圆锥曲线常考题型归纳总结

1、，四边,x2 ， 则x1,2b b2 4ac2a圆锥曲线常考题型归纳总结第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题；题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题；题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题；题型八：角度问题 题型九：四点共线问题；题型十：范围为题(本质是函数问题) 题型十一：存在性问题(存在点，存在直线 y kx m ，存在实数，三角形(等边、等腰、直角) 形(矩形，菱形、正方形) ，圆)热点问题 1. 定义与轨迹方程问题； 2. 交点与中点弦问题； 3. 弦长及

2、面积问题； 4. 对称问题5. 范围问题； 6. 存在性问题； 7. 最值问题； 8. 定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备一 与一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 相关的知识(三个“二次”问题)21. 判别式：b2 4ac2. 韦达定理：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)有两个不等的实数根 x1,x2 ，则 x1 x cx1 x2a23. 求 根 公 式 ： 若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 不 等 的 实 数 根 x1二与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2. 与直线相关的重要内容

3、：倾斜角与斜率： y tan ， 0, ) ；点到直线的距离公式： d Ax0 By0 C (一般式)或 d kx0 y0 b (斜截式) A2 B 212 k23. 弦长公式：直线 y kx b上两点 A(x1,y1),B(x2, y2 )间的距离：AB 1 k2 x1 x2(1 k 2 )( x1 x2)2 4x1x2(或 AB 1 12 y1 y2 )4. 两直线 l1: y1 k1x1 b1,l2: y2 k2x2 b2的位置关系：l1l2k1k21l1/ /l2k1k2且b1b25. 中 点 坐 标 公 式 ： 已 知 两 点 A( x1, y1 ), B( x2, y2) ， 若

4、点 M x,y 线 段 AB 的 中 点 ， 则x1 x1y1 y2x 1 1 ,y 1 222三圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 圆锥曲线的标准方程：x1,y1.2.椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a, b, c三者的关系， p 的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：22通径：椭圆 2b ，双曲线 2b ，抛物线 2paa焦点三角形的面积：p 在椭圆上

5、时 SVF PF b2 tan 2p 在双曲线上时 SVF1PF2b2/tan2四常结合其他知识进行综合考查 1 2345圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆 例 1.（本小题共 14 分）2 x 已知双曲线 C : 2 a22y2 1（a 0,b 0） 的离心率为 3 ，右准线方程为 b2）求双

6、曲线 C 的方程；）设直线 l 是圆 O: x2 y2 2 上动点 P（x0,y0）（x0y0 0） 处的切线，l 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B ，证明 AOB的大小为定值【解法 1】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力a23）由题意，得 c 3c3a，解得 a1,c 3 ， b222 ca22 ，所求双曲线 C 的方程为 x2 y1.2）点 P x0,y0 x0 y00 在圆 x2y2 2 上，圆在点 P x0,y0 处的切线方程为 yy0x0x x0 ，y0化简得 x0x y0y 2.2x2 y2

7、 1x 1 2 2 由 2及 x0 y02得2 2 23x0 4 x 4x0x 8 2x0 0 ，x0x y0 y 22切线 l 与双曲线 C交于不同的两点 A、B，且 0 x02 2 ，2 2 2 2 3x02 4 0 ，且 16x02 4 3x02 4 8 2x02 0 ，设 A、 B两点的坐标分别为 x1,y1 , x2,y2 ，x1 x2 3x02 4,x1x28 2x022，3x02 4 cos AOBuuuruuurOAOBy1y2 x1x2uuur uuur OA OB，且uuur uuurOA OB x1x212 y0x0x12 x0x2 ，x1x2142x0x1x22x0x1

8、x28 2x023x02 412 x028x023x02 422x02 8 2x028 2x023x02 48 2x023x020.解法 2】（）同解法1.x0,y0x0y00在 圆 x2（）点Pyy0x0x y0x0化简得x0xy0y 23x024x2 4x0x8 2x023x0242 y8y0x82x02 0AOB 的大小为 90 .y2 2 上 ， 圆 在 点 Px0,y0处的切线方程为2. 由 xy2 12及 x022y02得x0xy0y20切线2l 与双曲线 C交于不同的两点 A、B，且 0 x02 2 ，2 x02y0 3x02则 x1x24 0 ，设 A、B 两点的坐标分别为 x

