C1函数的积分ppt课件

1、 2 C1函数的积分函数的积分1 C1函数的定义:定义2.1 设f是定义在区间I上的实值函数.如果存在一个C0函数 的递增序列sn ，使得： 1snf a.e.于I； 2 有限，则称f为I上的一个C1函数，并且说sn生成f.C1函数的积分定义为: InnslimIInsflim2定理定理2.1：C1函数与函数与C0函数序列的关系函数序列的关系 设设: , 和和 是两个是两个C0函数的递增序列函数的递增序列,满足定义满足定义2.1中的中的1和和2那么那么:1Cf nsnImmInnslimlim证：依假设，由于I.)()(eaxfxsnImmInslim从而ImmInnslimlim 即，同一个

2、C1函数的不同的C0函数序列都可以收敛到同一极限。 注：每一个C0函数都是C1函数。如果f几乎处处等于一个C1函数g，则f也是C1函数。同理可以得到InnImmslimlim所以有ImmInnslimlim3C1函数积分的基本性质函数积分的基本性质定理2.2 设f和g是区间I上的C1函数，那么 1 ，且 2 对于任意常数 ， 且 3 假设 于I 那么 1CgfIIIgfgf)(01CafIIff. .)()(eaxgxfIIgf4 证明：性质1和2可由c0函数相应的性质推得。为了证明性质3，设sn是生成f的序列，tn是生成g的序列。则在I上几乎处处都有sn f ,和 tn g,并且注意：性质注

3、意：性质2对对0a这一要求是实质性的，它说明减法运算在C1函数类中未必可行。IInnIImngtfs,lim,lim但是，对每一个m，有)(lim)()()(xtxgxfxsnnma.e.于I，因此根据定理1.2，IInnImgts,lim再令m即得性质3510 设区间0 ，1上的函数 为： 当 时，n=1,2,3, 当x=0,1,1/2,1/3,. 其中 是任意取定且满足 。那么 是C1函数，但 不是C1函数 思路：从基本概念出发主要考察3点： 1 序列趋近 2 有限 3 C0与C1函数的关系 )(xfn0f)1,11(nnxf例例2.1)(xf6证明：显然对任意的正数证明：显然对任意的正数

4、M，存在区间，存在区间 ，使得，使得 在此在此 区间内有区间内有 。因此。因此f不是几乎处处有上界的，不是几乎处处有上界的，从而从而-f不是处处有下界的。但是，依定理不是处处有下界的。但是，依定理2.1，C1函数函数 几乎处处有下界，所以几乎处处有下界，所以-f不是不是 C1函数。现在证明函数。现在证明 ，为此，作，为此，作C0函数函数那么那么 f,而而右端级数收敛，故右端级数收敛，故 ，并且不难算出，并且不难算出 Mnxf)()1,11(nn 111110,) 1(11) 1(1) 1(1nknknnknn1110) 1(1)(nnndxxf1Cf 其它,1k1,0 x,kn,n1,1n1x

5、0,1k,nxk1Cf k7C1函数的积分等价性函数的积分等价性,1Cf 定理2.4 假设 那么 ，证明思路： 1 收敛、有限、序列 2 特定函数的转换1Cgf、1),min(Cgf定理定理2.3 假设假设 且且 a.e.于于I，那么，那么 )()(xgxfIIgf1Cg C1函数的有界性函数的有界性1),max(Cgf8证：证： 设阶梯函数序列设阶梯函数序列sn生成生成f,tn生成生成g,令：令：则则un和和vn都是阶梯函数，并且在都是阶梯函数，并且在I上几乎处处有上几乎处处有: un max(f,g), vn min(f,g) 为了证明为了证明min(f,g) C1,只须证明序列只须证明序

6、列 有上界。有上界。由于由于 a.e.与与I，故，故 。 而而 ，故序列，故序列 亦收敛。因而亦收敛。因而).t ,s (minv),t ,s (maxunnnnnnIInfvnnnnvtsuIIIInInInIngfgfvtsu),min(fvnInv Inv9 定理2.5设 ，其中I1与I2是I的子区间，I1与I2没有公共内点。1 假设 ,且 a.e.于I,则在Ii上 ， 且2设在 I1上 ，在 I2上 ，定义I上的函数 f如下：21III1Cf 0f1Cf IIIfff121Cf 1Cf ，IIx(x), f，Ix(x), fxf时当时当 )(1211C1函数的分区域积分函数的分区域积分

7、, 2 , 1i10那么 ，且 证明：根据定义证明。任何一个C1都可以由一个C0函数来趋近。所以C1函数的问题可以利用C0来证明。1Cf IIIfff12 。即得因此令，还有生成上故在有，的每个子区间对于因生成梯函数的递增序列，它上的非负阶是则令对每一个的递增阶梯函数序列，上生成是证：设。1n,sssfsI, fssII0)ff(Is,0),x(smax)x(s, IxfIs21InInInnIInInnnnn11 定理定理2.6 设设 f 是有界闭区间是有界闭区间 a,b上的有界函数，且在上的有界函数，且在 a,b上几乎处处连上几乎处处连续，则续，则f是是 a,b 上的上的C1函数，并且函数

8、，并且f作为作为C1函数的积分就等于函数的积分就等于R积积分分 。 证：假定本定理所给的函数证：假定本定理所给的函数f的的R可积性是已知的。可积性是已知的。 设分划设分划 把区间把区间a,b 分成分成2n个相等的子区个相等的子区间。每个子区间的长度等于间。每个子区间的长度等于(b-a)/2n.分划分划Pn+1的子区间可由二等的子区间可由二等分分Pn的子区间而得到，令的子区间而得到，令 badxxf)(,210nxxxPnnkkkkxxxxfm21,)(inf1在a,b上定义阶梯函数sn如下：,1,1)(,)(masmxxxmxsnkkkn则当xa,b时，有 xfxsn)(C1函数的积分与函数的

9、积分与R积分的等价性条件积分的等价性条件12 因为f在xk-1,xk的子区间上的下确界不会小于f在xk-1,xk的下确界，所以sn是递增序列。 下面证明在f连续的每个内点处有 。由于f在a,b上不连续的点组成 之集有零测度，故 在a,b上几乎处处成立。设f在点x连续，则任给 ，存在 ，使得当 时，有不等式 成立。令那么 ，即 。对于这个x点，必有某个分划PN,使得x位于PN的某个子区间xk+1,xk 之内，而 xk+1,xk 含与区 间 之内。因而但是，对一切n有 ；对一切 又有 所以，当 时 有： 这正表明 。 xfxsn xfxsn0有关）与,(0 xxyx )()(xfyfxf,inf)(xxyyfm mxf)( mxf xx, .xsmmxfmxsNkkN xfxsn)(Nn .limxfxsn xsxfxsnn . x