初一因式分解方法及练习教案

1、初一数学因式分解教学目的 熟练掌握因式分解类题型的解题方法和技巧授课主题 因式分解的常用方法因式分解1. 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，把这一过程叫分解因式。 注意：（1）因式分解是恒等变形； （2）因式分解的结果是积的形式，每个因式都是整式； （3）必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止。2. 因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看做一个变形的过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程。m(ab整式乘法c） 分解因式ma mb mc(ab)(a整式乘法 b） 分解因式22 ab(ab)2整式乘法 2 分解因式 a2ab b2注意：分解因式时，变形

2、的对象是多项式，即把一个多项式化成单项式 多项式或多项式 多项式的形式，所得的结 果必须乘积的形式。整式乘法和分解因式的互逆的恒等变形。3. 提取公因式法因式分解（1）一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式；（2）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取 公因式法。注意：（1）“ 1作”为系数时，通常省略不写，但单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉； （2）多项式的第一项系数为负数时，一般要提出“-”号，使括号里的第一项是正的。注意在提出负号时，多项式的各项都要改变符号。（3）添括号法则括号前是 “ +号”，括到括号

3、里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。4. 用平方差公式因式分解 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2 b2 （a b）（a b） 。类似于这样的多项式都可用平方差公式进行因式分解。22注意：（1）应用公式时，先将二项式写成a2 b2 的形式，再套用公式；（2）公式中的 a 、 b可以是一个单项式，也可以是一个多项式。5. 用完全平方公式因式分解 完全平方公式是指两数的平方和，加上或者减去这两个数乘积的 2 倍，等于这两数和或者差的平方，即2 2 2a2 2ab b2 (a b)2 。注意：(1)应用公式时，要首先确定哪两个数或式子是公式中的 a b

4、 ，然后再因式分解； (2)当第二项的符号为 “ +时”，选用 “和”的完全平方公式；当第二项的符号为 “-”时，选用差的完全平方公式。一知识点梳理( 1)提供因式法(1) 公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式 .(2) 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 .(3) 公因式的构成： 系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有相同字母； 指数：相同字母的最低次幂 . 提公因式时要一次提尽 .公因式可以是单项式，也可以是多项式。ma+mb+mc=m(a+b+c)例 1. 计算

5、21*3.14+62*3.14+17*3.14解：=3.14* (21+62+17)=3.14*100=314例 2. 已知有理数 a,b 满足 ab=1,a+b=2,求代数式 a2b+ab2 的值 . 点拔：根据条件不易求出 a,b 的值，先进行因式分解，然后求值 . 解： a2b+ab2=ab(a+b)因为 ab=1,a+b=2 所以原式 =1*2=2 练习( 1)2x2yxy(2)6a2b39ab2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例 如：22(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 (2) (a ±b)2

6、= a 2±2ab+b2(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3-(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b322a2-b2=(a+b)(a -b) ； a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ； a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 面再补充两个常用的公式2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca) ；例.已知 a，b， c 是 ABC 的三

7、边，且 a2+b2+c2=ab+bc+ca， 则 ABC 的形状是( )A.直角三角形B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：a2+b2+c2=ab+bc+ca,2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 =0所以 a= b=c(1) m29( 2) x24y2三、分组分解法 .(一) 分组后能直接提公因式 例 1 、分解因式： am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先

8、分 解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) 每组之间还有公因式！ =(a+b)(m+n)例 2、分解因式： 2ax+10ay+5by+bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组 解：原式 =(2ax+10ay)+(5by+bx) =2a(x+5y)+b(5y+x) =(x+5y)(2a+b)练习：分解因式 1、a2+ab+ac+bc解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组 原式=(2ax+bx)+(10ay+5by) =x(2a+b)+5y(2a+b) =(2a+b)(x+5y)2、xy+x+y+1(二)分组后能直接运用

9、公式 例 3、分解因式： x2-y2+ax+ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解， 所以只能另外分组。解：原式 = (x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)例 4 、分解因式： 解：原式 =a2+2ab+b2-c2 2 2 2 =(a2+2ab+b2)-c2练习：分解因式 3、x2+x-9y2+3y 4、x2-y2-z2+2yz四、十字相乘法 .(一)二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 x2 +(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)进行分解。特点：(1)二次项系数是 1；

10、(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0< a 5，且a为整数，若 2x2-3x+a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a. 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求 b2-4ac >0 而且是一个完全平方数。 于是 9-8a 为完全平方数， a=1例 5、分解因式： x2-5x+6 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=2× 3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有 2×3 的分解

11、适合，即 2+3=5 1 1 2解： x2-5x+6=x2-(2+3)x+2*31 3=(x-2)( x-3)1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积， 且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x2-7x+6 解：原式 =x2-( 1+6)x -(-1+-6)1 -1=(x-1)( x-6)1 -6(-1)+(-6)= -7练习 5、分解因式 (1)x2+14x+24 (2)a2-15a+36 (3)x2+4x-5练习 6、分解因式 (1)x2+x-2 (2)y2+2y-15 (3)x2+10x-24五.课堂练习： （1）x（ab） y（ba） （2）axaybxby223）abb2acbc（4）axax2bbx（5）axax 16）m（x2）n（2x）x2（7）（ma）23x（ma）（ xy）（am）3 2 28）a3a2ba2cabc（9）2ax 3am10bx15bm应用简便方法计算 :4.3 ×199.87.6 ×199.81.9 ×199.8课后作业 ：1.4a2-b2+