hzf第2章——平面问题的基本理论1ppt课件

1、2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 在实际问题中，任何一个弹性体严在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，性体的形状和受力情况具有一定特点时，如果经过适当的简化和抽象处理，可以如果经过适当的简化和抽象处理，可以简化为弹性力学平面问题，将使计算工简化为弹性力学平面问题，将使计算工作量大为减少。作量大为减少。一、平面应力问题一、平面应力问题图图2 21 1等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚等厚度薄板，承

2、受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。且不沿厚度变化。应力特征应力特征 如图选取坐标系，以板如图选取坐标系，以板的中面为的中面为xy 平面，垂直于中平面，垂直于中面的任一直线为面的任一直线为 z 轴。由于轴。由于板面上不受力，有板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为整个薄板可认为整个薄板的各点都有：的各点都有：0z0zx0zy图图2 21 1结论：结论：平面应力问题只剩下三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy应变分

3、量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。xyxyxyxyxyyxxy0z0zx0zyzzyzxyzyyxxzxyx共六个应共六个应力分量力分量xy 特征：特征：1) 长、宽尺寸远大于厚度。长、宽尺寸远大于厚度。2) 2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。前后表面上无外力作用。0z注意：平面应力问题注意：平面应力问题z =0，但，但二、平面应变问题二、平面应变问题x 图 22如：水坝、受内压的圆柱管道和

4、长水平巷道等。如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。xyP 设有很长的柱体，在柱面上承受平行于横设有很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。行于横截面并且不沿长度变化。厚壁圆筒厚壁圆筒(1) 几何特征几何特征水坝水坝 一个方向的一个方向的尺寸比另两个方向尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且的尺寸大得多，且沿长度方向几何形沿长度方向几何形状和尺寸不变化。状和尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力体力、面力平行于横截面作用，外力体力、面力平行于横截面作用，且沿长度且

5、沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3) 变形特征变形特征建立如图坐标系：以任一建立如图坐标系：以任一横截面为横截面为 xy 面，任一纵向面，任一纵向线为线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，那么方向为无限长，那么, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x、y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝0w所有各点的位移分量都平行于所有各点的位移分量都平行于 x y 平面。平面。 也叫平面位移问题也叫平面位移问题0z水坝水坝0z,0zyyz,0zxxz),(yxyy),(yxxx

6、( , )xyxyx y 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x、 y 的函数。的函数。如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题-空间问题空间问题三三. . 平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：知：外力体力、面力）、边界条件，知：外力体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx

7、,vu, 仅为仅为 x、 y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1静力学关系：静力学关系：（2几何学关系：几何学关系：应力与体力、面力间的关系；应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；应变与位移间的关系； 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程（3 3物理学关系：物理学关系：应变与应力间的关系。应变与应力间的关系。建立边界条件：建立边界条件： 物理方程物理方程（1 1应力边界条件；应力边界条件；（2 2位移边界条件；位移边界条件；（3 3混合边界条件；混合边界条件；2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 无论平面应力问题还是平面应变问题，都是无论平面应力问题

8、还是平面应变问题，都是在在xy平面内研究问题，所有物理量均与平面内研究问题，所有物理量均与z无关。无关。 下面讨论物体处于平衡下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图微分方程。从图21所示的所示的薄板取出一个微小的长方形薄板取出一个微小的长方形PACB (图图23），它在），它在z方方向的尺寸取为一个单位长度，向的尺寸取为一个单位长度，在在x方向和方向和y方向上的长度分方向上的长度分别为别为dx和和dy。oxyPABCxfyfD图图2 23 3),(yxxx 设作用在单元体左侧面设作用在单元体左侧面上的正

9、应力是上的正应力是 。nnxnxxxxdxxyxndxxyxdxxyxyxydxx)(),(!1)(),(! 21),(),(),(222oxyxPABCxfyfD图图2 23 3右侧面上坐标右侧面上坐标x x得到增量得到增量dxdx，该面上的正应力为，该面上的正应力为 ，将上式展开，将上式展开为泰勒级数：为泰勒级数：),(ydxxx略去二阶及二阶以上的微量后便得略去二阶及二阶以上的微量后便得 同样同样 、 、 都一样处理，得到图示应力状都一样处理，得到图示应力状态。态。dxxyxyxxx),(),(yxyyxdyyyydxxxxdxxxyxydyyyxyxyoxyxxyyxPABCxfyfD

10、02121)(2121)(dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy 对平面应力状态考虑体力时，仍可证明切对平面应力状态考虑体力时，仍可证明切应力互等定理。以通过中心应力互等定理。以通过中心D并平行于并平行于z 轴的直轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程线为矩轴，列出力矩的平衡方程 ：0DM yoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdyyyxyxPABCxfyfD将上式的两边除以将上式的两边除以 得到：得到：dxdydyydxxyxyxxyxy2121令令0, 0dydx ，即略去微量不计，得：yxxyyoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdy

11、yyxyxPABCxfyfD下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：体列平衡方程：()11()1110yxxxxyxyxxdxdydydydxxydxfdx dy yoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdyyyxyxPABCxfyfD0:xF 0:yF 0yxxxfxy0yxyyfyxyoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdyyyxyxPABCxfyfD()11 ()1110yxyyyxyxyydydxdxdxdyyxdyfdx dy 即有平衡微分方程：即有平衡微分方程：00yxxxyxyyfxyfyx 这两

12、个微分方程中包含着三个未知函这两个微分方程中包含着三个未知函数数 。因此决定应力分量的问题是超。因此决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 yxxyyx,z 对于平面应变问题对于平面应变问题,虽然前后面上还有虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。方程对于两种平面问题都同样适用。解：选择坐标系如图。解：选择坐标系如图。因表面无任何面力，因表面无任何面力，、 、 = 0,故表面上故表面上在近表面很薄一层在近表面很薄一层 接近平面应力问题。接近平面应力问题。xfyfzf. 0,zyzxz. 0,zyzxz例题例题1 1习题习题2-32-3试分析说明试分析说明, ,在不受任何面力作用的在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中空间体表面附近的薄层中, ,其应力状态接近于平面应力其应力状态接近于平面应力状态。状态。解：根据题意，本题中解：根据题意，本题中只要只要 ，且