人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题(含答案)

1、人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题(含答案)【例1】当x变化时，分式3x 6x 5 砧的最小值是1 2 .x x 12【例2】已知y 1，且2x + y =1，贝y 2x2 +16x +3y2的最小值为()A.19TB. 327D. 13【例3】f x -x213_ + 2 2在a _ x _ b的范围内最小值2a,最大值2b，求实数对(a, b).【例4】(1)已知 Wx的最大值为a，最小值b,求b2的值.(2) 求使Jx2 +4 *(8 _x 2 +16取得最小值的实数x的值.【例 引如图，城市A处位于一条铁路线上, 如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从(3) 求使 9x2

2、49x 12xy 4y2 j4y2 -16y 20 取得最小值时 x, y 的值.而附近的一小镇 B需从A市购进大量生活、生产用品,B修筑一条公路到铁路边，使从 A到B的运费最低？【例6 （1 ）设xr , xr申，xk （ k a r ），为k-r + 1个互不相同的正整数，且xr + +! + +Xk= 2019，求k的最大可能值.234（2）a，b，c为正整数，且a b = c，求c的最小值.（能力训练A级1 .已知三个非负数 a, b, c,满足3a+ 2b + c= 5和2a+ b 3c= 1，若 m= 3a + b 7c,贝U m的最 小值为，最大值为 .2 .多项式p= 2x2

3、4xy+ 5y2 12y+ 13的最小值为 .3. 已知x, y, z为实数，且x+ 2y z= 6, x y+ 2z= 3，那么x2 + y2 + z2的最小值为 .4. 若实数a, b, c,满足a2 + b2 + c2= 9,则代数式(a b)2 + (b c)2+ (c a)2的最大值为()5 .已知两点A(3, 2)与B(1 , 1)，点P在y轴上且使PA + PB最短，则P的坐标是()1 111A.(0 ,)B.(0, 0)C.(0,)D.(0, -匚)2 646 .正实数x , y满足xy =1，那么 A 丄的最小值为（x 4yA.B.C. 17 .某公司试销一种成本单价为500

4、元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数 y二kx b的关系（如图所示）.（1） 根据图象，求一次函数y = kx b的解析式；（2） 设公司获得的毛利润（毛利润 =销售总价-成本总价）为S元. 试用销售单价x表示毛利润； 试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多 少？Ar2&方程x 2m -1 x m -6=0有一根不大于-1，另一根不小于1,(1) 求m的取值范围；(2) 求方程两根平方和的最大值与最小值.2 2 2 29 .已知实数a, b满

5、足a ab b =1,求a - ab b的最大值与最小值.10.已知a, b, c是正整数，且二次函数 y = ax2 bx c的图象与x轴有两个不同的交点 A, B,若 点A, B到原点的距离都小于 1,求a+ b+ c的最小值.11某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天,则有结论：第x天应付的养护与维修费为A500元.(1)如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天,（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问: 该设备投入使用多少

6、天应当报废？B级1. a, b是正数，并且抛物线y =x6.如果抛物线y =x - k -1 X -k -1与x轴的交点为 A, B，顶点为C,那么 ABC的面积的最 小值为（）A.1B.2C.3D.47 .某商店将进货价每个 10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出 60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高 1元，则日销售量就减少 5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低 1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？ ax - 2b和 汁X 2bx a都与x轴有公共点，则a2 b2的 最小值是

7、.2. 设x, y, z都是实数，且满足 x+ y+ z= 1, xyz= 2，贝U x + y+|z的最小值为 .3. 如图，B船在A船的西偏北45处，两船相距10. 2 km,若A船向西航行，B船同时向南航行,km.且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离为4. 若a, b, c, d是乘积为1的四个正数，则代数式a2+ b2+ c2 + d2+ ab + bc+ ac+ ad + bd + cd的最小值为（）A. 0B. 4C.8D.105.已知x, y,z为三个非负实数，且满足3x + 2y+ z= 5,x+ y- z= 2.右 s= 2x+ y- z,贝U s 的最大值

8、与最小值的和为（)232735A. 5B.C.D.444p （万元）和 q （万元），它们&有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是13 与投入资金x（万元）的关系有经验公式：p x,q =.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,55为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9.已知为x, y, z为实数，且x y z=5, xy yz zx = 3，试求z的最大值与最小值.b c10.已知三个整数 a, b, c之和为13,且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的 b与a bc值.11 .设xi , X2,，Xn是整数，并且满足: 一K X0

9、 2, i = 1, 2,，n X1 + X2+ xn= 19 x12+ x22+ xn2= 99求X13+ X23 + Xn3的最大值和最小值.12.已知X1, X2,，X40都是正整数，且X1 + X2+ X40= 58,若X12+ X22 +曲2的最大值为 A, 最小值为B，求A + B的值.参考答案例1 4 提示：原式=6-2(x1)2 -11例2. B提示：由-1今W1有0$W1,则z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是开口向上，对称轴为 x =-的抛物线例3.分三种情况讨论： 0ab，贝U f(x)在a纟弐上单调递减， f(a)=2b, f(b)=2a,2ba22a2b2

10、13+2解得丿13+ 2abWQ 则 f(x)在 aX4)上单调递增，f(a)=2a, f(b)=2b.a213“ r 2b22此时满足条件的(a, b)不存在.2a0b,此时f(x)在x=0处取得最大值，即 2b=f(0)=13 ,b= 13 ,而f(x)在x=a或x=b处取最小值2 42a. / a0 ,则 2aan,. S - an _3am，即 S _ an3am，故 S最小=an 3am .k( k +1)例 6 (1)设 X1i, x22 xk沫，于是 1+2+ +k什x2+xk = 2019,即 L 20192k(k+1) w 400, / 62 X63=390640064032

