CH52换元积分法ppt课件

1、换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复

2、合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。在求导法则中, 对于复合函数, 有一个求导的链式法则)()()(xx fxf(1)对不定积分来说有类似的法则吗？我们如何利用(1)式中的链式法则，从右端的函数f (x) (x)求出左端的原函数f (x), 就是现在要研究的问题。解决问题的关键在哪里呢？再看(1)式的特点)( )()(xxfxf外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数 中间变量的导数。如果从被积函数中你能看出这种形式，问题

3、的答案就出来了。第二节第二节 换元积积分法换元积积分法 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量. .过程过程 令令2ux 1,2dxdu cos2xdx 1cos2udu 1sin2uC.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法2ux du 2u dxdx 1cos2udu 将复合函数的求导法则反过来用于不定积分将复合函数的求导法则反过来用于不定积分1( sin2 )2dx1cos2(2 )2xx dx cos2xdx 凑微分凑微分1cos2 ()22xdxx 1sin 22xC cos2xdx 1( sin2 )2dx 凑

4、微主要是配凑内层函数的微分凑微主要是配凑内层函数的微分即即cuFduufufuF )()(),()( 如果如果u u是中间变量：是中间变量：u u(x),(x),且设且设(x)(x)可微，那么，可微，那么，根据复合函数微分法根据复合函数微分法 )(xdF 从而根据不定积分的定义就得从而根据不定积分的定义就得 ( )( )fxx dx ( )FxC )()(xuduuf dxxxf)()( )(xdF ( )( )fxx dx ( )FxC 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）说明说明: :使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将( )f x dx 化为化为 ( )( ).fxx

5、 dx 定理定理( )f u du ()ux 观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同. .注注定理说明：若已知定理说明：若已知 CuFduuf)()(那么那么CxFdxxxf )()()( 因此该定理的意义就在于把因此该定理的意义就在于把 CuFduuf)()(中的中的u换成另一个换成另一个x的可微函数的可微函数)(x 后，式子仍成立后，式子仍成立又称为积分的形式不变性又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。的适用范围变得更加广泛。dx由定理可见，虽然由定理可见，虽然 dxxxf)()( 是一整体记号，

6、但可把是一整体记号，但可把视为自变量微分视为自变量微分)()(xddxx 凑微分凑微分凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化表达式进行变形，主要考虑如何变化dxxf)(凑微分法的基本思路：凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量和积分变量中间变量和积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(cuF )(cxF )( 凑微分凑微分第一换元积分法本质第一换

7、元积分法本质dxx)( 换回换回( )( )Fxf x 设设凑内函数凑内函数( )x 看看成成一一个个变变量量直接直接对外对外函数函数积分积分),()(xfx 的的函函数数).()(xx 的导数的导数另一部分是另一部分是 求xxxdcos332解：函数解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：看上去象某复合函数求导而得：cosx3 3x2sinu的导数 中间变量u 中间变量u的导数因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证2333cos)(sinxxx所以Cxxxx332sindcos3使用这种方法的基本想法 从被积函数中找到一个作中间变量的函数，其导数是作为一个因子出现的。这个想法

8、在相差一个常数因子时也可以用。使用这种方法要求想象出复合函数的形式。例例1 1 求求55sin.xdx 解解55sin xdx sinudu cosuC 55sin()dxx 5ux 5ux 5cos xC 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx 例例3 3 求求sintdtt 解解i1s ntdtt 原原式式2costC 2sindtt 例例4 4 求求23xxe dx 232xeC2232xe dx 原原式式解解例例5 5 求求 dxx10)12(解解 dxx10)1

9、2( dxxx10)12()12(21 )12()12(2110 xdx2x1u换元换元 )()(2110uduCu 112111u 2x1回代回代Cx 22)12(11 dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例6 6 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx xxxd543求求请同学们自己计算请同学们自己计算)0(d22 axax求求解解: :xxxd 534Cu1211211415 4 xuudu 41 21Cx234)5(61u

