不定积分分部积分法教案

1、第三节分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取u,v ,熟练掌握分部积分法的步骤。教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取u,v。教学学时：1学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算.导数公式不定积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。1引入用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。凑微法失效。x cosx第二类换元积分法解：不妨设 cosx t 贝U x arccost ,1原万程 t a

2、rccost ,出更为复杂.1 t所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u,v为两个具有连续导数的函数）已知：（u v）' u'v uv'对上式两边积分得：uv C u'vdx uv'dx移项得：uv'dx uv u'vdx观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。x cosxdx先要化的和要求积分的形式一样x（sin x）'dxxsin x x'sinxdx xsin x cosx

3、 C通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2公式设函数u u(x)和v v(x)都具有连续的导数，则有分部积分公式：uv'dx uv u'vdx (或 udv uv vdu)3例题讲解例1 .计算不定积分xexdx .解设 u x , v ex,贝U u 1, v ex (*),于是 xexdx xdex xex exdx xex ex C .注意：(1) (*)处没有加C,这是因为我们取了最简单的情况C 0。(2)若设 u ex, dv xdx ,贝Uxexdx-x2ex - x2exdx,22u,v非常关键,积分

4、x2exdx比积分 xexdx要复杂，没有达到预期目的.由此可见，选择般要考虑下列两点:(1) v要易求；(2)积分 u vdx要比积分 uv dx易计算.练习：求 xsin xdx例2 .计算不定积分in xdx分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数 乘积，能否用分部积分公式呢其实只需要将被积函数看作1 in x即可。1解：设 u in x , v 1 ,则 u 一，v x ,x于是in xdxin xdxxln x x dx xxin x x C注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。于是例3 .计算不定积分xarctanxdx。解 设

5、 u arctan x, v x ;贝U u1 x2，V,1 21xxarctanxdxxarctan x-2dx221x1 21x11x arctan x 2dx22 x 11 2 -1x arctanx 一2 212-(x1)arctanx1(1 -)dxx 11x C21 2,1 ,x arctanx (x arctanx) C22练习：求 arcsinxdx。例4.计算不定积分x2exdx .2xx解 设 u x , v e ,则 u 2x, v e ,2 x2 x 2 xx x e dx x de x e 2 xe dx2 xx xx e2xee dx2 xxx f"xx

6、e 2xe 2e C如果要两次分部积分，选取u,v要一致，否则会还原.例5.计算不定积分exsinxdx.解：ex sin xdxsin xdexx e sin xex cosxdxx e sin xxe cosxex sin xdx好像进入了死胡同，实则不然，令ex sin xdx I，则上式变为:xxe sinx e cosx2Iex sin x ex cosx C1I1(ex sin x ex cosx) C,(其中 C C1)22练习：求 ex cosxdx 。从这几个典型例题可以看到，一般情况下，u,v可按下列规律选择：(1)形如 xn sinkxdx, xn coskxdx, xn

7、ekxdx (其中n为正整数)的不定积分，令u xn ,余下的凑成v。(2)形如 xn ln xdx, xn arcsinxdx, xn arctanxdx时，令 v xn,余下的凑成 u。(3)形如 eaxsinbxdx, eax cosbxdx的不定积分，可以任意选择U与v ,但由于要使用两次分部积分公式，两次选择U与v应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。说明(1)用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取 U及v ,使uv更加便于积分.(2) 一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法.例6.求Inxnexdx的递推公式，其中n为正整数，并求出Ii12,l3。n xn xn 1 xn xn 1 xn x用牛：I n x e dx x e nx e dx x e n x e dx x e nl n 1因此可得Inxnexdx的递推公式为In xnex nIn 1，(n1,2,3,)其中I0exdx ex C ,那么有11 xex 10xex ex C1I2x2ex2I1x2ex2xex2ex C2I3x3ex3I2x3ex3x2ex6xex 6exC3例7 .计算不定积分e、*dx .一 x t解 e xdx e 2tdt 2 tedt