11、=63 64,A k 62.当 X1=1 , x2=2,X61=61 , X62=112 时，原等式 成立，故k的最大可能值为62.(2)若取丿:*一，则c2 = Wb+D由小到大考虑b,使b(b +1)为完全平方数.当b=8时，c2=36, g2+a = b222则c=6，从而a=28.下表说明c没有比6更小的正整数解.显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.cc43# 34、X (x c)C4- x32161, 817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,2

12、7,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,11351一2一A 级 1.2. 13. 14 提示：y=5 x,z=4 X，原式=3(x 3) +14.4. A 提示:7112 _ 2X +1500X 500000(500 x 800);S (x 750) +62500,即销售单价定为 750时，公司可获最大毛利润62500 元，此时销量为 250 件. 8.( 1) 4 m 0, / kw 3,从而 a+b=斗3 .故 a, b 是方程斗t+冷戈1 2 =0的两实根，由0，得 k_3 .10.设 A (X1,0), B (X2, 0)，其中

13、冷，X2是方程ax +bx+c=03bc的两根，则有 X什X2=0，得 X10 , X20，得 b2.、ac .t |0人|=凶|1,aac|OB|=|X2|1 , 1X10， 1X20，于是一 =X1X21 , c0, a+cb.又a, b, c是正整数，有a+cb+12 . ac +1，从而 a+c2 . ac +1，则(.a - .c)2 .1, a - c .1, .a .c 1 _2，于是 a4，即 a5,故 b2 . ac 2.5一1 =2、.5，即 b 5.因此，取 a=5 , b=5, c=1, y=5x2+5x+1 满足条件，故 a+b+c 的最小值为1111 .(1 ) 该

14、设备投入使用 x天，每天平均损耗为 y=1111X -111 x(x 1)-500000 ( 0 500) (- 1 500) ( 2 500)川(500)=500000500xx4444x42500000x7499.88 y=500空499 2 500000 X 499999?x 88x8 88当且仅当500000 _ xX_ 8即x=2000时，等号成立.故这台设备投入使用2000天后应当报废.B 级 1 . 20 提示：a2 8b0, 4b2 4a0，从而 a464b264a, a4, b24.2. 4 提示：构造方程.3.2提示：设经过t小时后，A,B船分别航行到 A1,B1,设AA1

15、 =x,则BB1=2x,B1A1=.|10 -x|2 |10 -2x|2 = .5(x -6)2 20 .4. D 提示：a2+b2 2ab, c2+d2 2cd,. a2+b2+c2+d22(ab+cd) 4 abcd =4. ab+cd 2，同理 bc+ad 2, ac+ bd 2.5. A 提示：x=s 2 0,y=5 -3 s 0,z=1 s 0,解得2w sw 3,故s的最大值与最小值的和为5.6. A 提示：|AB|=k2 2k 5 ,3k -1k2 2k 51 一2322C(，),Sabc =_J(k2 +2k +5)3，而 k +2k+5=(k+1) +4 4.7.设此商品每个

16、售价2 48 为x元，每日利润为 S元.当x 18时，有S=60 5 (x 18)(x 10)= 5(x 20)2+500，即当商品提价 为 20 元时，每日利润为 500 元；当 xw 18 时，S=60+10 (18 x)(x 10)= 10(x 17)2+490，即当商品 降价为17元时，每日利润最大，最大利润为 490元，综上，此商品售价应定为每个 20元. &设对 甲、乙两种商品的资金投入分别为 x, (3 x)万元，设获取利润为s,则sJ x J3 -x ,s x =3 x ,5555两边平方，经整理得 x2+(9 10s)x+25s2 27=0 ,：关于x的一元二次方程有实数解，

17、(9 10s)2 4 X(25s2 27) 0,解得=1.05，进而得x=0.75 (万元)，3 x=2.25(万元).即甲商品投入 0.75万180元，乙商品投入 2.25万元，获得利润1.05万元为最大.9. y=5 x z,代入xy+ yx+ zx=3，得x2+ (z 5)x+ (z2 5z+ 3)=0 . x 为实数, =(z 5)2 4& 5z+ 3) 0,解得1w zw 12,故 z 的最大值 3为12，最小值为1.310设 ba=x,贝U b=ax, c=ax2,于曰 a + b + c=13，化为 a(x2 + x + 1)=13 . v疋，213a工 0, x + x+ 1

18、=0a5_1 w aw 52，但匸为有理数,311.设 xi, X2,，Xn 中有 r 个一1, s.又b, c为整数，则方程的解必为有理数，即=兰30，得到a故11，则X1 +X2=(X1 1) + (X2 + 1)，且(X1 1)2+ (X2 + 1)2=X12 + X22 + 2(X2 X+ 2X1 2+ *孑.于是，当 X11 时，可以把 X1 逐步调整到1，此时，X12 +X22+X402的值将增大.同理可以把X2,X3,，X39逐步调整到1 ,此时X12 + X2?+ X402的值将增大.从而，当X1, X2,X39均为1 , X40=19时，x/+ X2?+ &。2取得最大值，即A=+ 192=400 .若存在两个数 Xi, Xj，使得