据的引申。判据的引申。线之上；频特性图的对数幅轴，单位圆之外对数幅频特性图上的横线，即图上的图上

29、的单位圆odBodBBodeNyquist) 1 (第五章第五章 系统稳定性系统稳定性oojwHjwGBodeNyquist180)()(180)2(相频特性图上的横轴，线，即对数图上的图上负实轴NyquistNyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为幅值交界频率，记为cc。NyquistNyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界线与

30、横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为频率，记为 g g。2 2、穿越的概念、穿越的概念 在前面已讲过穿越、正穿越、负穿越。在前面已讲过穿越、正穿越、负穿越。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性 若开环频率特性若开环频率特性NyquistNyquist轨迹在（轨迹在（1 1，j0)j0)点沿频率增加的方点沿频率增加的方向，开环向，开环NyquistNyquist轨迹自（轨迹自（1 1，j0)j0)点以左的负实轴开始向下称为点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；反之，若沿频率半次正穿越；反之，若沿频率增加的方向，开环轨迹自以左的负增加的方向，开环轨迹自以左的负实轴开始向上称为半次负穿

31、越。实轴开始向上称为半次负穿越。 对应于图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，对应于图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿沿增加的方向，对数相频特性增加的方向，对数相频特性BodeBode曲线自下而上穿越曲线自下而上穿越-180o-180o线为线为正穿越；反之，称为负穿越。若对数相频特性曲线自正穿越；反之，称为负穿越。若对数相频特性曲线自-180o-180o线开始线开始向上，称为半次正穿越；反之，若对数相频特性曲线自向上，称为半次正穿越；反之，若对数相频特性曲线自-180o-180o线开线开始向下，称为半次负穿越。始向下，称为半次负穿越。第五章第五章 系统稳定性系统稳定性3 3、BodeBode判据判据 设系统开环传递函数在设系统开环传递函数在ss平面的右半平面的极点数为平面的右半平面的极点数为P P，则对应的闭环系统稳定性判据是：在，则对应的闭环系统稳定性判据是：在BodeBode图上，当图上，当由由0 0变变到到+ + 时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对