Chapter07-实数的完备性

1、北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析11 关于实数完备性的基本定理2 闭区间上连续函数性质的证明北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析2确界原理确界原理 、数列的单调有界定理、数列的单调有界定理、 柯西收敛准则柯西收敛准则 ， 这三个命题以不同的方式反映了实数集这三个命题以不同的方式反映了实数集 R 的一种特性的一种特性 ，称为实数的称为实数的完备性完备性或实数的或实数的连续性连续性。 有理数集就不具有这种特性有理数集就不具有这种特性 。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析3, 2| . 12QxxxS , 2inf , 2sup SS成立。成立。

2、确界原理在有理数域不确界原理在有理数域不在有理数集没有确界。在有理数集没有确界。即即S是是单单调调有有界界有有理理数数列列，)11( . 2nn . e但但其其极极限限是是无无理理数数条条件件的的有有理理数数列列，也也是是满满足足Cauchynn)11( . 3 即数列的单调有界定理在有理数域不成立。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 . e但但其其极极限限是是无无理理数数即柯西收敛准则在有理数域不成立。即柯西收敛准则在有理数域不成立。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析4 本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定理、聚点定

3、理和有限覆盖定理定理、聚点定理和有限覆盖定理， 还将证明这六个基本定理的等价性。还将证明这六个基本定理的等价性。 一、一、 区间套定理与柯西收敛准则区间套定理与柯西收敛准则 ( i ) ,11 nnnnbaba., 2 , 1 n0)(lim nnnab( ii ) 1a1b,bann 则称则称 为闭区间套，或简称区间套为闭区间套，或简称区间套。 2a2b3a3b1221bbbaaann 定义定义1 设闭区间列设闭区间列 具有如下性质：具有如下性质：北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析5定理定理7.1（区间套定理）（区间套定理） 若若 是一个区间套，是一个区间套， bann,则

4、在实数系中存在唯一的一点则在实数系中存在唯一的一点 ， 使 ,nnba ., 2 , 1 n na., 2 , 1, nbn 证证 为递增有界数列为递增有界数列 ，na依单调有界定理，依单调有界定理， 有极限有极限 ， an 且且, 2 , 1, nan 递减有界数列递减有界数列 也有极限，并按区间套的条件（也有极限，并按区间套的条件（ii）有）有 bnlim nbnlim n an 且且, 2 , 1, nbann 即即北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析6现在证明现在证明 是唯一的是唯一的 。 nnba ，满足，满足若若,| nnab 则则, 0)(lim|lim nn n

5、nab . 推论推论 , 2 , 1, nbann 若若 是区间套是区间套 所确定的所确定的点点 ,nnba有有，则则, 00NnN ).,(, Ubann ( ) nanb北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析7注注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间区间套定理中要求各个区间都是闭区间. , 0)01(lim10 nnn且且是前一个包含后一个，是前一个包含后一个，），（如如 但不存在属于所有开区间的公共点。但不存在属于所有开区间的公共点。 注注2 区间套定理在有理数域不一定成立。区间套定理在有理数域不一定成立。, 2, nnaa使使取单调递增有理数列取单调递增有理数列如如,

6、2, nnbb使使取单调递减有理数列取单调递减有理数列2, 有唯一的公共点有唯一的公共点则有理数域内闭区间套则有理数域内闭区间套Qnnba.Q 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析8作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的而未证明的“数列的柯西收敛准则数列的柯西收敛准则” 。., 0 mnnaaNnmNa有有收收敛敛证证 必要性必要性 ,limAann 设设|AaAaaamnmn |AaAamn . 2/, 0 AaNnmNn有有. 2/ Aam及及.| AaAaaamnmn北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数

7、学分析9 充分性充分性 ., 0 NnaaNnN有有即在区间即在区间 内含有内含有 中中除有限项外所有的项除有限项外所有的项， , NNaana几乎所有项，几乎所有项，内含内含在在令令21,21,21111nNNaaaN ,21,211111 NNaa ，记记写作写作“几乎所有的项几乎所有的项”北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析10几乎所有项，几乎所有项，内含内含在在令令21,21,21222222nNNaaaN ,21,2111222222 ，记记 NNaa几乎所有项，几乎所有项，也含也含，则则22na n21212143，依次令依次令 仿以上方法得到闭区间列仿以上方法得到