9、1,y1 , x2,y2 ，8 2x0238x022x40 , y1y22x02 8 ，2，3x02 4uuur uuur OA OB x1x2 y1y20 ， AOB的大小为 90 .2 且 x0 y0 0 ， 02x02,022y02 2 ，从而当 3x02 4 0 时，方程和方程的判别式均大于零）练习 1：已知点x2A是椭圆 C :9的左顶点，直线 l : x my 1（m R）与椭圆 C 相交于 E,F两点，与x 轴相交于点 B. 且当 m0时， AEF 的面积为 16 .3则 x1 x22）求椭圆 C 的方程；）设直线 AE ， AF 与直线 x3 分别交于 M ，N 两点，试判断以

10、 MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由 .2）圆锥曲线与图形形状问题2 W： x y21 上的三个点，4B是 W的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由 x22解： （1） 椭圆 W： y2 1 的右顶点 B的坐标为 （2,0） 4因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分例 2.1 已知（1）当点（2）当点A，B，C 是椭圆O 是坐标原点求此菱形的面积；323.所以可设 A（1 ，m） ，代入椭圆方程得 1 m2 1，即 m4111所以菱形 OABC的面积是| OB| ·|AC| 

11、5;2×2| m| 2（2） 假设四边形 OABC为菱形因为点 B不是 W的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为 ykxm（k0，m0） x2 4y2 4, 2 2 2由消 y 并整理得 （1 4k2）x28kmx 4m240.y kx m设 A（ x1，y1） ，C（x2，y2） ，y1 2y2 k x1 2x2 m4km ，m.1 4k22，1 4k2所以 AC的中点为 M4km221 4k2 1 4k2因为 M为 AC和 OB的交点，所以直线 OB的斜率为14k因为 k·14k 1，所以 AC与 OB不垂直所以 OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点 B

12、不是 W的顶点时，四边形 OABC不可能是菱形练习 1：已知椭圆 C ：x22y2 1（a b 0）过点（ 2 ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点 b2的三角形是等腰直角三角形（ ）求椭圆的标准方程；（）设M（x,y）是椭圆 C上的动点， P（ p,0） 是X轴上的定点，求 MP的最小值及取最小值时点 M的 坐标 .（3）圆锥曲线与直线问题22例 3.1 已知椭圆 C: x2 2y2 4 ，（ 1）求椭圆 C 的离心率 .（2）设O为原点，若点 A在椭圆 C上，点B在直线 y 2上，且OA OB，求直线 AB与圆x2 y2 2的位置关系，并证明你的结论22 解析：椭圆的标准方程为：

13、 x y421，直线b 2 则c 2 ，离心率 ec2 a222AB与圆 x y 2相切. 证明如下：法一：设点 AB 的坐标分别为uuur因为 OA OB ，所以 OAx0 y0 t 2 ，其中 uuurOB 0，即 tx0 2y0x00，解得 t2y0x0y0 2 xt2当 x0t 时， y0 t ，代入椭圆 C 的方程，得2故直线 AB的方程为 x 2 .圆心 O到直线 AB的距离 d 2 .2此时直线 AB 与圆 xy 2 相切 .当 x0 t 时，直线 AB 的方程为 y 2x0 tt，即 y0 2 x x0 t y 2x0 ty0 0.圆心 O 到直线 AB 的距离2x0 ty02

14、y0 2 22x0 t此时直线 AB 与圆x2 y2 2 相切。22x0 2y04，t2y0x0，故2x02y0 2 222 k 1 2k21 k 1 2k2综上知，直线 AB一定与圆 x2 y2 2相切 .4 x02x0x0d2又y02 4xy202x04x04 8x02 1642x02此时直线AB与圆 x2 y2 2相切 .法二：2，由题意知，直线 OA的斜率存在，设为 k ，则直线 OA的方程为 y kx ， OA OB，2相切；当 k 0 时， A 2 0 ，易知 B 0 2 ，此时直线 AB 的方程为 x 原点到直线 AB的距离为 2 ，此时直线 AB与圆 x2当k 0时，直线 OB

