向量解题技巧

1、WORD格式一、怎么样求解向量的有关概念问题掌握并理解向量的基本概念 . 判断下列各命题是否正确(1) 若 ab,bc,则 ac；(2) 两向量 a、 b 相等的充要条件是ab 且 a、 b 共线；(3)ab是向量 ab 的必要不充分条件；(1) 若 A、 B、 C、 D 是不共线的四点，则 ABDC是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；(2)ABCD 的充要条件是A 与C 重合， B 与 D 重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重

2、要结论：a 与b不共线，则ab 与 ab 是以 a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若(,),(,)Ax1yBxy，则122ABOBOA(x2,y 2 )(x 1 ,y 1 )(x 2x1 ,y 2y1 ) 。例 1 若向量 a(3,2),b(0,1),则 2ba的坐标是 _例 2 若向量 a(1,1),b(1,1),c(1,2)则 c_13133131A.ab B.ab C.abD.ab22222222例 3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3), 若点COCOAOB，其中 ,R

3、且 1，则点 C 的轨迹为（）满足A.3x2 y 110B.(x2( y21)2)0C.2xy0D.x2 y 50例 4O是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ABACOPOA()，0,)，则 P 的轨迹一定过ABC的（）ABACA. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例 5 设 G是 ABC内的一点，试证明 :(1) 若 G是为 ABC重心，则 GAGBBC0；专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式(2) 若 GAGBBC0，则 G是为 ABC重心。三、三点共线问题的证法证明 A,B,C 三点共线，由共线定理(AB 与 AC共线 ) ，只需证

4、明存在实数，使ABAC，其中必须有公共点。共线的坐标表示的充要条件，若(,),(,)ax1ybxy ，则122a/babx 1y2x2y10(x1y2x2y1 )例 1 已知 A、 B 两点， P 为一动点，且 OPOAtAB，其中 t 为一变量。证明： 1.P 必在直线 AB上； 2.t 取何值时， P 为 A 点、 B 点？例 2 证明：始点在同一点的向量 a、 b 、3a2b 的终点在同一直线上例 3 对于非零向量 a 、 b , 求证： ababab四、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点

5、无关，只由模长和方向决定。例 1已知 M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y)且MN/PQ，求 y 的值。例 2已知点 A(1,2) ，若向量 AB 与 a(2,3)同向， AB213, 则 B 点的坐标是 _.例 3平面内给定三向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，则：(1)求 3ab2c;(2) 求满足 ambnc的实数 m、 n(3)若 (akb)/(2ba),求实数 k;(4)设 d(x,y) 满足 (dc)/(ab)且 dc1,求 d.例 4(1) 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)，求 AC与 DB的交点， P 的坐标。(2) 若平行四边形ABC

6、D的顶点 A(1,2),B(3,1),C(5,6),求顶点 D 的坐标。五、向量的数量积的求法定义法： ababcos求数量积：坐标法：abxxyy1212当 a/b时， 0 和 180 两种可能。故 abab专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式一些重要的结论：222222aaa(ab)(ab ) ab22a；(ab ) aabb；例 1 设 a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则（） (ab)c(ca)b0; abab;2 (bc)a(ac）b 不与 c 垂直 (3a2b)(3a2b)9a 24b其中是真命题的为（）例 2 已知平面上三点 A、B、C，满足 AB3,BC

7、4,CA5, 则 ABBCBCCACAAB的值等于 _ 。例 3 已知向量 a 和 b 的夹角为 120，且 a2,b5, 则 (2ab ) a_.六、如何求向量的长度形如 ab 的模长求法：先平方转化为含数量积运算开方，即：ab22222a2abb例 1 已知向量 a,b,ab4,a 与 b 的夹角为 60, 则 ab_,ab_, 其中ab 与 a_,ab 与 a 方向夹角为 _.方向的夹角为例 2 设向量 a,b 满足 ab1,3a2b3, 求 3ab 的值。七、如何求两向量的夹角abxxyy1212cos夹角公式： 2222abxyxy11221例 1 已知 )36,_.a10,b12,

8、 且 (3a)(b求 ab 的夹角5例 2 若e 与是夹角为60 的单位向量，且a2ee,b3 e2e, 求 ab 及 a 与 b 的夹角1e1。2212八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：aa00bbx1xyy212专业资料整理WORD格式例 1 若向量 a,b满足 abab, 则 a 与 b 所成的角。例 2 在 ABC中 AB(2,3),AC(1,k),且 ABC的一个内角为直角，求 k 的值。3专业资料整理WORD格式例 3 已知 ab,a2,b3. 且。 3a2b 与 ab 垂直，求例 4 已知 O(0,0),A(0,5),B(6,3),ADOB于点 D, 求 D 点的坐标。九、向

9、量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例 1 已知 a(4,3),b1,且 ab5, 则 b?例 2 求与向量 a(3,1) 和 b(1,3) 的夹角相等，且模长为的向量c 的坐标例 3 若平面向量 b 与向量 a(1,2) 的夹角是 180，且 b35, 则 b()A.(3,6)B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)例 4 已知向量 b 与向量 a(3,4) 垂直，且 b15, 则 b_.十、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，xxxxxx12121中点坐标公式：2yyyyyy1

10、21 221定比分点坐标公式：，xx1xx23重心坐标公式：y3yy1y233例 1 设点 P 分有向线段 PP所成的比为，则 P分 P2 P 所成的比为 _。12314例 2 已知两点 P(4,9),Q(2,3), 则 PQ与 y 轴的交点分有向线段 PQ所成的比为 _.十一、利用平移公式解题点 A(x,y) 按向量 a(h,k) 平移，得到点 (xh,yk) ，而函数 yf(x) 的图像按向量a(h,k)平移得到的函数的解析式为yf(xh)k，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例 1 已知两个点P(1,2),P'(2,14),向量 a(3,12),则：(1) 把 P 按向量 a

11、平移得 _.(2) 某点按 a , 得到 P' ，求这个点坐标。(3)P 按某向量平移得到P', 求这个向量坐标。例 2 将函数 log(21)4y 的图像，那么y3x 的图像按向量 a 平移后得到的是函数 log 3 (2x)a 的坐标是 _.专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式例 3 将函数 y2sin2x的图像按向量a 平移，得 )1 的图像，y2sin(2x则向量 a 的坐标3是（）A.(,1)B.(,1)C(,1)D( ,1)3636十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。abc； a2RsinA ，

12、 b2RsinB ， c2RsinC正弦定理： 2RsinAsinBsinC111。三角形面积公式：SABCabsinCbcsinAacsinB222222222余弦定理：2bccosA;cosAbcaabc2bc下面关系式需熟记：在ABC中sin(AB)sinCcos(AB)cosCABCABsin()sin C222)coscos(例 1 在 ABC中， sinA:sinB:sinC2: 3 : 4, 则 ABC?例 2 已知 ABC中的最大角A 是最小角 C 的二倍，且a、 b、 c 成等差数列，则a:b:c_例 3 已知 a、 b、 c 是 ABC中 A,B,C 的对边， a、 b、 c 成等差数列， B30， ABC的面积为3 ，那么 b_。26。例 4 在 RtABC中， Cabc, 求 A B 的值,22十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！例 1 在 ABC中，若 2cosBsinAsinC,则 ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角