8、闭区间列 ,nn 几乎所有项，几乎所有项，其中每个区间都包含其中每个区间都包含na北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析11, 2 , 1, 11 nnnnn 且且),( , 0211 nnnn 是闭区间套。是闭区间套。即即, nn 由区间套定理，存在唯一的一个数由区间套定理，存在唯一的一个数 , 2 , 1, nnn 由推论得由推论得 ：有有，, 00NnN ).,(, Unn 因此在因此在 内含有内含有 中除有限项外的所有项中除有限项外的所有项， );( Una.lim nna即即北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析12二、二、 聚点定理与有限覆盖定理聚点定理

9、与有限覆盖定理1 聚点定理与致密性定理聚点定理与致密性定理 设设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于为数轴上的点集，为定点（它可以属于S， 也也 可以不属于可以不属于S）。）。 若若 的的任何邻域任何邻域内都含有内都含有S中中无穷无穷多个点，则称多个点，则称 为点为点 集集S的一个聚点。的一个聚点。 的聚点为的聚点为如如1)1( nSn . 1, 1 的聚点为的聚点为1 nnS, 1 的的聚聚点点为为),( baS ,ba2定义定义北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析13整数集整数集Z和自然数集和自然数集N没有聚点。没有聚点。 任何有限数集没有聚点任何有限数集没有聚点. 聚点概

10、念的另两个等价定义聚点概念的另两个等价定义: 2 定义定义,);(, SUSSo 的点，即的点，即异于异于中中邻域内都含有邻域内都含有的任意的任意若点若点对于点集对于点集则称则称 为为S的一个聚点。的一个聚点。 2 定义定义若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列 ,Sxn 的一个聚点。的一个聚点。称为称为则则Sxnn lim 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析14三个定义等价性的证明三个定义等价性的证明: ：定义定义定义定义22 显然。显然。：定义定义定义定义22 显然。显然。：定义定义定义定义只需证：只需证：22 设设 为为S（按定义（按定义 ）的聚点，）的聚点，

11、 2 ,),(, 0SUx ，则则取取SUx);(, 1111 ，则则取取SUxx);(|,| , 2/1min2212 ，显显然然12 xx ，则则取取SUxxnnnnn);(|,| ,/1min1 互异，互异，与与且且121 nnxxxx ()1x1 2x)(2 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析15无限地重复以上步骤，得到无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列中各项互异的数列 ,nx，且且满满足足：nxnn1| .lim nnx从从而而定理定理7.2 （魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass)聚点定理）聚点定理） 实轴上的任意有界无限点集至少有一个聚点。

12、实轴上的任意有界无限点集至少有一个聚点。证证 因为因为S是有界点集，是有界点集， ，使使, 0MMSM ，记记,11MMba 现将现将 等分为两个子区间。等分为两个子区间。 ,11ba因为因为S是无限点集，故两个子区间中至少有一个含是无限点集，故两个子区间中至少有一个含有有S中无穷多个点，中无穷多个点， ，记记这这个个区区间间为为, 22ba证毕。证毕。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析16，且且Mabab )(211122再将再将 等分为两个子区间，等分为两个子区间， ,22ba则其中至少有一个子区间含有则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点中无穷多个点 ,，记记这这个个

13、区区间间为为, 33ba, 3322baba 则则, 2211baba 则则，且且2)(212233Mabab 将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列 满满足足：,nnba,11 nnnnbaba, 2 , 1 n)( 021 nMabnnn北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析17是是闭闭区区间间套套，即即,nnba且其中每一个闭区间都含且其中每一个闭区间都含S中无穷多个点。中无穷多个点。由区间套定理，存在唯一的点由区间套定理，存在唯一的点 , 2 , 1, nbann 由推论得：由推论得：有有，, 00NnN );

14、(, Ubann 从而从而 内含有内含有 S中无穷多个点，中无穷多个点， );( U按定义按定义2，为，为S的一个聚点。的一个聚点。 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析18 在什么情况下应用闭区间套定理呢在什么情况下应用闭区间套定理呢?一般来说一般来说,证明证明问题需要找到具有某种性质问题需要找到具有某种性质P的一个数的一个数,常常应用闭常常应用闭区间套定理将这个数区间套定理将这个数“套套”出来出来. 怎样应用闭区间套怎样应用闭区间套定理呢定理呢? 首先构造一个具有性质首先构造一个具有性质P的闭区间的闭区间.性质要根据性性质要根据性质质P来定来定. 其次其次, 通常采用二等分

