中考数学函数复习专题

1、第一讲：一次函数与反比例函数1. 一次函数与正比例函数的定义：一次函数：一般地，y=kx+b若（其中k,b为常数且kw0）,那么y是x的一次函数正比例函数：当 b=0, k w。时，y=kx,此时称y是x的正比例函数2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：从解析式看：y=kx+b（k w0, bw。）是一次函数而 y=kx（k w。，bw。）是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广从图象看：y=kx（k w。）是过点（。，。）的一条直线，而 y=kx+b（k w。）是过点（。，b）且与y=kx平行的一条直 线。例1:如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于

2、点 A和点B,另一直线y=kx+b（k w。）经过点C （1,。），且把 AO明成两部分。（1）若 AOBt分成的两部分面积相等，求 k和b的值k3、反比例函数的图象 y = k是由两支曲线组成的。x（1） 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限，（2） 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限例2. （1）已知函数y 口 的图象分布在第二、四象限内，则 k的取值范围是 xb （2）右abv。，则函数y ax与y 一在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 x(A)(B)(Q(D)（2。11?成者B）如图，已知反比例函数 v=- （kHO）的图象经过点（二，8）,直线y= - x+

3、b经过该反比例函数 x2图象上的点q（4, m）.（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为巳 连接。已OQ求4OPQ的面积.2反比例函数的解析式为y=&而直线y= - x+b经过点直线的函数表达式为（2）联立y= - k+5一 q.A点坐标为（50),，P点坐标为（1, 4）,对于y= - x+5,令y=0,得x=5,aopqtS aob Sa obp S>a oaqtX5X5- Ax5X 1JlX5X 1=122又,一点Q （4, m）在该反比例函数图象上，4? m=4解得m=1,即Q点的坐标为（

4、4, 1）,Q (4, 1),1 = - 4+b,解得 b=5,y= x+5;练习:、选择题1、卜列各点中，在函数图像上的是（）2、3、A ( 2， 4);如图，A,B是双曲线若 SAAOC6，贝 U k=. (2,k 一(kx3)； C . (6, 1);3).0）上的点，A,B两点的横坐标分别是a,2a,线段AB的延长线交x轴于点C如图，过x轴正半轴任意一 占P作x轴的垂线,，一 一一一 2 一 4 ,一、.分别与反比例函数yi=和y2= -的图像交于点 A和点B若点C是y轴上任意一点，连结 AC BC则 ABC勺面积为（）B. 2过点P作PQ!x轴，垂足为点Q.若以点。P、Q为顶点的三角

5、形与 OABf似,则相应的点)P共有 (A. 1 个 B .2个 C.3 个 D7、已知反比例函数的图象过点M(12),则此反比例函数的表达式为(2 A. y= x2B. y=- xC.1y=-2x1y二一 2x8、经过点 2,4的双曲线的表达式是1y ；2x9、如图，已知双曲线 yk(k 0)经过直角三角形 xOAB斗边OA的中点D,且与直角边 AB相交于点C.若点A的坐标为(64)则AOC勺面积为()12、下列函数中，y随x增大而减小的是(21-4 rA.y - x B.y= _x C.y=D. y=2x-x- 113、如图，已知梯形 ABCO勺底边AO在x轴上,BC/ AO ABL AO

6、XT过点C的双曲线yk .交O时D,且OD： xDB=1 : 2,若 OBC勺面积等于3,则k的值（）A.等于2 B等于3 C4等于245y=mx m （ mB 0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是14、反比例函数ym与一次函数k15、若反比例函数y=k的图象经过点x(-2,1）,则此函数的图象一定经过点（）A (-2,-1)B. (2,-1)C.1,2) D. ( 1 ,2) 2216、如图所示两个反比例函数yk1和y xk2在第一象限内的图象依次x是C1和C2设点P在Ci上，PC，x轴于点C ,交C2于点APD ±y轴于点D交C2于点B ,则四边形PAOB的面积为（A. k1k

