极限计算方法总结一

1、1极限计算方法总结、极限定义、运算法则和一些结果1 1 定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)说明：(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：,m当一=0时,b 为常数且 a式0)； 匹-1)=5；lim q=不存在 当 时；等等(2) 在后面求极限时，(1 1)中提到的简单存限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。2 2 极限运算法则定理 1 1 已知lim f(x),lim g(x)都存在，极限值分别为 A A, B B，则下面极限都存在,且有 (1 1)lim f (x) _ g(x)

2、= A _ B(2)lim f (x) g (x)二A B(3)limf(x)= A ,(此时需 B = 0 成立)g(x) B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3 3 两个重要极限sin x limX-Qx1(2)lim (1 x)x= e -XT。，说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。1x例如：limsin 3x=1,lim (1 - 2x)，x= e,lim (13)3= e；等等。XTO3xXTOIx4 4 .等价无穷小定理 2 2 无穷小与有界函数的乘积仍

3、然是无穷小(即极限是0 0)。定理 3 3 当 X XT T0时，下列函数都是无穷小(即极限是0 0),且相互等价，即有：xsin xta n xarcs in xarcta n xln (1 x)ex- 1。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g (x)时(g(x)T 0),仍有上面的等价3x3x 彳2 2关系成立，例如：当x o时，e -13x；ln(1 -x2)-x。(1)=12定理 4 4 如果函数f (x), g(x), fi(x), gi(x)都是xx时的无穷小，且f(x)fi(x)f (x)fl(x)f (x)lim -，即lim= =lim。Fgi(X)XTXog(x) To

4、g。)5 5 洛比达法则定理 5 5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f (x)和g(x)满足:(1)f (x)和g(x)的极限都是 0 0 或都是无穷大；(2)f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为 0 0；f (x)(3)lim存在(或是无穷大)；g (x)f (x)f (X)f(X)f(X)则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim= =limg(x)g (x)g(x)g (x)说明：定理 5 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不 满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1 1 )是否满足，即验证所求极限0O0是否为“

5、 Y Y ”型或“一”型；条件(2 2) 般都满足，而条件(3 3)则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注 意条件。6 6 连续性定理 6 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果X。是函数f(x)的定义去间内的一点，则有lim f(x)=f(x0)。XT%7 7 极限存在准则定理 7 7 (准则 1 1)单调有界数列必有极限。定理 8 8 (准则 2 2)已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1)y xZn, (n =1,2,3,)(2)lim yn= a,lim Zn=anjec则极限lim xn一定存在，且极限值也是a a

6、，即lim xn= a。nnJPCfi(x),g(x)gi(x),则当limfi(x)I-x凶gi(x)存在时，f (x)li m也存在且等于x必g(x)3、求极限方法举例1 1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限4Q3x+1)2-223x-33解：原式= =lim= lim一J1(x_1)Q3x+1 +2)J1(x_1)Q3x + 1 + 2) 4注：本题也可以用洛比达法则。例 2 2lim、,n( i n 2 - n -1)n n_ _例 3 3lim科nc 2门+3门(-1)11。(|)n 1解：原式= =limn(nn_32o2 2.利用函数的连续性(定理6 6)求极限例 4

7、4lim xXT2解：因为x0=2是函数12 f (x)二X ex的一个连续点,12 2所以原式= =2 e2二3 3.利用两个重要极限求极限1 - cos x例 5 5lim2一xQ 3x22si n2解：原式=女叫23 x2x2si n2Tim2x;0 x212(-)注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 6liq(1 - 3sin x)x1-6sin x解：原式= =lim (1 - 3sin x)石战xj0lim (1 - 3sin x)=lx )01-6sin x-3sinxxe6。上下同除以 3n解：原式lim -n :5例 7 7lim(口)nn n 14 4.利用定理 2 2 求

8、极限解：原式=0=0 （定理 2 2 的结果）5 5.利用等价无穷小代换（定理,.t anx si nx l imx)0l i m =0。x 0例 8 8lim xx_02sin1xxl n(1 3x)例9艸0arctan(x2)解：x0时，In(1 3x)3x,arctan(x2)x2,原式= =limx sin xe e例 1010limT x sin xsin x # x _sin xe(e解：原式= =lim XT-1)x - sin xsin xze(x si nx)limxQx - si n x注：下面的解法是错误的Xsinx(e -1) -(e -1)原式= =lim7 xsi

9、nxx sin x=lim1oxQx - sin x正如下面例题解法错误一样ta n(x2例 1111limx50 1、sin )x sinx1解：；当 x 0 时，x2sinx是无穷小，tan（x2sin1)与 x2sin1等价，xx所以，原式= =xmx2 .1x sin.x1lim xsin 0。(最后一步用到定理 2 2)x0 x6 6.利用洛比达法则求极限解：原式= =lim (13)n +1n： ：1 _3n二lim(1n ：:斗n 1inn： ：_3=eo4 4) 求极限67说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代 换等方法。同时，洛比达法则还可

10、以连续使用。xsin x例 1414lim0sin x- xcosx例 1515lim 7 x sin x解：解：错误解法：原式= =lim丄-丄=0=0。 x正确解法:例 1212lim01-COSX3x2（例4 4）sin x解：原式= =XmD6x1。 （最后一步用到了重要极限）6兀xcos一2例 1313limj x 1解：原式=迎sin2 2x31cosxsinx解：原式=讪一=!吵盂x03x21（连续用洛比达法则， 最后用重要极限）6原式sinx-xcosx-limx0 x2cosx -(cosx - xsin x)3x2= limxQxsinx3x2例 1818lim - Y x

11、1ln(1 x)8原式二limln(1x)一xxxln (1 x)lim也 4x 0二lim1-11 x2xxm02x(1 + x) 29应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多 样，而且许多题目不只用到一种方法， 因此，要想熟练掌握各种方法， 必须多做练习, 在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法， 如用定积分求极限等， 由于不常用, 这里不作介绍。例19网：x -2sin x3x cosx解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到:0不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：1-2 cos xlim，此极限J 3 - sin x 2sinx1 -原式= =limc cosx 3x（分子、 分母同时除以x x)1= =3（利用定理 1 1 和定理 2 2）37 7.利用极限存在准则求极限例 2020 已知 xxk2 , xn d2 xn, （n二1,2,），求lim_xn解：易证：数列xn单调递增，且有界（ooxn22）,由