15、法通常采用二等分法.将此闭区间将此闭区间二等分二等分.至少至少有一个闭区间具有性质有一个闭区间具有性质P. 继续二等分法继续二等分法.得到满足闭区间套定理条件的和具得到满足闭区间套定理条件的和具有性质有性质P的闭区间列的闭区间列.根据闭区间套定理根据闭区间套定理.就得到唯一就得到唯一一个具有性质一个具有性质P的数的数.北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析19推论（致密性定理）推论（致密性定理） 有界数列必含有收敛子列。有界数列必含有收敛子列。证证设设xn为有界数列为有界数列 ,若若xn中有无限多个相等的项，中有无限多个相等的项， 则由这些项组成的子列是一个常数列，则由这些项组成

16、的子列是一个常数列， 而常数列总是收敛的。而常数列总是收敛的。 若若xn中不含无限多个相等的项，中不含无限多个相等的项， 故由聚点定理，点集故由聚点定理，点集xn至少有一个聚点，至少有一个聚点， ，记记为为 则则xn在数轴上对应的点集必为有界无限点集在数轴上对应的点集必为有界无限点集， 于是按定义于是按定义 ，存在，存在xn的一个收敛子列（以的一个收敛子列（以 为其极限）为其极限）.2 补充：补充：. knnxx列列是无界数列，则存在子是无界数列，则存在子若若北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析20注：注： 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。聚点定理和致密性定理在有理数

17、域不一定成立。,)11( ,)11(nnnnxnS 如：如： S是有界的无限有理点集，在实数域内是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚点为的唯一聚点为e,数列数列xn是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数e.从而任一子列均收敛于从而任一子列均收敛于e。故故xn在有理数域内没有收敛的子列。在有理数域内没有收敛的子列。因而在有理数域没有聚点。因而在有理数域没有聚点。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析21作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性。收敛准则中的充分性。., 0

18、 mnnaaNnmNa有有收收敛敛证证 充分性充分性., 0 mnaaNnmN有有设设先证明先证明an是有界的。是有界的。 ，取取1 ，时时及及当当1| ,1,1 NnaaNnNmN| 11 NNnnaaaa|11 NNnaaa1|1 Na,1| |,| ,|,| |,max|121 NNaaaaM令令。有有则则Mann |,即即an是有界的。是有界的。 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析22由致密性定理，有界数列由致密性定理，有界数列an必有收敛子列必有收敛子列 ,kna，设设Aaknk lim有有, 0KknmK 条件）条件）由由Cauchyaamn( 2| 2| Aak

19、n）由由Aaknk lim(时，有时，有故当取故当取)(Kknmk |Aan |Aaaakknnn 22。即即Aann lim北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析23定义定义3 设设S为数轴上的点集，为数轴上的点集，H为开区间的集合（即为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如的每一个元素都是形如(a,b)的开区间）。的开区间）。 若若S中任何一点都含在中任何一点都含在H中至少一个开区间内，中至少一个开区间内， 则称则称H为为S的一个开覆盖，或称的一个开覆盖，或称H覆盖覆盖S. 若若H中开区间的个数是无限的（有限）的，则中开区间的个数是无限的（有限）的，则 称称H为为S的一个无限

20、开覆盖（有限开覆盖）。的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。2 有限覆盖定理有限覆盖定理北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析24如：函数如：函数f 在在 (a, b) 内连续，内连续， 使使, 0),(, 0 xbax ，当当),(xxUx ，有有 | )()(|xfxf这样就得到一个开区间集这样就得到一个开区间集:),(| ),(baxxxHxx 它是区间它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。的一个无限开覆盖。,21 ,143 2132 0），（，（），），），（），（，又如：（又如：（ nnnn是区间是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。的一个无限开覆盖。北方工业大学数学系北方工业

21、大学数学系数学分析数学分析25例：设例：设.3,2,111110 nnnSI），（），（则开区间集则开区间集S没有覆盖区间没有覆盖区间I，),1 ,0(1 n不存在不存在,S .1 n使使北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析26例例：设设.3,2,111110 nnSI），（），（则开区间集则开区间集S覆盖区间覆盖区间I，),1 ,0( x只要自然数只要自然数m充分大，有充分大，有xm 11)1 ,11( mx即即北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析27定理定理7.3 (海涅海涅博雷尔博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理有限覆盖定理) 闭区间闭区间a,

22、b的任一开覆盖的任一开覆盖H，必可从，必可从H中选中选出有限个开区间覆盖出有限个开区间覆盖a, b。证证 用反证法用反证法 设不能从设不能从H中选出有限个开区间覆盖中选出有限个开区间覆盖a, b。 将将a, b等分为两个子区间，等分为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖中有限个开区间来覆盖 ,记这个子区间为记这个子区间为 ,11ba, 11baba 则则，且且)(21 11abab 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析28再将再将a1, b1等分为两个子区间等分为两个子区间 ,其中至少有一个区间不能用其中至少有一个区间不能