7、2B,k1k2C. k1 k2 d. k1 k2k217、若点（1,x）、（2, yj、（3, y3）都在反比例函数A - y1y2y3b . y2V1y3c . yv?y318、下列函数中,y随x的增大而减小的是（的图象上，则（yiy3y21A. y -x ；313y ” C y19、若反比例函数k .的图象经过点（-1,2）,则这个函数的图象一定经过点（xa、（2,-1）G (-2,-1)D、（ 一，2）220、若反比例函数m 1 , 一 一、 -,的图象位于第二、四象限内，则xm的取值范围是（A. m> 021、已知反比例函数的图象经过点（一 1,2）,则这个函数的图象位于（）A

8、.第一、三象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限22、反比例函数y=m 3,当x>0时，y随x的增大而增大，那么 m的取值范围是（） x（A）m<3 （B） m>3 （C）m<-3 （D） m>-3二、填空题一 21、点A（x1,y1）,点B（x2, 丫2）是双曲线y上的两点，若x1 x2 0 ,则y V2 （填 =、>x“V”）.2、如果点 A B在一个反比例函数的图像上，点A的坐标为（1, 2）,点B横坐标为2,那么A、B两点之间的距离为.3、已知反比例函数的图像经过点（3）和（-3,2 ）,则m的值为.4、若反比例函数的图象经过点（-2,

9、-1 ）,则这个函数的图象位于第 象限.2 .11 5、设函数y 与y x 1的图象的交点坐标为（a, b）,则一 一的值为 . xa b一 ，ek6、如果 f x , f 23 ,那么 k .x7、某中学要在校园内划出一块面积是100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym,那么y关于x的函数解析式是 .k 一8、反比例函数y =-的图象与正比例函数y=3x的图象交于O点P（m, 6）,则反比例函数的关系式是x9、如图，已知点 A在双曲线y 6上，过点A作AC，x轴于点C, OC=3 , x线段OA的垂直平分线交 OC于点B,则 ABC的周长为.210、若反比例函数y=

10、（k 1）x 5的图象经过第二、四象限，则k=11、一个函数具有下列性质：它的图像经过点（-1 ,1）；它的图像在二、四象限内；在每个象限内，函数值 y随自变量x的增大而增大.则这个函数的解析式可以为 .612、如图，在反比例函数 y ?（x0）的图象上，x有点R, P2, P3, P4， , Pn,它们的横坐标依次为 1, 2, 3, 4, , n.分别过这些点作 x轴与y轴S, S2, S3,Sn ,则 SS2S3Sio的值为.的垂线，图中所构成的阴影部分的面积分别为. k .13、如图，A是反比例函数y=k图象上一点，过点xA作AEBL y轴于点B,点P在x轴上， ABP勺面积为2,则K

11、的值为.14、如图， AO昉等边三角形，点 B的坐标为(-2,0 ),过点C (2,0 )作直线l交AO于D,交AB于E,点E在某反比例函数图象上，当 AD讶口 DCO勺面积相等时，那么该反比例函数解析式为 三、解答题k1、已知双曲线y 和直线AB的图象交于点 A(-3,4),AC，x轴于点C.k求双曲线y 的解析式；k(2)当直线 AB绕着点 A转动时，与x轴的交点为 B(a,0),并与双曲线y 二另一支还有一个交点的情形下，求ABC的面积S与a之间的函数关系式.,并指出a的取值范围.2、已知反比例函数y k的图像经过第二象限内的点 A(1, mi, AEBL x轴于点B, AOB勺面积为2

