D62二重积分的计算

1、目录 上页 下页 返回 结束 1/40 “父母在，不远游，游必有方父母在，不远游，游必有方”，古今皆然。子女能让父母了解自己，古今皆然。子女能让父母了解自己的行踪，不但免去父母的挂心，亦可的行踪，不但免去父母的挂心，亦可避免意外发生。避免意外发生。目录 上页 下页 返回 结束 2/40第二节二、直角坐标系下二重积分的计算法二、直角坐标系下二重积分的计算法 三、极坐标系下二重积分的计算法三、极坐标系下二重积分的计算法 二重积分的计算 第六章 一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义 四、曲线坐标下二重积分的计算法四、曲线坐标下二重积分的计算法 目录 上页 下页 返回 结束 3/40求体积求体

2、积: 2.1 二重积分的几何意义二重积分的几何意义设设 0),(yxfz底：底： xOy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面.“分, 匀, 合, 精” D),(yxfz 2(),fC DDR（有界闭区域）（有界闭区域） 二重积分：二重积分： 01()( , )lim(,)nkkkdkDf x y df 其几何意义就是曲顶柱体的体积其几何意义就是曲顶柱体的体积 目录 上页 下页 返回 结束 4/40 xbad 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体

3、积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201所得截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截曲顶柱体)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDOyyxfxxxbad),(d)()(21记作记作 二、直角坐标系下二重积分的计算法二、直角坐标系下二重积分的计算法目录 上页 下页 返回 结束 5/40ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 （ Y- 型区域 ）先

4、积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域目录 上页 下页 返回 结束 6/40 xyOxyDO说明说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD则 目录 上页 下页 返回 结束 7/40121221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y

5、1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 8/40注意：注意：若函数)()(),(21yfxfyxfdycbxaD,:且积分区域abcd12( , )( )( )bdacDf x y dxdydxf x fy dy12( )( )bdacf x dxfy dy相当于计算两个定积分的乘积。相当于

6、计算两个定积分的乘积。目录 上页 下页 返回 结束 9/40例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. :Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线解: 说明：为计算方便说明：为计算方便,可选择合适的积分顺序可选择合适的积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 10/40例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :00:x

7、xyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 11/402例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y - 型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 12/40例例5. 求两个底圆半

8、径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 13/40 利用直角坐标计算二重积分的一般步骤：1，确定积分区域，画出积分区域的图形。2，观察（积分区域与被积函数），3，确定积分限。4，进行两次定积分。选择合适的积分顺序。目录 上页 下页 返回 结束 14/40 xyO设函数),(yxfD 位于 x 轴上

9、方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0DDDyxyyxxdddd偶倍奇零目录 上页 下页 返回 结束 15/40例例6 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(

10、yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 16/40补充题补充题 1. 求抛物线220yxxy与直线及012 yx所围区域 D 的面积A .解解: :如图所示xy2324,12DDD 12ddDDAyyx122d34dyyyx22d12dy4312331221yyy1D2DD212331221yyy3252,d),(时计算Dyxf1),(Dyxf可扩展到若注注: 则可利用上述方法简化计算. 上可积 , 1yxO目录 上页 下页 返回 结束 17/40为可积函数,),(yxf且区域D关于直线xy

11、对称， 则21),(),(DDdxyfdyxfxy 注：注：),(kk),(kknkkkkf10),(limnkkkkf10),(lim1D2D积分区域关于直线xy 对称，则DDdxyfdyxf),(),(,1D2D对换对称性目录 上页 下页 返回 结束 18/40yx1xy 1O例例7. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:II2dxdyyfxfDD 21)()(10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2AdxdyyfxfD 1)()(dxdyxfyfD2)()(1D2D目录 上页 下页 返回 结束 19/4

12、0111 xyO例例8、计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分, 则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx; 1011:yxD，其中D 为圆域把D 分成1D作辅助线目录 上页 下页 返回 结束 20/40 x1y1Oxy (2) 提示提示: 21, DD两部分 1D12()d d()d dDDyxx yxyx yyxyxDdd)2(xy 作辅助线2D将D 分成2d dDx yyxxyyxIDdd)22(222) 12(32二者相等吗？目录

13、上页 下页 返回 结束 21/40Dyxfd),(ddrr Drrf)sin,cos(三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 22/40 )()(21d)sin,cos(rrrrrrf设,)()(:21 rrrD则 Drrrrfdd)sin,cos( d特别特别, 对20)(0: rrD Drrrrfdd)sin,cos()(d)sin,cos(rrrrrf0 20dD)(1rr )(2rr Ox)(rr DOr)(1rr )(2rr OxD目录 上页 下页 返回 结束 23/40此时若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202 rDd思考思考: 下

14、列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 (问 的变化范围是什么?22)2(2)(rr DyxO(1)(rr DyxO)(rr DOr目录 上页 下页 返回 结束 24/40 xyO32 61 sin4 ryxyxDdd)(22sinsind422rrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例7. 计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 r2436dD目录 上页 下页 返回 结束 25/40例例8. 计算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解

15、: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.yxDO目录 上页 下页 返回 结束 26/40例例9. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目录 上页 下页 返回 结束 27/40围成 . 1. 计算二重积分0yxxDdd 2,d

16、d)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1)yxxIDdd2221()d d2Dxyx y10320dd21rr4yxyxDyxdde22yx1DO补充题补充题利用对称性.yxyDdd 2目录 上页 下页 返回 结束 28/40y1x1OyxyxDyxdde122(2) 积分域如图:1D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222目录 上页 下页 返回 结束 29/40计算步骤及注意事项计算步骤

17、及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式目录 上页 下页 返回 结束 30/40四、曲线坐标下二重积分的计算法四、曲线坐标下二重积分的计算法 在2.3段中我们看到，运用极坐标变换有时候可以使二重积分的计算简化特殊的坐标变换使用其它的坐标变换坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分的一般换元法但是，极坐标只是一种为了计算二重积分，有时候需要下面我们来介绍在一般形式的目录 上页 下页 返回 结束 31/40rrrr1 r

18、Dyxfd),(ddrr Drrf)sin,cos(目录 上页 下页 返回 结束 32/40作变换若以下三个条件满足,则称变换(2.13)为正则变换正则变换， ;)(,) 1 (1Cvu函数 ，2,Ryxyxvvyxuu 2,Rvu132.;, 0,Jacobi2）（行列式）（yxvvuuyxvuyxyx. ) ()() 3(一一对应地映射为此变换将域目录 上页 下页 返回 结束 33/40正则变换可以证明,132.存在唯一的逆变换 一一对应地区域 vuvuyyvuxx,142.它将该逆变换也是正则的 , .映射为区域.,边界对应边界外部对应外部,内部而两个区域的内部对应uOv平面在平面上的直

19、线xOyuuuuu 00, ;,00uuyxuuyxu 上的原像分别为:可见由yxvvyxuu,目录 上页 下页 返回 结束 34/40的原像分别为vvvvv 00,.,00vvyxvvyxv 四条曲线平面上的原像是由上述在于是xOy .如图 对应于在划分用坐标线上对域,21CvCu 所围成的区域平面在由此可见uOv,目录 上页 下页 返回 结束 35/40 对域平面上用曲线在21,CyxvCyxuxOy .进行划分u曲线族曲线族和v曲线族曲线族 . . ,0MxOy平面上任一点于是 ,00表示既可用直角坐标yx ,000vuvyxvv的交点表示为曲线和 曲线坐标曲线坐标 . . 分别称为21

20、,CyxvCyxu 0,uyxu曲线也可用u点的称为0M目录 上页 下页 返回 结束 36/40 ,00000vuyvuxM ,00002vvuyvvuxM ,00003vvuuyvvuuxM ivuxvuuxMM000010, jvuyvuuy0000, ,0000juvuyiuvuxuu ,00001vuuyvuuxM 目录 上页 下页 返回 结束 37/40ivuxvvuxMM000020, jvuyvvuy0000, ,0000jvvuyivvuxvv 从而 00,201000vuvvuuvyvxuyuxkjiMMMM .,0000,vuvuyxvuyxyxvuvuvvuu 目录 上页

21、 下页 返回 结束 38/40所以dvuyxdudvvuyxd,.微元直角坐标平面上的面积是其中uOvdudvd 152.该变换式表明,duOv平面上的面积微元映射成dxOy 平面上的面积微元将,了伸缩使面积产生 .,vuyx 伸缩系数为,于是152. dvuyxvuyvuxfdyxf,162.目录 上页 下页 返回 结束 39/40例例2.10 求 ,1, xydxyI是由直线其中解解 四条直线交点的坐标分别为,61,617,65,61BA,3 xy.53973所围成的区域及xyxy.4 , 3,3 , 6DC中的两条直线直线族1cxy ,3111cc，中的两条直线直线族231cxy.5,9

22、/722cc目录 上页 下页 返回 结束 40/40 :变换这就启发我们作如下的17. 2,31,xyvxyu uOvxOy映射成平面上的区域将变换17. 2 直角坐标平面上的,431111,1,31yxvuvuyx目录 上页 下页 返回 结束 41/40由公式于是,162.可得.338dd43dd4313597uuvvuu dvuyxvuvudxyI,43434341目录 上页 下页 返回 结束 42/40,dd43dd,dvuvuvuyx值得一提：由于变换17. 2平面上的几何意义在 xOy,比较明显无限平面上利用我们也可以直接在“xOy,”积分化为累次积分的思想通过变换把二重累加 .平面上去计算映射到而不必把域uOv这时利用 ,31,21分割区域CxyvCxyu 就是 .分割边界直线平行的直线族用与由公式15. 2,可知面积微元目录 上页 下页 返回 结束 43/40 .dd43vuu平面上就有在从而xOy, vuvuyxvuvudxydd,43434341 增加方向先沿时乘积项无限累加上在uvuu,dd”“,累加,增加方向累加再沿v由21. 6图直接可得 .338dd43dd4313597uuvvuuI目录 上页 下页