D46有理函数积分ppt课件

1、4. 6 基本积分法 : 分项积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 6. 1 有理函数的积分有理函数的积分4. 6. 2 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分有理函数的积分 第4章 4. 6. 1 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxRmn nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式；nm时,)(xR为真分式。有理函数相除多项式 + 真分式分解其中部分分式的形式为：kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 完毕

2、定理部分分式分解定定理部分分式分解定理）理） nmPxR xQx122AAAxaxaxa 22022mQxbxaxbxpxqxrxt第三节 目录 上页 下页 返回 完毕 220;0pqrt 设（其中：）122BBBxbxbxb11222222222M xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq11222222.222R xTR xTR xTxrxtxrxtxrxt其中：,iiiiiiAB MNR T都是常数。那么例例1. 将下列真分式分解为部分分将下列真分式分解为部分分式式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1) 3(2xx解解:(1) 拼凑法：22) 1

3、() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 赋值法：6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3) 混合法：)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 完毕 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx(4) 待定系数法：221121

4、21AxxBxCxx21121AxxBxC20201ABCBAC)1)(21 (12xx xA2121xCBx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 原式 =x214512112xx221ABCBAC 452515ABC 比较同次顶系数得：四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xqxpxNxMd2. 32xqxpxNxMnd)2(. 42) 1,0(2nqp变分子为 )(pxMpMN 再分项积分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 知知)1)(21 (12x

5、x51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原原式式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23考虑考虑: 如何求如何求机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例3, 并利用 前面所讲的递推公式计算。 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 计算计算.

6、d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但并不因而，要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法。一定简便， 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 完毕

7、常规 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)

8、(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 6. 2 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分sin ,cosdRxxxsin ,cossin ,cosRxxRxx sin , cossin ,cosRxxRxx 形如：称为三角函数有理式的积分。则可分别作变量替换：（万能代换）机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分）假设cosxt）假设sin;xt）其它任何形式，都可作变量替换：sin , cossin ,cosRx

9、xRxxtan;xt则可作变量替换：tan2xt上述各变换都可将三角函数有理式的积分转化为变量 t 的有理函数的积分；或或例例7. 计算计算.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxaxbabatanarctan1C说明说明: xx cos,sin属于）,xttan故作变量替换：的偶函数，的积分，机动 目录 上页 下页 返回 完毕 显然被积函数是关于例例8. 求求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxa

10、ax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xbxacossin例例8. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动 目录 上页 下页 返回 完毕 baarctan例例9. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被积函数关于因被积函数关于 cos x 为奇函数为奇函数, 则令则令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos

11、2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例10. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 21

12、21tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp例例11. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)

13、1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例12. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数取根指数 2 , 3 的最小公的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例13. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt那么,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t2

14、11lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 1.求不定积分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 那么,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(2245