12、.若直 x线y ax b经过点A,并且经过反比例函数 y k的图象上另一点C (n, 2). x求直线y ax b的解析式；设直线y ax b与x轴交于点M求AM勺长.3、如图，在以。为原点的直角坐标系中，点 A C分别在x轴、y轴的正半轴上，点 B (a, b)在第一象限，四k边形OABO矩形，右反比例函数 y - (k>0, x>0)的图象与 x(1)求证：BD=AD(2)若四边形ODBE勺面积是9,求k的值.AB相交于点D,与BC相交于点E,且BE=CE.k -(不与点A B重合)，过点E的反比例函数y (x 0)的图象与边BC交于点F.n)4,如图，将一矩形 OABC：在直

13、角坐际系中， O为坐标原点.点 A在x轴正半轴上.点 E是边AB上的一个动点一 ,一 .，一、“，.，.一 *、“， k.6、如图，一次函数y x b与反比例函数y k在第一象限的图象交于点B,且点B的横坐标为1,过点B作 3y轴的垂线，C为垂足，若S BCO -,求一次函数和反比例函数的解析式.27、已如图，反比例函数y = k的图象与一次函数 y = m奸b的图象交于两点 A (1,3) , B (n, 1).x(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式;(2)根据图象，直接回答：当 x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值;(3)连接AO BO求 ABO勺面积;8、如图，已知A(4,a)

14、, B(2 , 4)是一次函数y= kx + b的图象和反比例函数 y m的图象的交点(1)求反比例函数的解析式；(2)求一次函数的解析式。9、如图，一次函数 y kx b的图象与反比例函数 y(1)利用图中条件求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的10、如图，在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 y交点为A(4 , m).x b的图象上一点，若zOBP的(1)求一次函数的解析式;(2)设一次函数y x b的图象与y轴交于点B, P为一次函数yy=m的图象的两个交点，直线 AB与y轴面积为5,求点P的坐标.11、已知A(n, -2) , B(1

15、, 4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数交于点C.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)求AAOC勺面积；(3)求不等式kx+b- m <0的解集(直接写出答案).x的双曲线为y .在x轴上取一点 P,过点P作直线OA勺垂线l ,以直线 x后的像是O' B .(1)当点O与点A重合时，求点P的坐标.(2)设P (t, 0),当O B与双曲线有交点时，t的取值范围是多少？l为对称轴，线段OB经轴对称变换 二缸 0工12、如图，将一块直角三角板 OA瞅在平面直角坐标系中，B (2, 0), /AOB60。，点A在第一象限，过点 A14、如图，一次函数y1 k1x 2与反

16、比例函数y2k2的图像交于点A (4, m) x和 B (8, 2 )与y轴交于点C,求:(1) ki(2)根据函数图像可知，当 y1>y2时，x的取值范围是(3)过点A作ADx轴于点D,点P是反比例函数在第一象限图像上的一点，设直线OP与线段AD交于点E,当Sg边边形ODA： ODE 3 ： 1 时,求点P的坐标。15、如图，反比例函数yk一的图像经过点xA 4,b ,过点A作AB x轴于点B, 4AOB勺面积为2 .(1)求k和b的值;(2)若一次函数yax 3的图象经过点16、如图所示，一次函数y k1x b与反比例函数yk2x为(6,0), (Q6),点B的横坐标为-4.(x 0

17、)的图象相交于 A, B两点，且与坐标轴的交点(1)试确定反比例函数的解析式；(2)求 AOBW面积；k2(3)直接写出不等式k1x b 2的解.x1k17、如图，直线y -x 1分别交x轴，y轴于点A, C,点P是直线AC与双曲线y 在第一象限内的交 2x点，PB x轴，垂足为点 B, ZXAPB的面积为4.(1)求点P的坐标；(2)求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标.20.(2006)如图，已知反比例函数y=k-(k<0)的图象经过点A (-J3,nj),过点A作AB，x轴于点B,且 AOBx的面积为 3.(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1的图象经过点 A,

18、并且与x轴相交于点C,求/ ACO勺度数和I AO ： AC(2008)如图，已知反比例函数 y = m的图象经过点 A (1, - 3), 一次函数y = kx + b 的图象经过点 A与点x、a的绝对值越大抛物线开口越大,a> 0,开口向上:当x<0时，（对称轴左侧），当x>0时，（对称轴右侧），a < 0,开口向下：当x<0时，（对称轴左侧），当x>0时，（对称轴右侧），、y= a（x-h） 2, y = a（x-h） 2+ky随x的增大而减小（y随x的减小而增大） y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）y随x的增大而增大（y随x的减小而减小） y随

19、x的增大而减小（y随x的减小而增大）1、画y=a （x-h） 2+k （aw0）的图像，列表时：在对称轴x=h两侧对称取点2、y=a （x h） 2+k （aw。）具有以下性质:抛物线对称轴顶点坐标开口方向y= a (x h)2+k (a>0)x=h(h, k)向上y= a ( x h)2+k (a<0)x=h(h, k)向卜y =ax2+bx+c(a、b、c 是常数aw0)C （0, - 4 ）,且与反比例函数的图象相交于另一点B.（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求点B的坐标.（2011绵阳）右图中曲线是反比例函数 y n 7的图象的一支.x（1）这个反比例函数图象的另一支

20、位于哪个象限？常数 n的取值范围是什么？2 4（2）若一次函数y x 的图象与反比例函数的图象交于3 3点A,与x轴交于点B, 4AOB勺面积为2,求n的值.第二讲：二次函数、y=ax2, y= ax2+c二次函数y=ax2的图象的一些性质：、图象一一“抛物线”是轴对称图形；、与x、y轴交点（,0, 0）即原点；（与 x、y轴交点一一（。0, c）y = ax2+bx+c 化为 y = a (x+ _b_)2a22+ 4ac b 对照y=a(x-h) 2+k的形式得对称轴为 x=-上_，顶点坐标为(-上， 4a ,2a2a4ac b2 ) 4a2 .-的图象的性质.y = 3(x-1) 2和

21、y=3(x-1) 2+2 的图象性质关于二次函数变换：1、比较函数y = 3x2与y=3(x-1)2、在同一直角坐标系中比较函数总结：一般地，平移二次函数 y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c, y= a(x-h) 2, y=a(x-h) 2+k的图象.将y= ax2的周象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当 c<0时，向下移动.(2)将函数y= ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h) 2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动.(3)将函数y= ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y=a(x-h)+

22、k的图象.a, h, k的值有关.因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与基础练习:一、选择题12.1、已知yi+ y2 =y,其中yi与一成反比例，且比例系数为ki,而y2与x成正比例，且比例系数为k2,若x=-lx时,y=0,贝U ki, k2的关系是()A. kik2 =0 B.kik2 =i C.ki k2 =0 D.k1k2 =-i2、已知二次函数y 2x2 2(a b)x a2a ba b ；(B) ;(C)2ab;22b , a,b为常数，当y达到最小值时，x的值为()(A) (A)(D)3、若二次函数y2axbx+ c的顶点在第一象限，且经过点(0

23、1),(-1,0),贝U S=a+b+c的变化范围是 ()(A) 0<S<2; (B) S>1; (C) 1<S<2; (D)-1<S<124、不论x为何值，函数y ax (a w0)的值恒大于0的条件是()A.a>0, A>0;B.a>0, A<0;C.a<0, A<0; D.a<0, A<0二、填空题：5、已知方程组 x ay 2的解也是二元一次方程 x-y=1的一个解，则a=。5x 2y 36、已知直线y x 6与x轴，y轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 。7、若RK 1,则下列函数： y x

24、0;y = - mx+1;y = mx;y =(m + 1)x 中，y随x增大 x而增大的是。28、已知一次函数 y ax（a>1）的图像上两点 A B的横坐标分别是一1、2,点O是坐标原点，如果 AOB是直角三角形，则 OAB的周长为。三、解答题：9、已知不等式5（x 2） 8 6（x 1） 7的最小整数解是方程 2x ax 4的解，求a的值。10、已知二次函数y= x2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为xi、x2, 一元二次方程 x2+b2x+20=。的两实根为x3、x4,且x2-x3 = xi-x4= 3,求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。答案：一、C B A B一

25、5 5526、187、 （1） （2）8、4贬2后10、y=x2+3x+2 （-3/2,- 1/4）巩固提高：1、（陕西中考）若正比例函数的图像经过点（一 1, 2）,则这个图像必经过点（）A. (1, 2)B. ( 1, 2)C. (2, -1)D. (1 , -2)2、（安徽中考）已知函数 y kx b的图象如图，则 y 2kx b的图象可能是（3、（黄冈中考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A,再走上坡路到达点 B,最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的

26、时间是（A. 12分钟B. 15分钟C. 25分钟D. 27分钟xAC/ y轴， ABCW面积记为S ,则()A. S 2 B . S 4 C. 2s 4 D.S47、已知二次函数y = ax2+bx+c(a w 0)的图象如图2所示，给出以下结论：a+b+cv0;ab+cv0;b+2a<0;abc > 0 .其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.8、二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图，给出下列四个结论：4 ac- b2v 0；4 a+cv2b；3 b+2cv0；m (am+b) +b< a (m - 1),其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C

27、. 2个D, 1个考点：二次函数图象与系数的关系.分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断.解答：解：:抛物线和x轴有两个交点,2 . b - 4ao0, 4 ac- b2< 0,正确；对称轴是直线 x- 1,和x轴的一个交点在点（0, 0）和点（1, 0）之间,，抛物线和x轴的另一个交点在（-3, 0）和（-2, 0）之间，.把（-2, 0）代入抛物线得：y=4a- 2b+c>0,.-4a+c>2b, .,.错误；b=2a, .,.3 b, 2c<0, .正确;,一把（1, 0）代入抛物线得：y=a+b+c<0- -2 a+2b+

28、2c<0,抛物线的对称轴是直线x=- 1, y=a- b+c的值最大，即把（m 0） （g0）代入得： y=an2+bn+cv a b+c,. ann+bn+b< a,即m （an+b） +b< a,，正确；即正确的有 3个，9、已知二次函数 y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图，且关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下 列结论：b2-4ac>0;abc<0; nl>2.其中，正确结论的个数是（）D. 3c>0,二.对称轴 x=->0,2aA. 0B. 1C. 2解答： 解：;二次函数 y=ax2+bx+c与x轴有

29、两个交点， .2b - 4ao0,故正确；.抛物线的开口向下， a<0, 抛物线与y轴交于正半轴, ab<0,a<0, b>0, . . abcv0,故正确；,一一元二次方程 ax2+bx+c- m=0没有实数根，y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m>2,故正确.故选 D.10、当-2w xwi时，二次函数y=- （x- m 2+n2+1有最大值4,则实数 m的值为（）C. 2 或 A. -Vs解答：解：二次函数的对称轴为直线 x=m） - 2时，x=- 2时二次函数有最大值，此时一（2m 2+m+1=4,解得m=-,与m< - 2矛盾，故m值

30、不存在；当-2w mci时，x=m时，二次函数有最大值,此时，m+1=4,解得 m=-V5, mV3 （舍去）；211、抛物线y=ax+bx+c的顶点为D（- 1, 2）,与x轴的一个交点 A在点（-3, 0）和（-2, 0）之间，其部分图象如图，则以下结论:2 b-4acv 0； a+b+cv0； c-a=2；方程ax2+bx+c - 2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为（ C ）12、（钦州中考）一次函数的图象过点（0, 2）,且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式:13、（绍兴中考）如图，已知函数y xb和y ax 3的图象交点为P,则不等式x b

31、ax 3的解集为14、（湖北黄石）如图所示，P1 （x1, y。、P2 （x2, y2）,Pn (xnyn)在函数y=- （x>0）的图象上， OPA1, x P2AA2, 4P3AA3 PnAn 1An都是等腰直角三角形，斜边OAAA2An-1An,都在 x 轴上，则 y1+y2+yn=m 515.（天津市）已知图中的曲线是反比例函数y （ m为常数）图象的一支.（I） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 m的取值范围是什么？（n ）若该函数的图象与正比例函数y 2x的图象在第一象内限的交点为 A ,过A点作x轴的垂线，垂足为B ,求点A的坐标及反比例函数的解析式.16、(浙江

32、嘉兴)如图，曲线C是函数y 6在第一象限内的图象，抛物线是函数y x2 2x 4的图象.点Pn (x,y) x(n 1,2,L )在曲线C上，且x, y都是整数.(1)求出所有的点Pn(x, y);(2)在Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；(3)从(2)的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率.x(第12题)17.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg;销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润；(2

33、)设销售单价为每千克 x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式； 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？31,解：(1)按每千克50元销售，一个月能售出 500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg。现在单价 定为每千克55元，即涨了 5元，所以月销售量减少 50kg,所以月销售量为500-50=450kg ,月销售利润为(55-40) X 450=6750 元。(2)设销售单价为每千克 x元，则上涨了 x-50元，月销售量减少(x-50 ) X 10kg,即月销售量为500-10 (x-50 ),所以利润为 y=500

34、-10 (x-50 ) x (x-40),2即 y 10( x 140x 4000)2-(3)月销售利润达到 8000兀，即8000 10( x 140x 4000),解得x=60或x=80当 x=60 时，销售量为 500-10 (60-50 ) =400,当 x=80 时，销售量为 500-10 (80-50 ) =200而月销售量不超过10000元，即销售量不超过10000 250,而400>250,所以x=60应舍去，所以销售单价应 40定于80元。18、(重庆市江津区)抛物线 y x2 bx c与x轴交与A(1,0),B(- 3, 0)两点，(1)求该抛物线的解析式；(2)设(

35、1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使彳QAC勺周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点巳使 PBC勺面积最大？，若存在，求出点 P的坐标及 PBC勺面积最大值.若没有，请说明理由.19、(湖北省荆门市)一开口向上的抛物线与 x轴交于A (m 2,0), B (出2, 0)两点，记抛物线顶点为 C,且 AC_ BC(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于。的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数 E使彳BCD等腰三角形

36、？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.20.已知经过原点的抛物线 y=-2x2+4x (如图所示)与 x的另一交点为 A现将它向右平移 m ( m> 0)位，所得抛物线与x轴交于C D点，与原抛物线交于点 P(1)求点P的坐标(可用含 m式子表示)(2)设 PCD勺面积为s,求s关于m关系式.(3)过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E,交平移后的抛物线于点F.请问是否存在 m,使以点E、Q AF为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出 m的值，若不存在，请说明理由.考占分析：(1)首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；(2)求出抛物线与x轴的交点坐标，

37、根据当0Vm< 2,当m=Z即点P在x轴时，当m> 2即点P在第四象限时， 分别得出即可；(3)根据E、O A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知 PE=PF表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可.解答：图2解:(1)原抛物线：y=-2x2+4x=-2 (x-1) 2+2,则平移后的抛物线为：y=-2 (x-1-m) 2+2,由题得#=_2(4_1_小尸十2,J工=解得 I? 2 ,771-F2-TFli + 4点P的坐标为(一厂，2 一)；，抛物线与x轴的交点为O (0, 0) A (2, 0),y=-2x 2+4x=-2x (x-2 )AC=

38、2: C D两点是抛物线 y=-2x 2+4x向右平移 m (m>0)个，单位所得抛物线与 x轴的交点，CD=OA=2当0VRK 2,即点P在第一象限时，如图 1,作PHL x轴于H.P 的坐标为(F", Q 一),一地3 |一PH= 2,s S=孑CD? 2? (- 吊+2)=- 垢+2, 当m=Z即点P在x轴时， PCM存在,当m>2即点P在第四象限时，如图 2,作PHLx轴于H.P的坐标为（2,ma + 4S=孑CD? HP=孑 X2X _ ,尸=孑 m2-2;J C（3）如图3若以E、。A F为顶点的四边形是平行四边形，则 EF=OA=2由轴对称可知 PE=PF.

