D72可分离变量的微分方程ppt课件

1、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F

2、(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离

3、变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则

4、故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量分离变量(2) 方程变形为方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 目录 上页 下页 返回 完毕 ,0) 1 ,0(,1FCF备用题备用题 已知曲线积已知曲线积分分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF.