分式与分式方程题型分类讲义全

1、分式方程及其应用、基本概念1 分式方程 :分母中含有的方程叫分式方程 .2 解分式方程的一般步骤：（1 ）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（ 2 ）解这个整式方程；（3 ）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去 .3. 用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数， 并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知 数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答 .4 分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（ 1 ）检

2、验所求的解是否是所列；（ 2 ）检验所求的解是否.二、题型分类考点一：分式方程题型（一）分式方程去分母1、解分式方程2 x+2+x- 1 1- x=3 时，去分母后变形为（）。D2xC 2 x 2 31 x2、列方程是分式方程的是（2A x2x 3 0Bxx1CDx21题型（二）解分式方程用常规方法解下列分式方程 ：（1）2 x 1；（2） x 51；（3）2 x 1 1x x 3 2x 5 5 2x x 3 2 x 3题型（三）分式方程的解ax1. 已知方程a12 1的解与方程 6=3 的解相同，则x 1 xa 等于（）A3B3C. 2D 26x 22x2 6x42. 方程 2-5=0 的解

3、是 ( )x2 3x 23x 1A. 无解B. 0 , 3C. -3D. 0,±3AB2x33. 如果那么 A-B 的值是 （ ）x 1 x 2(x1)(x2)451AB.C.D. 23344（C）关于 x 的方程2 xc2的两个解是 x1c,x22，则关于 x 的方程 x2a 2 的两个xccx1a1解是（）222a1A a,Ba 1,C a,Da,aa1a1a1题型（四）用换元法解分式方程210=7 时,如果设 x555 =y, 那么原方程可化为 x1x2 5 10x1.用换元法解分式方程 x 5 +10x2x 1x2A. y+10yB. y+ 1 7 y1C. 10y+ 7 y

4、2D. y+10y 2=72 )解方程 2x2 3x 452x2 3x2.解方程 (1) ()2 5( ) 6 0；x 2 x 2题型（五）解分式方程组111xy31. 解方程组：1 1 2x y 9题型（六）增根1. 若解分式方程2xx1m1xxx1产生增根，则 m 的值是（xA. 1或 2 B. 1或 2C. 1或 2D. 1或 2x2. 若方程 x 2x3x3会产生增根，试求k 的值题型（七）求待定常数的值或取值范围1. 关于 x 的分式方程mx131x1的解为正数，求 m 的取值范围；2.若关于 x 的分式方程的解为非负数，则 a 的取值范围是（A a 1Ba>1C a 1且 a

5、 4D a > 1 且 a 4x 1 m3.若分式方程 xx 12 2mx 无解，求 m的值。4. 设 a、b、 c是三个互不相同的正数，如果accabb ，那么（aA 3b 2cB 3a 2bC 2b cD 2a b4变式 1 ：已知 1x2y3 ,则 23(y x) 的值是y x 2x 1 3变式 2： 已知 a、b、c、d 为正整数，且 ba4d 7 b 17(d 1) ，则 c 的值是 cad 的值是b对应练习：、选择题1、关于 x 的方程2xa 1 的解是正数，则1的取值范围是23、4、5、A a 1若解分式方程2xx1A.1或已知A、若x已知A、B a 1 且 aCa1D a

6、1 且 a211ab取整数，3个2x 32xx2二、填空题1 、若分式方程B 为常数)，则m 1 x 1产生增根， xxB.1或2C.则m的值是1或2D. 1或5 ,则 b aab则使分式4xx2A=_ab 的值是(B、7C、D、2、已知 1x1y36x 36x 3 的值为整数的 x2x -1值有B ，其中 A、 B 为常数，那么 xB、2C、m 无解，那么 m 的值应为 2x_ ，B=AB4，则分式2x 3xy 2 yx 2xyy的值等于的值为(D、,若已知 x 1,若kax12x 3x 2 1其中 A 、2b b2c c 2a且 a+b+c 0，则 k 的值为3、方程 的解是 解，则整数

7、a 的值为 已知关于 x 的方程 只有整数4 、已知 a、 b、 c、d 为正整数，且b 4d 7,b 1 7(d 1) ，则 c 的值是 a c a c a ； d 的值 是 b225 、设 m > n > 0 ， m 2 n2 4mn ，则 m n 的值为 mnx=.11, 若 与 (x 4) 互为倒数，则2x 1 3三、解答题1 、解下列分式方程1)1x12)1x 0 ；x3)x11；4)5xx3x54x2、解下列方程1)xx14x 44；x2 ) x7x9x10x62)x6x8x9x53、若关于 x 的分式方程2x3mx3有增根，求 m的值 .4 、若分式方程2x ax21

8、的解是正数，求 a 的取值范围5、解关于 x的方程 x a c （c d 0）提示：（ 1） a,b,c, d是已知数；（ 2） c d 0. b x d6 、若分式方程x1x2无解，求 m 的值。2x7、若关于 x 的方程xx1k2x2xx1不会产生增根，求k 的值。8、若关于 x 分式方程1x2kx22 有增根，求 k 的值。 x2 49、若关于 x 的方程k510x1x2x1 xx21 有增根 x11，求 k 的值。的方程x2mxx4x 2 会 产 生 增 根 ？ 当 a 为 何 值 时 ,x2x12x a(x 2)(x 1)的解是负数考点二：分式方程的实际应用题型（一）行程问题1 ）一