39、点E的坐标为（把点E代入抛物线解析式得:-2x一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系 例1、在平面直角坐标系中，AQ t, (2) 第三讲：二次函数应用BCD的边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从点 A。两点出发，分别沿OB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点。时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为解答下列问题：求OA所在直线白解析式；当t为何值时，POQ是直角三角形；是否存在某一时刻 t ,使四边形APQB的面积是 AOB面积的三分之存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.解： 根据题意：AP= t cm , BQ= t cm . ABC中，AB= BC= 3

40、cm, / B=60° ,BP= (3t ) cm . PBQ中，BP= 3-t , BQ= t ,若 PBQ直角三角形，则/ BQP= 90°或/ BPQ= 90° .1当 / BQP= 90 时，BQ= 1BP.2当 / BPQ= 90。时，BP= 1BQ23-t = 1t2t =2 (秒).答：当t = 1秒或t=2秒时， PBQ直角三角形. 过 P 作 PMML BC于 M . RtABPMT, sin / B= PMPBPM= PB- sin / B= g (3 t ).2 Sa pb户 1 BQ- PM=21t咚(3-1)y= S/abc- S/pbq

41、1=一 X32=旦249.34的关系式为：y = t243、at49.346'假设存在某一时刻t,使得四边形APQC勺面积是 ABC面积的-,3贝U S 四边形 APQC= SaABC .3乌2鸡”X32X 2t 2-3 t +3=0. ( 3)24X1X3V 0,，方程无解.无论 t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的8'例2、如图，边长为1的正方形OABC勺顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动 点D在线段BC上移动(不与B, C重合)，连接OD过点D作D已OD交边AB于点E,连接OE记CD的长为t .(1)当t=1时，求直线DE的函

42、数表达式；3(2)如果记梯形COEB勺面积为S,那么是否存在 S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值;若不存在，请说明理由；解：易知 CD。4BED1所以空CO ,即亘 ,得BE= 2 ,则点EBE BD BE 1 193的坐标为E(1 , 7) . (2分)9设直线DE的一次函数表达式为 y=kx+b,直线经过两点 昼13h 10b 9_ 1y=x3109故所求直线 DE 的函数表(2分)（注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分（2） 存在S的最大值.求最大值：易知COS BDE 所以CD CO,即BE DBBEt；分1一 1S 一 X 1 X (1 +t2-12

43、)-(t22)2故当t=l时，S有最大值5.28（二）因动直线产生的面积关系例3.如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1, 5）和（一？2 , 4）.（1）求这条抛物线的解析式.（2）设此抛物线与直线y=x相交于点 A, B （点B在点A的右侧），平行于x?轴的直线 x=m ( 0<m</5 +1)与抛物线交于点M与直线y=x交于点N,交x轴于点 巳 求线段MN的长（？用含m的代数式表示）OM BM是否存在m的值，使 BOM的面积S最大？若存在，请求出（3）在条件（2）的情况下，连接 的值，若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得b c2b6 “ 口 解得c 0此抛物线解

44、析式为 y=x2 2x-4.（2）由题意得:x1解得2x 4y11x241y24，点B的坐标为（4, 4） 同理，点M的坐标为（mi,将x=m代入y=x得y=m,点 N的坐标为（m, m）. mi - 2m- 4）,点 P 的坐标为（m, 0）.PN= m , MP= m 2 2ml 4 ,0<m<>/5+1,MN=PN+M P= m2+3m+4.(3)彳BCL MN于点 C, 则 BC=4- m1 OP=mS= 1 MIN- OP+1MIN- BG222+25 万2 =2( m+3m+4),-2 (m- 3)2,-2<0,，当m- 3-=0,即m=3时，S有最大值.