23、用H中有限个开区间来覆盖。中有限个开区间来覆盖。 记这个子区间为记这个子区间为 a2, b2, 1122baba 则则，且且)(21222abab 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析29重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 满满足足：,nnba, 2 , 1,11 nbabannnn)( 0)(21 nababnnn是是一一个个闭闭区区间间套套，即即,nnba且其中每一个闭区间都不能用且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。中有限个开区间来覆盖。 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析30由区

24、间套定理，存在唯一的一点由区间套定理，存在唯一的一点 , 2 , 1 , nbann 由于由于H是闭区间是闭区间a, b的一个开覆盖，的一个开覆盖，使使故故),(),( H由定理由定理7.1推论，当推论，当n充分大时有充分大时有).,(, nnba这表明这表明an, bn只须用只须用H中的一个开区间中的一个开区间 就能覆盖就能覆盖 ,),( 这与挑选这与挑选an, bn时的假设时的假设“不能用不能用H中有限个开区间中有限个开区间来覆盖来覆盖”相矛盾。相矛盾。 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析31有限覆盖定理对开区间不一定成立有限覆盖定理对开区间不一定成立 。注注, 2 ,

25、1)1 ,11( nn，如如开开区区间间集集合合构成了开区间（构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖）的一个开覆盖 ，但不能从中选出有限个开区间盖住（但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。）。因为右端点始终为因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，左端点有限个中必有一个最小者，,11 N设为设为。）这部分将不能被盖住）这部分将不能被盖住，则（则（110 N北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析32一般来说，如果我们已知在闭区间一般来说，如果我们已知在闭区间a,b每一点的每一点的某个邻域内都具有性质某个邻域内都具有性质P,每一点的邻域（开区每一点的邻域（开区间）集覆盖

26、间）集覆盖a,b,为了将性质为了将性质P扩充到整个闭区扩充到整个闭区间间a,b, 这时用有限覆盖定理能将覆盖这时用有限覆盖定理能将覆盖a,b的的无限多个邻域转化为有限个邻域。无限多个邻域转化为有限个邻域。 总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理。整个闭区间，常常要用有限覆盖定理。,北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析33*三三 实数完备性基本定理的等价性实数完备性基本定理的等价性我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即：我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即：1. 确界原理（定理确界原理（定

27、理1.1）；）； 2. 单调有界定理（定理单调有界定理（定理2.9）； 3. 区间套定理（定理区间套定理（定理7.1）；）；4. 有限覆盖定理（定理有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理聚点定理（定理7.2）6. 柯西收敛准则（定理柯西收敛准则（定理2.10）；）； 在实数系中这六个命题是相互等价的在实数系中这六个命题是相互等价的 。在有理数系中这六个命题不一定成立在有理数系中这六个命题不一定成立 。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析34作业作业第七章习题一第七章习题一北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析35 2 闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连

28、续函数性质的证明 有界性定理有界性定理 若若f在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续上连续, ,则则f 一定在一定在 a, b 上有界上有界. .证证 （应用致密性定理）（应用致密性定理）若若f在在a,b上无上界，上无上界， ,)(,nxfbaxnnn 使使依次取依次取n=1，2，则得到数列，则得到数列 ，知知由由,baxkn ,baxn 由致密性定理，它含有收敛子列由致密性定理，它含有收敛子列 ,knx.lim knkx记记.,ba 利用利用f 的连续的连续 性，有性，有).()(lim fxfknk 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析36另一方面，另一方面， 的的选选取取方

29、方法法，有有由由nxknnxfk )( k )(limknkxf矛盾！矛盾！ 所以所以f在在a,b上有上界。上有上界。 类似地可证类似地可证f在在a,b上有下界，上有下界， 从而从而 f 在在a,b 上有界。上有界。.(是是收收敛敛的的数数列列）即即knxf北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析37最大值和最小值定理最大值和最小值定理 f在闭区间在闭区间 a,b,b 上连续上连续, ,则则f在在 a,b,b 一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .证证 应用确界原理应用确界原理 由于由于f在在a, b上连续，所以上连续，所以f在在a, b有界有界. 由确界原理，由确界原理，

