(绝密)2019考研数学完整版及参考答案

1、2019考研数学完整版及参考答案一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1)设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0, X为自变量难点处的增量，y与dy分别为f (x)在点小处对应的增量与微分，若 X 0 ,则()(A)0 dy y.(B)0 y dy.(C) y dy 0 .(D) dy y 0 .x(2)设f (x)是奇函数，除x 0外处处连续，x 0是其第一类间断点，则 o f(t)dt是(A)连续的奇函数.(B)连续的偶函数(C)在x 0间断的奇函数(D)在x 0间断的偶函数

2、.()(3)设函数 g(x)可微，h(x) e1g(x),h(1) 1,g(1) 2,则 g(1)等于()(A) ln3 1.(B)ln3 1.(C)ln 2 1.(D) ln2 1.(4)函数y Gex C2e2x xex满足的一个微分方程是(A)y y 2y 3xex.(0 y y 2y 3xex.(5)设f(x,y)为连续函数，则 04 d-2- B(A) 02 dx f (x, y)dy.(B)y y 2y 3者.(D)y y 2y 3百.10 f (r cos , r sin )rdr 等于()-2TV(B) 02 dx 0 f (x, y)dy .2 -21-y2,(C)0 dy

3、y f(x,y)dx.(D)02 dy 0 f (x,y)dx .(6)设f (x,y)与(x,y)均为可微函数，且 y (x, y) 0 ,已知(为)。)是f(x, y)在约束 条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是()(A)若 fx(x0,y。)0,则 fy(x°,y°)0.(B)若 fx (x0, y0)0 ,则 fy (x0, y0)0 .(C) 若 fx(x0,y0)0,则 fy(x0,y0) 0.(D) 若 fx(x0,y0) 0,则 fy(x°,y°) 0.(7)设i, 2,L , s均为n隹列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的

4、是 (A)若1, 2,L , s线性相关，则(B)若1, 2,L , s线性相关，则(C)若1, 2,L , s线性无关，则A 1,A 2,L ,A s线性相关A 1,A 2,L ,A s线性无关A 1,A 2,L ,A s线性相关A 1,A 2,L ,A s线性无关(8)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的1倍加到第1 1 02列得C ,记P 0 1 0 ,则()0 0 1(A) C P 1AP .(C) C PTAP.(B) C PAP(D) C PAPT .一.填空题(9)曲线y x 4sin x 的水平渐近线方程为 5x 2cos x(10)设函数f(x)1

5、x a,2,-sin t dt, x 0 六, 在x0处连续，则a(11)广义积分xdx0 (1 x2)2(D)若1, 2,L , s线性无关，则(12)微分方程y y(1 外的通解是x(13)设函数y y(x)由方程y 1 xey确定，则 dyi 0dx2 1(14)设矩阵A, E为2阶单位矩阵，矩阵 B满足BA B 2E,则1 2B 一三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分)试确定A,B,C的值，使得ex(1 Bx C/) 1 Ax o(x3),.，3、 一,_. 如其中o(x )是当x 0时比x3高阶的无穷小(16)(本题满分

6、10分)_ _ _ _xarcsine ,求-dx.xe(17)(本题满分10分)c c1 xy 设区域D (x,y)x2 v 1,x 0,计算二重积分2一2dxdy.d 1 x y(18)(本题满分12分)设数列 xn 满足 0 X,xn1 sinxn(n 1,2L)(i)证明limxn存在，并求该极限; n1X 1 xn(n)计算lim迎1.nxn(19)(本题满分10分)证明：当0ab 时，bsin b 2cosb b a sin a 2cosa(20)(本题满分12分)设函数f (u)在(0,)内具有二阶导数，且 z f片满足等式0.验证f (u)皿0； u(II )若f(1) 0,