15、 的方程为 y* 1x，k联立kx2y22得点 A 的坐标 1 2k242k1 2k221 2k22k1 2k2 ；联立2k 21xk 得点 B 的坐标2由点 A 的坐标的对称性知，无妨取点 A21 2k22k12k2 进行计算，于是直线 AB 的方程为：2k2k 21 2k2y 2 2 x2 2 2k1 2k2即 k 1 2k 2 x 1k 1 2k2 y 2k2 2 0 ，2k2 2原点到直线 AB 的距离2，、2，法三： 当 k 0 时， A 2 0 ，易知 B 0 2 ，此时 OA 2 OBAB 22 22 2 2 ，原点到直线AB的距离OA OBAB2222此时直线 AB与圆 x2

16、y2 2 相切；当0时，直线 OB 的方程为1x，k设Ax1y1 Bx2 y2，则 OA1 k2 x1 ，OB2 1 k2 ，联立kx2y2得点 A 的坐标42k1 2k2 1 2k222k22k1 2k2 ；于是 OA1 k2 xA 2 1 k22OB 2 1 k2 ,1 2kAB24 1 k 221 2k 22 2 24 1 k21 k 2 ，1 2k 2所以 d OAABOB2 1 k2 2 1 k21 2k21 2k 2 2, 直线 AB 与圆2 2 1 k 21 2k 2x2y2 2 相切；综上知，直线 AB 一定与圆 x2 y2 2 相切2 x 练习 1：已知椭圆 C: 2 a22

17、 y b21（a b 0）过点 （0,1） ，且长轴长是焦距的2 倍. 过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆 C 于 A，B两点， O为坐标原点 .（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 AB垂直于 x轴，判断点 O 与以线段 AB为直径的圆的位置关系，并说明理由； （）若点 O在以线段 AB为直径的圆内，求直线 AB的斜率 k 的取值范围 .且椭圆 C 上的点到两个焦点的距离4）圆锥曲线定值与证明问题例 4.1 已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为 之和为 4 ）求椭圆 C 的方程；）设 A为椭圆 C的左顶点，过点 A的直线 l 与椭圆交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，

18、过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P证明： |AM | |AN| 2|OP|2解：（）设椭圆 C 的标准方程为22x2 y222ab1(a b 0) ，由题意知 c a 2ab2324,2c,解得 a2 ， b 1所以椭圆 C 的标准方程为15分）设直线 AM 的方程为： y k（x2)，则 N (0,2 k) 由 xy2 k4(yx2x 4y2)，得 (1+4k2 ) x24,16k2x 16k2 4 0 (*)设 A( 2,0) ，M（x1 , y1） ，则 2， x1 是方程（ * ）的两个根，所以 x112 8k24k2所以 M（22|AM |8k2 , 4k ) 2 2 1 4k

19、2 1 4k24 1 k21 4k2|AN| 4 4k2 2 1 k2 |AM |AN | 4 1 k2 221 k21 4k228(1 k2)4k2设直线 OP 的方程为： ykx y kx， 由 2 2 得 (1x2 4y2 4,4k2)x20设 P(x0,y0)，则 x0241 4k22y024k21 4k24 4k2所以 |OP|2 21 4k2， 2|OP|28k21 4k2所以 |AM | |AN| 2|OP|2X2例 4.2: 已知椭圆 C： 2 a22y2 1 ( a>b>0)b2的离心率为 3 ，A（a,0 ）,B（0,b） ，O（0，0），OAB的面2积为 1.