45、22同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABE菱形，？点C的坐标为(4, 0), /AOC=6 0 ,垂直于 x轴的直线L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1?个单位长度的速度移动， 设直线L与菱形OABM两边分别交于点 M, N (点M在点N的上方).(1)求A, B两点的坐标；(2)设4OMN的面积为S,直线L的运动时间为ts (0WtW6),试求S与t?的函数表达式；(3)在(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ON C 支2.正方形ABCD勺边长为4 , BE/ AC交DC的延长线于E。(1)如图1 ,连结 AE求 AED勺面积。(2)如图2,设P为BE

46、77; (异于B、E两点)的一动点，连结 AR CP,请判断四边形 APCD勺面积与正方形 ABCD勺面积有怎样的大小关系？并说明理由。(3)如图3 ,在点 P的运动过程中，过 P作PF，BC交AC于F,将正方形 ABCDf叠，使点D与点F重合， 其折线MNW PF的延长线交于点 Q以正方形的BC BA为X轴、Y轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式。3、如图，在矩形 ABCD中，AB 9, AD 3J3 ,点P是边BC上的动点(点P不与点B ,点C重合)，过 点P作直线PQ / BD ,交CD边于Q点，再把 PQC沿着动直线 PQ对折，点C的对应点是 R点，

47、设CP的 长度为x , PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为 y .(1)求 CQP的度数；(2)当x取何值时，点 R落在矩形ABCD的AB边上？(3)求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的?7 ,可设解析式为2得解之，得二、存在性问题(一)、因动点产生的直角三角形问题例4.如图，对称轴为直线 x 7的抛物线经过点 A (6, 0)和B (0, 4).2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E( x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量当平行四边形 O

48、EA用勺面积为24时，请判断平行四边形 为菱形？是否存在点 E,使平行四边形 OEAF为正方形？若存在， 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由抛物线的对称轴是 x把A B两点坐标代入上式，7 2 a(6 2)2 k 0,7 2 a(0 -) k 4.故抛物线解析式为 y -(x 7)2 25,顶点为(7 25).32626(2) 点E(x, y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y 2(x 7)2 25, 326 .y<0,即 一y>0, y表示点E至U OA的距离.OA是YOEAF的对角线，一一1一7 2S2Svoae2 50Aly 6y 4( 2)225.因为抛物线与x

49、轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0),所以，自变量 x的 取值范围是1x<6. 根据题意，当S = 24时，即 4(x -)2 25 24.27 9 1化间，仔(x -)-. 解之，得x1 3,x2 4.故所求的点E有两个，分别为 Ei (3, 4), E (4, 4).点Ei (3, 4)满足0E = AE,所以YOEAF是菱形；点E (4, 4)不满足0E = AE,所以YOEAF不是菱形. 当OAL EF,且OA = EF时，YOEAF是正方形，此时点 E的 坐标只能是(3, 3).而坐标为(3, 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,使YOEAF为正方形.例5.如图所示，

50、在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC勺边长OA OC的长分剔为12cm 6 cm,点A、C分别 在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速 度向点C移动.移动开始后第t秒时，设4PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由 解：(1)据题意知：A(0,-12), B(6,-12).A点在抛物线上，C= 12.1 18a+c=0, a= (1 分)3由AB=6知抛物线的对称轴为：x=3当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q R为顶点的四边形是平行四边形？如果即：3 b 42a抛物线的解析式为：y 2x2 4x 12(3分) 3(2)由图象知：PB=6 t, BQ=2t1- 1, .S=±PB bq 1(6 t) 2tt2 6t (4 分)即 s t2 6t (0 <t < 1) (5分)假