7、f (1) 1 ,求函数f (u)的表达式.(21)(本题满分12分)已知曲线L的方程t2 14t t2(t 0)(I)讨论L的凹凸性;(II )过点(1,0)引L的切线，求切点(%,%),并写出切线的方程;(III )求此切线与L (对应于x为的部分)及x轴所围成的平面图形的面积(22)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组x1x2x3x44x13x2 5x3 x4ax1 x2 3x3 bx4 1有3个线性无关的解(i)证明方程组系数矩阵A的秩r A 2 ；(n)求a,b的值及方程组的通解.(23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为3,向量11,2, 1 T, 20, 1

8、,1 T是线性方程组Ax 0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量；(n)求正交矩阵q和对角矩阵，使得QTAQ.数学答案1. A【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解【详解】 由f (x) 0, f (x) 0知，函数f(x)单 调增加，曲线y f(x)凹向，作函数y f(x)的图形如 右图所示，显然当 x 0时，y dy f (x0)dx f (x0) x 0,故应选(A).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函 数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：y f(x0x) f(x0) f()x,% x因为f (x) 0 ,所以f (x)单调增

9、加，即f ( ) f (x0),又x 0, 则 y f ( ) x f (x0) x dy 0,即 0 dy y.(理工类)P.1651例 6.1 , P.193定义一般教科书均有，类似例题见数学复习指南 【1(3).2. B【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题,然后选择正确选项.x设条件的特殊函数f (x)去计算F (x)0 f (t)dtx,xf(x) 11,x则当x 0时，F(x)xx 120 fd t叫tdt2叫x而F(0)0 lim F(x),所以F (x)为连续的偶函数，则选项(B)正确，故选(B).x0【 评注 】对于题设条件含抽象函数或备

10、选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见 2006 文登最新模拟试卷(数学三) ( 8) .3. c【分析】题设条件h(x) e g(x)两边对次导，再令x 1即可.1 g(x)【详解】h(x) e 两边对xjt导，得h(x)e1 g(x)g (x) .上式中令 x 1 ，又 h (1) 1, g (1) 2 ，可得1 h(1)e1g(1)g(1)2e1g(1)g(1)ln2 1，故选(c) .【 评注 】本题考查复合函数求导，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班 高等数学 第 2讲第2 节【例12】

11、，数学复习指南理工类 P.47 【例 2.4 】， 数学题型集粹与练习题集理工类P.1 【典例精析】 .4. D【 分析】 本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系 . 故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【 详解 】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为1 1, 22.则对应的齐次微分方程的特征方程为(1)( 2) 0,即 22 0.故对应的齐次微分方程为y y 2y 0.又 y*xex 为原微分方程的一个特解，而 1 为特征单根， 故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有

12、形式f (x)cex ( c 为常数) . 所以综合比较四个选项，应选(D) .【 评注 】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式.完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 7 讲第 2 节【例9 】和【例10】 ， 数学复习指南 P.156 【例 5.16 】， 数学题型集粹与练习题集 (理工类)P.195 (题型演练3) ，考研数学过关基本题型 (理工类) P.126 【例14】及练习.5. c 【 分析 】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然

13、后化为直角坐标系下累次积分即可【详解】 由题设可知积分区域 D如右图所示，显然是Y型域，则-C2原式 02 dy 丫 f(x, y)dx.故选(c).【评注】 图形.本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第(理工类)P.2861例10.6】，考研数学过关基本题型10讲第2节例4,数学复习指南(理工类)P.93【例6】及练习.6. D【分析】利用拉格朗日函数F(x, y, ) f (x, y)(x,y)在(%,%, o) ( o是对应x0, y0的参数 的值)取到极值的必要条件即可【详解】作拉格朗日函数F(x,y, ) f (x, y)(x, y),并记对应

14、xo,yo的参数F x (x0 ,y0, 0)0Fy(x°,y°, 0)0fx (x°, y°)fy (x°, y°)0 x (x0 , y0)00 y (x0, y0)0消去0,得fx(x0,y0) y(x0,y0) fy(x0,y0) x(x0,y0) 0 ,整理得fx(x°,y°)1fy (x0, ¥0) x(%,y°).(因为 y (x°, y°)y (x, y) 0 ),若 fx(x0,y0)0,则 fy(x0,y0)0 .故选(D)【评注】本题考查了二元函数极值的