20、(I )求椭圆 C的方程；(I I) 设 P的椭圆 C上一点，直线 PA与Y轴交于点 M，直线 PB与x 轴交于点 N。 求证： AN ?BM 为定值。2 x 练习 1：已知椭圆 C: x2 a22yb21(a b 0) 的离心率为63椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .3( ) 求椭圆 C 的方程 ;求斜1 ()已知动直线 y k(x 1)与椭圆 C相交于 A、 B两点. 若线段 AB 中点的横坐标为 ,27 uuur uuur率k的值; 若点 M( ,0) ,求证: MA MB 为定值.3练习 2：已知抛物线 C : y2 2 px(p> 0)，其焦点为 F， O为坐

21、标原点，直线 AB (不垂直于 x轴) 过点 F 且抛物线 C交于 A，B两点，直线 OA与OB的斜率之积为 p ( 1)求抛物线 C 的方程；|OM |2)若M 为线段AB 的中点，射线 OM 交抛物线 C 于点 D ，求证： |OD| >21 练习 3：动点 P(x,y)到定点 F (1,0) 的距离与它到定直线 l:x 4的距离之比为 1 .2 ( ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；() 已知定点 A( 2,0) ， B(2,0) ，动点Q(4,t)在直线 l上，作直线 AQ与轨迹 C的另一个交点为M ,作直线 BQ 与轨迹 C的另一个交点为 N ，证明： M ,N,F 三点共线

22、 .(5)圆锥曲线最值问题22例 5： 已知椭圆 C: x2 y2 1(aa2 b20) 的离心率为3 ，椭圆 C 与 y轴交于 A，B 两点，2|AB | 2.)求椭圆 C 的方程；)设点P是椭圆 C上的一个动点，且点P在y轴的右侧. 直线PA，PB与直线 x 4分别相交于 M，N两点. 若以MN为直径的圆与 x轴交于两点 E，F ，求点P横坐标的取值范围及 |EF |的最大值.解：()由题意可得， b 1，a2 13，4，1分2分3分2解 a2 4 ， 4 分2椭圆 C 的标准方程为y2 1. 5 分4)设 P(x0, y0)(0 x02)， A(0,1) ， B(0, 1)，6分所以 k

23、PA y0 1，直线 PA 的方程为 y y0 1x 1， x0x0同理：直线 PB的方程为 y y0 1x 1，x0直线 PA与直线 x 4的交点为 M (4, 4( y0 1) 1)， 7 分x0直线 PB与直线 x 4的交点为 N(4, 4(y0 1) 1) ， x0线段 MN 的中点 (4,4y0 ) ， 8 分x01所以圆的方程为 （x 4）2 （y4y0 2x02 4 2)2 (1)2 ，x09分令y0，则 (x 4)216y022x0(1x0 240 ) ，10 分因为2x0242y01，所以2y02x01，411 分所以(x4)285x00，因为这个圆与x 轴相交 , 该方程有

24、两个不同的实数解，12 分88 所以 5 8 0 ，解得 x0 (8,2.x05OQMONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由设交点坐标 (x1,0),( x2,0) ，则 |x1x2 |85x02）14 分的一个焦点为 F（2， 0），离心率为。过焦点 F 的直线 l所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.22练习1：已知椭圆 C： x2 y2 1 a bab椭圆 C交于 A，B两点，线段 AB中点为 D，O为坐标原点，过 O，D的直线交椭圆于 M，N 两点。 （ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）求四边形 AMBN 面积的最大值。练习 2：已知椭圆 C ： mx2 3my2 1（m 0） 的长轴长为 2 6 ， O为坐标原点 .（）求椭圆 C 的方程和离心率；（）设点 A（3,0） ，动点 B在y轴上，动点 P在椭圆 C上，且 P在y轴的右侧，若 |BA| | BP | ，求四 边形 OPAB 面积的最小值 .（6）圆锥曲线存在性问题x2 y22例 6. 已知椭圆 C ： 2 2 1a b 0 的离心率为 ，点 P 0,1 和点 A m,n m 0 都在椭圆 C 上， a2 b22直线 PA交 x轴于点 M（）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m n 表示）；（）设 O 为原点