10、uduxxxd4 54134 xxxd543求求重算一遍)5(d415d54443xxxxxCx1214)5(121141Cx234)5(61)0(d22 axax求求解：能想出原函数的形式吗？解：能想出原函数的形式吗？Cxxxarcsin1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？22)(1d)(1daxaxaxaxCax arcsin1()adxd ax 1()axaxe dxd ea )(sincosxdxdx sin(cos )xdxdx (ln)(ln )dxdxdxx)(21xddxx )(arctan112xddxx )(arcsin112xddxx 常用凑微分公式常用凑微分公式()d

11、xd xc 11()1nnx dxd xn 1.1.求求2sin.xx dx 112dxx 2.2.求求练练 习习2xedx 3.3.求求.)11(12dxexxx 4.4.求求1.求求2sin.xx dx 解解2sinxx dx 222sin x dx 2212sin xxd 212cosCx 2sinxxxd 答答 案案112dxx 解：原式解：原式1122lnCx 1112212()dxx 答答 案案2.求求23.xedx 1()22xdxdx ()2xd 2(2)2xedx 2 ()2xdxd 22xCe 答答 案案4.4.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx

12、12)11()1(1xxdexx .1Cexx 答答 案案v有些题并不能直接利用凑微法，有些题并不能直接利用凑微法，需要经过变形之后才能利用凑微需要经过变形之后才能利用凑微法。法。例例7 7 求求223dxxx 解解原原式式(3)(1)dxxx 111()413dxxx 1111(1)(3)4143d xd xxx 11ln1ln344xxC11ln43xCx 22111()xxada 221()1()axxaada 1()xdxdxaa ()xda221() dxxaa ()xdxa da22dxax 1arctanxCaa例例8 8 求求22dxax 例例9 9 求求.25812dxxx

13、解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例10 10 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例11 11 求求3sin xdx 解解 xdxx sinsin2原原式式Cxx coscos313 xdxcos)cos1(2例例12 12 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122x

14、dxdxx.sin1cotCxx v对于对于 、sincosmxnxdx sinsinmxnxdx coscosmxnxdx 利用积化和差公式和凑微法很简单利用积化和差公式和凑微法很简单的几步就可解决此类不定积分的几步就可解决此类不定积分积积化化和和差差1sinsincos()cos()2 1sincossin()sin()2 1cossinsin()sin()2 1coscoscos()cos()2 例例13 13 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212

15、cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例 求求sin3 cos4xxdx 1(sin7sin )2xx dx 原原式式11sin7sin22xdxxdx解解7711sin14cos2xxxCd 1cos4s2711coxxC ;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 基基本本积积分分表表;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa 22221(24)ln.dx

16、xxaCxa ;ln211)21(22Caxaxadxax 基基本本积积分分表表sincosmnxxdx 下下面面解解决决类类型型的的积积分分。212sincossincoscosmkmkxxdxxxxdx (1)21mnnk 、 中中至至少少有有一一个个为为奇奇数数时时，譬譬如如 ，2(1)mkuudu 2sinsin1i()s nkmxxxd sinux (2)mn、 都都是是偶偶数数时时，可可用用倍倍角角公公式式降降幂幂。例例 求求2sincosxxdx 原原式式2sicosnxxxd 2cocossxdx （）31(cos )3xC 解解例例 求求52sincosxxdx 25sinc

17、osxxdx 42sincos(cos)xxdx 2221 (cos) cos(cos )xxdx 42212(coscos)cos(cos )xxxdx cos ,ux 设设422(12)uu u du 422(12)uu u du 264(2)uuu du 73512375uuuC 7351cos2coscos375xxxC cosux 例例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明：说

18、明：当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分. .解一）解一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）练练 习习解二）解二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx练习练习 求求2210().dx aax 解解221dxax 1()()dxax ax 1112()dxa axax 1112()dxdxaxaxa1112() () ()d axdaxaxaax 12lnlnaxCaxa1112()()()d axd axaxaax 12lnaaxCxa 练习练习 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112