15、必要条件和拉格朗日乘数法相关定理见数学复习指南(理工类)P .251定理1及P .253条件极值的求法7. A【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定【详解】记 B ( 1, 2,L , s),则(A1,A2,L ,A s) AB.所以，若向量组 1, 2,L , s线性相关，则 r(B) s ,从而r(AB) r (B) s,向量组A 1,A 2,L ,A s也线性相关，故应选(A).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有 无非零解进行讨论.8 . B【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得 【详解】由题设

16、可得11011 01 1 0B 0 10A0 0 1PAP 所以a .故应选（B）【评注】（1）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵 A施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（2 ）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系完全类似例题及性质见数学复习指南（理工类）P.3811例2.19】，文登暑期辅导班线性代数第 2讲例12.9 .【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.1 4sin x详解一 x 4sin x lim -1.x 5x 2cos x x 2cos x 55 x故曲线的水平渐近线方程为y 1.5【评注】本题为基本题型， 应熟练掌握曲线的

17、水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第6讲第4节【例12】，数学复习指南（理工类）P.1801例6.30】，【例6.31 .10.【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可【详解】 由题设知，函数f（x）在x 0处连续，则lxm0f(x)f(0)又因为lim f (x)x 0x 2sintdt lim 3 x 0x3sinx 1 lim 厂一 x 0 3x2 3完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第1讲第1节【例13】，数学复习指南（理工类）P.351例1.51】.88年

18、，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型11.【分析】利用凑微分法和牛顿-莱布尼兹公式求解【详解】xdx0 (1 x2)21lim 2bbd(1+x2)0 (1 x2)21lim 122b 1+x21111-lim2 2b 1+b2 2 2【评注】尼兹公式求解,本题属基本题型,注意取极限.对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿-莱布完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第5讲第6节【例1】，数学复习指南（理工类）P.1191例 3.74 .12 .【分析】【详解】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 原方程等价为dy13.两边积分得 lnylnx x C1,

19、整理得y Cxex. (C eC1【评注】本题属基本题型.完全类似公式见数学复习指南（理工类）P.139.【分析】本题为隐函数求导， 可通过方程两边对x求导（注意y是x的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解【详解】方法一：方程两边对X求导，得yeyyxye .又由原方程知，x 0时，y1 .代入上式得dydxe.方法二：方程两边微分，得dyeydx xeydy,代入 x0, y 1 ,得 dy dx方法三：令F（x,y）1 xey,0,y 1eyx 0,yF e,一 yx 0,y 11 xeyx 0,y 11，x 0,y1一 e.x 0,y 1【评注】本题属基本题型.求方程确定的隐函

20、数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第2讲第2节【例14】，数学复习指南(理工类)P.501例2.12 .14.【分析】将矩阵方程改写为 AX B或XA B或AXB C的形式，再用方阵相乘的行 列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(A E) 2E于是有 B| A E 4,而| A E 1 1 2,所以B 2 .【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲6,数学复习指南(理工类)P.3781例 2.12 15.【分析】题设方程右边为关于 X勺多项式,要联想到ex的泰

21、勒级数展开式，比较x勺同次项系数，可得A, B,C的值.【详解】将ex的泰勒级数展开式ex0(X3)代入题设等式得o(x3)1BxCx23、Ax o( x )整理得(B1)x比较两边同次哥系数得o(x ) 1 Ax o(x )121632316【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见数学复习指南理工类 P.124表格.要想到用麦克劳林公式或泰勒公式16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法xarcsinex x x x【外用牛】 xdxarcsine de e arcsineexe x dx,1 e2xx xe arcsine1.-