9、般行程问题C1 某 次 列 车 平 均 提 速 20km/h ，用 相 同 的 时 间 ，列 车 提 速 前 行 驶 400km ，提 速 后 比 提 速 前 多 行 驶 100km ， 设 提 速 前 列 车 的 平 均 速 度 为 xkm/h ， 下 列 方 程 正 确 的 是 （ ）=BD2. 从甲地到乙地有两条公路： 一条是全长 600Km 的普通公路， 另一条是全长 480Km 的告诉公路。 某客车在 高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从 甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。（2）水流问

10、题1 、轮船顺水航行 80 千米所需要的时间和逆水航行 60 千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3 千米 / 时，求轮船在静水中的速度。2、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差 2 千米处，已用了 3 小时，若水流 速度每小时 2 千米，求船在静水中的速度 .题型（二）工程问题1施工队要铺 设一段 全长 2000 米的管道，因 在中考期间 需停工 两天，实际每天施 工需比 原计划 多 50 米，才 能按时完成任务， 求原计划每天施工多少米 设原计划每 天施工 x 米 ， 则根据 题意所列方 程正确 的是 （ ）A =2B=2=2C =2D=22 、某 市为治理

11、污水，需要铺设一段全长 响，实际施工时每天的工效比原计划增加3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影25% ，结果提前 30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？3 、某车间加工 1200 个零件，采用新工艺，工效是原来的 1.5 倍，这样加工同样多的零件就少用 10 小时， 采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题例 1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300 枝以上， （不包括 300 枝），可以按批发价付款，购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1

12、 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果购买 60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要 120 元，（ 1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（ 2） 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（ 3） 这个八年级的学生总数在什么范围内？若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？1. 某校为了进一步开展“阳光体育”活动， 购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍 已知一副羽毛球拍比一副乒 乓球拍贵 20 元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 2000 元要多，多出的部分能购买 25 副乒乓球拍1 ）若每副乒

13、乓球拍的价格为 x 元，请你用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；2. 某煤矿现在平均每天比原计划多采 330 吨，已知现在采煤 33000 吨煤所需的时间和原计划采 23100 吨 煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。3. 某商品的标价比成本高 p% ，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过 d% ，请用 p 表示 d 。4. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按批发价付款， 购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售

14、价付款，需用 120 元，如果购买 60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要 120 元，（1 ） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（2 ） 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？题型四：其他类型1、 为了帮助遭受自然灾害的地区重建 家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为 4800 元， 第二次捐款为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐 款人数 X 人，那么 X 应满足怎样的方程？48 件合格产品，乙厂有 45 件合2、 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果

15、甲厂有 格产品，甲厂的合格率乙厂高 5% ，求甲厂的合格率？3、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有5% ，求甲班的合格率？48 人合格，乙班有 45 人合格，甲班的合格率比乙班高900 元和 1500 元 ,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300 元 ,分4、重量相同的两种商品，分别价值 别求这两种商品每千克的价值。5、某甲有 25 元，这些钱是甲、乙两人总数的 20% 。乙有多少钱？对应练习：1 、走完全长 3000 米的道路，如果速度增加 25% ，可提前 30 分到达，那么速度应达到多少？2 、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600Km 的普通公路，另一条是全长 480K

16、m 的告诉公路。某客车 在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路 从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。3、从甲地到乙地的路程是 15 千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走， 40 分钟后， B 骑自行车从甲地出发，结 果同时到达。已知 B 的速度是 A 的速度的 3 倍，求两车的速度。4 、假日工人到离厂 25 千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发 1 小时 20 分钟后，其余的人乘汽车 出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的 3 倍，求汽车和自行车速度5 、我部队到某桥头阻击敌人，

17、出发时敌人离桥头 24 千米，我部队离桥头 30 千米，我部队急行军速度是敌 人的 1.5 倍，结果比敌人提前 48 分钟到达，求我部队的速度。6、甲乙两地相距 360 千米，新修的高叔公路开通后， 在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了 50% ， 而从甲到乙的时间缩短 了 2 小时，求原来的平均速度7、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差 2 千米处，已用了 3 小时，若水流 速度每小时 2 千米，求船在静水中的速度 .8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3 ，求这个两位数9 、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇 2

18、 小时后，由小抽水机继续工作 1 小时完成 .已知小抽水机独浇1这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的 1 倍，求单独浇这块地各需多少时间？210 、某水泵厂在一定天数内生产 4000 台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产 25% ，可提前 10 天完 成任务，问原计划日产多少台？11 、现要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了 321 倍，所以加工完比原计划少用92天完成任务。求原来每天装配的机器数12 、某车间需加工 1500 个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？13 、打字员甲的工作效率比乙高 25% ，甲打 2000 字所用时间比乙打 1800 字的时间少 5 分钟，求甲乙二人 每分钟各打多少字？14 、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种， 第二块使用新品种，分别收获小麦 9000Kg 和 15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少 3000Kg, 分别求这块试验田每公顷的产量。15 、某农场原有水田 400 公顷，旱田 150 公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之 后，要求旱田占水田的 10% ，问应把多少公顷旱田改为水田。16 、某煤矿现在平均每