30、f 的值域的值域S= f(a, b) 有上、下确界，有上、下确界，,supMS 记记.)(,Mfba 使使下面证明：下面证明：,)(,Mxfbax 若若反证法反证法, ,)(1)(baxxfMxg 令令则则g(x)在在a,b连续，连续， 从而从而g(x)在在a,b有界，有界，北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析38设设G是是g(x)在在a,b的一个上界，的一个上界，,)(1)(0 GxfMxg 则则,1)(MGMxf 从而从而即即M不是不是f(x)的最小上界，的最小上界，矛盾！矛盾！.)(,Mfba 使使M显然是显然是f(x)的最大值。的最大值。同理可证下确界可达到，即最小值可

31、达到。同理可证下确界可达到，即最小值可达到。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析39 介值性定理介值性定理 设函数设函数在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且(a)(b)。若若c为介于为介于(a)与与(b)之间的任何实数（之间的任何实数（(a)cc(b)），则至少存在一点），则至少存在一点x0(a,b)，使得，使得(x0)=c.证证 应用确界原理应用确界原理 ),()(bfcaf 不妨设不妨设,)()(cxfxg 令令, 0)(, 0)(,)( bgagbaxg连续，连续，在在则则. 0)(),(00 xgbax使使只要证明只要证明, 0)(|baxxgxE 记记,Ebba

32、E 显然显然即即E是非空有界数集。是非空有界数集。 由确界原理，由确界原理，E有确界。有确界。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析40,inf0Ex 记记, 0)(, 0)( bgag, 0)(), 0 xgaa内，内，使得在使得在 , 0)(,( xgbb内，内，在在 ,00bxax 由此，由此，).,(0bax 即即. 0)(0 xg下面证明下面证明，若若0)(0 xg，不妨设不妨设0)(0 xg由局部保号性，由局部保号性，, 0)(),(),(0 xgbaxU使在其内，使在其内， , 0)2(0 xg特别，特别，,20Ex 的下确界矛盾！的下确界矛盾！是是这与这与Ex0.

33、 0)(0 xg证毕！证毕！北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析41定理（一致连续性定理）定理（一致连续性定理）若若f在在a,b连续，则连续，则f在在a,b一致连续。一致连续。证证 用有限覆盖定理用有限覆盖定理由于由于f在在a,b上连续，上连续， , 0 ,bax , 0 x 时时，使使得得);(xxUx .2| )()(| xfxf有有考虑开区间集合：考虑开区间集合： ,| )2,(baxxUHx 显然显然H是是a,b的一个开覆盖，的一个开覆盖， 由有限覆盖定理，由有限覆盖定理， .)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就有就有只要只要北方工业大学数学系北方工业大学数学

34、系数学分析数学分析42存在存在H的一个有限子集：的一个有限子集： , 2 , 1| )2,(kixUHii 覆盖了覆盖了a，b 。，记记02min1 iki ,|, xxbaxx中的某个开区间，中的某个开区间，必属于必属于*Hx ，设设)2;(iixUx ，即即2|iixx 此时有此时有 |iixxxxxx 2i ,22iii ，从而从而2| )()(| ixfxf，2| )()(| ixfxf.| )()(| )()(| )()(| iixfxfxfxfxfxf所以所以f在在a，b上一致连续。上一致连续。 北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析43补充定理：补充定理：P172.

35、5在（在（a，b）上的连续函数）上的连续函数 f 为一致连续的充要条件是为一致连续的充要条件是f（a+0）与）与f（b-0）都存在。）都存在。证明：证明：:,)(lim)0(Axfafax 设设,)(lim)0(Bxfbfbx bxBbxaxfaxAxf , ),( ,)( 构造构造连续，连续，在在则则,)( baxf从而一致连续，从而一致连续，一致连续，一致连续，在在因此因此),()( baxf一致连续。一致连续。在在即即),()(baxf北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析44:.)()(,),(, 0)(, 0 xfxfxxbaxx就有就有只要只要,lim,),(axxb

36、annn 使使上任取数列上任取数列在在,|, mnxxNnmN有有，则对上述则对上述,| )()(| mnxfxf从而从而条件，条件，满足满足即即Cauchyxfn)(从而必收敛。从而必收敛。有归结原则，有归结原则，存在。存在。设设)(lim)0(xfafax 存在。存在。同理可证同理可证)(lim)0(xfbfbx 证毕。证毕。北方工业大学数学系北方工业大学数学系数学分析数学分析45注意：注意：此定理不适合无限开区间的情况。此定理不适合无限开区间的情况。）一致连续，）一致连续，在（在（如：如： xf(x)sin 均不存在。均不存在。及及但但xxxxsinlimsinlim存在，存在，连续，连续，在