22、dx.x 1 ln(12t2),dx一一 1.所以dx1e2xtAdt-dt t 11ln21ln22xe【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时,要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班高等数学第3讲第3节【例6】,数学复习指南理工类 P.791例3.21 .17.【分析】 由于积分区域 D关于浅由对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可【详解】 积分区域D如右图所示.因为区域D关于冲由对称，1函数 f(x,y) 21 xy的偶函数,

23、、 xy函数g(x,y) t 1 xy的奇函数 dxdy y12x dxdy y02d01ln22_xy d1 x2dxdy y0,1 xy 一?7 dxdy22 dxdy d 1 x yxyD 1 x2-dxdy y2ln2就要想到考查被积函数或【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算1节例1和例2,数学复习完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第10讲第指南（理工类）P.2841例10.1 18.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在.（n）的计算需利用（I）的结果 .【详解】（I）因

24、为0为 ，则0 X2 sinx 1可推得Xn1 sinxn 1,n 1,2L则数列Xn有界.Xn 1xnsinXn /1,(因当Kx 0时，sinxn,可见数列Xn单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim xn存在. n设limnXnl，在不1sinxn两边令n得l sinl ,解得l0,即 lim xnn0.(n)limnXn 1Xnlim nsin XnXn，由（I）知该极限为1型,不，则,tlim（利用了故limnsin ttsin ttlim 1sin tt1sint / 1 tsint1 -1t211 sintT t tlim t 0sint3 tt3sin x的麦克劳林

25、展开式）1Xn 1X2xnlimnsin Xnxnlimt 03!o(t3)19.【详解】则 f (x) 又 f (x)令 f(X)sin xcos Xxsin x 2cosX cos Xxsin x2sin xcos Xx a sin2cos ax cos x sin xxsinX 0,(0a,0 且f时，x sin x故当0 a时,（x）单调减少,即 f (x)0,则f （x）单调增加,是 f (b) f (a) 0 , bsin b2cosbb a sin a2cosa20利用复合函数偏导数计算方法求出22zz2 ,2xy0即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】（I）设uJ

26、x2 y2f (u) c c , f (u) c c .(u)y2f (u)(u)2x22x y(u)2x22；, x y-2 y(u)2y2 y(u)22将一z,z代入x y2 z2 x(IIf (u)(u) pipdppdu,两边积分得u1可得由f。）0可得解.南21.ln p lnuC1 1.所以有f (u) lnulnC1,即 p(u)C1u1f （u）,两边积分得uC2,C 0,故 f (u) ln u .【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第8讲第1节【例8】，数学复习指（理工类）在切线上；【详解】P.336

27、1例 12.14，P.3371例 12.15（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）（iii）利用定积分计算平面图形的面积先写出切线方程，然后利用（1,0）（I）因为dxdt2t,dydt4 2tdydx4 -s2zdx一出d2y dx2dtdydx1dx2t22t17 0.(t 0)dt故曲线L当t 0时是凸的., _2、一,22(II )由(I )知，切线万程为 y 0；1 (x 1),设 x0to1, y04tot0,则 4to t；2 1 (t； 2)，即 4t2 t3(2 to)(t2 2)to整理得 to to 2 0 (to 1)(0 2) 0to 1, 2(舍去).将to 1代

28、入参数方程，得切点为(2, 3),故切线方程为y 32 1 (x 2),即 y x 1.1D( 1,0),1) dy 22 .4 y 1.3 ) 在 L 上，则1 9 y 2，4 y .于是y 4J4 y (y 1) dy(ill )由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 A(1,0), B(2,0), C(2,3)设L的方程x g(y), 3则 S 0 g(y) (y 由参数方程可得t 2 .,4 y ,即 x由于 (2,. 2x g(y) 24 y3 S 9 0 3 0(10 2y)dy 40 _4 ydy2383 | 3710y y 0 7 4y 2 °-.33【评注】本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见数学复习指南(理工类)P.1871例6.40】.22.【分析】(I )根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(II )利用初等变换求矩阵A的秩确定参数a,b ,然后解方程组.【详解】(I)设1, 2, 3是方程组Ax 的3个线性无关的解，其中1