2020届全国各地高考试题分类汇编：07数列含答案

1、07数列】.(2。2。北京卷)在等差数列印中，q=T.记ZF4F(gLZ»,则数列彳().A有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】B【解析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列 中是否存在最大项和最小项.d-a5-th _-1 + 9_2【详解】由题意可知.等差数列的公差5-1 5-1,则其通项公式为：4 = 4+(*I)d=-9+(*1)x2="U注意至4<4<q<4<4<。<%=1<%<二旦隹Z<。可知Z<0(i之6,iwN)

2、¥=4>l(i*7,iwN)由可知数列I不存在最小项.由于 q =94 7% =-5,4 =-3, =-1a6 =1故数列4中的正项只有有限项; E工=515=M5故数列闯 中存在最大项,旦最大项为4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学 思想等知识，属于中等题.2 (2020北京卷)已知"是无穷数列.给出两个性质：对于4中任意两项/勺在4中都存在项，使外 -；° =或对于弧中任意项在4中都存在两项外q">n.使得"% .（I）若q=<"=Lz-）,判断数列，是否满

3、足性质，说明理由；（II）若判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；（W）若%是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：4为等比数列.【答案】（1）详见解析；a。详解解析；（W）证明详见解析.【解析】（I）根据定义验证，即可判断；（11）根据定义逐一验证,即可判断；%=一（III）解法一：首先，证明数列中的项数同号.然后证明4 ,最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列,之后证得.，弓，4,4成等比数列，同理即可证得数列为等比数列,从而命题得证.Qq;仁2二%【详解】（I）弓 2不具有性质；Q Vi, j w M,i >原=2加加

4、,方-六 N 立=02r 二4（II）勺勺具有性质；QV/ie JV*,n3,Bit = w-U = w-2,-= 2。3】=2*-1 = a".an ,具有性质；（III）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然“。（“任”假设数列中存在负项，设M=g”k<。第一种情况：若乂 =i,即.ovqv，=<0 = <0由可知：存在阿，满足% ，存在嗯，满足 %,且=且由乂=1可知. ,从而4=4,与数列的单调性矛盾，假设不成立.N >2J =< v n第二种情况：若°由知存在实数勿.满足 力 ,由小的定义可知:m<N另一方面

5、，4 %。由数列的单调性可知：m>N这与N的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明 4 :利用性质：取" = 3.此时% =(>7)由数列的单调性可知而4 /%故无<3,此时必有无二么/=1公,即1最后,用数学归纳法证明数列为等比数列: 假设数列4的前M无“3）项成等比数列,不妨设 =才。"$叫，其中4>0,夕 >，（口<。,°<夕<】的情况类似）衣 *a. 4g > 4t由可得：存在整数加,满足%,旦2%】（*）由 :存在s>r,满足：%=0, &g

6、t;at%°，由数列的单调性可知：fs无+1由r f V >可得:*)由（*）和（*）式可得："加产-叫/ 结合数列的单调性有：之无一1,注意到均为整数，故无=2$一1_1, 代入（*）式，从而总上可得，数列的通项公式为：4=qd".即数列%为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：4=4（无1）首先利用性质：取" = 3.此时%,由数列的单调性可知而 %,故无3,此时必有比=21=1,即 q即44'%成等比数列，不妨设勺=，9' =.（夕1）,= = 3然后利用性质：取=%/=2,则% qq ,即数列中必然存在一项的值为4才

7、下面我们来证明否则，由数列的单调性可知44,.在性质中，取” = 4,现” %从而无4,a二五与前面类似的可知则存在£'uLZ3。/）,满足/出al .4=，=时若上=4 = 2,则：,与假设矛盾；4=qq4 *若上=31 = 1,则：%,与假设矛盾；q = =qg =4若* = 2J = 1,则：4,与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数可见4 若不成立,从而勾二*,同理可得：q=qq4=q"/二从而数列%为等比数列.同理，当数列中的项数均 为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同 时出现正数和负数.从而题中的结论得证

8、,数列4为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法 与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识,意在考查学生的转化能力和推理能力.3. （2Q20 全国1卷）设包）是公比不为1的等比数列，为弓，巧的等差中项.（1）求的公比；（2）若q=i求数列叫）的前页和.S =1-。+3项-2）”【答案】-2 ; （2）9【解析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程.求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出包）的通项,根据也）的通项公式特征，用错位相减法，即 可求出结论.【详解】（1）设口的公比为4 %为的等差中项,v2q =4十4一2 =0 -：q

9、 =q = -2 .，f设值）的前力项和为耳，q=LqNF*4,=lxl+2x（）+3x（2）2+-+w（-2r1 i否,二 1 乂（）+2 xJ2）2 +3 乂（4 + <"IX。1 4 O o一得 珥=1+（-2）+（-2彳+-+（-2产-4-2）”_«2），= 1-（1 + 3*2）”_ 1-（1 + 3取-2），1-（-2）3n 9I【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求 和，考查计算求解能力，属于基础题.4. （2。20全国2卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板（称为天心石），

10、环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块,已知 每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A. 3699 块B. 3474 块C. 3402 块D. 3339 块【答案】C【解析】第门环天石心块数为可，笫一层共有环，则乜是以9为首项，9为公差的等 差数列,设g为也)的前项和，由题意可得心一邑二JT+729解方程即可得到小进 一步得到邑”.【详解】设第环天石心块数为可，第一层共有力环，则是以9为首项,9为公差的等差数列,q =9+5-1)x9=！设为包的前项和，则笫一层、第二层、第

11、三层的块数分别为因为下层比中层多729块,所以£一与二电一与”293(9 + 27) 2(9+18) 2(9 +18) (9 + 9)十、触即 2222 一 十即91 =729,解得。=9,所以“与27(9 + 9x27)=3402故选：。【点晴】本题主要考查等差数列前项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一 道容易题.5 (2Q20全国2卷)数列依中，4=2*=44若+i+，+2+-T4J0 =*一炉则上=()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】取m = L可得出数列4是等比数列.求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于无的等式，由可求得A的值.:.1

12、rt = 2【详解】在等式联中，令雁=1,可得4所以，数列%是以2为首项，以2为公比的等比数列，则4=2x21=2"4川京 1 +aM ,»_ 0H4O =1-21-2= 2i41(210-l) = 25(2*0-l)：.2m=2则无十1 = 5.解得无=4.故选：c.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式, 考查计算能力，属于中等题.6. （2Q20全国2卷）01周期序列在通信技术中有着重要应用.若序5IJ 3< 满足，w°G = L2l）,且存在正整数胆.使得"=，（"L2.）成立，则称其为。一1

13、周期序列，并称满足/= ）的最小正整数所为这个序列的周期.对于周期为次的o=S* aa ,（上=L2 m 1）1序列 用二”是描述其性质的重要指标，下列a*）W =G=L2A4）周期为5的01序列中，满足 5的序列是（A 110MX -【答案】CB 11011 -c 10001 -D 11001 -【解析】根据新定义,逐一检验即可【详解】由知，序列4的周期为凡由已知，m = 5C(k) = W工年四 * = L2343 ”，对于选项4C(l) =殳=；34+师+44 +.6+64)=：(1+0+0+0+0)=:；D 41JIID12。(2) = £2叽2=£3勾+ 44+4

14、6+44+的)=式0+1+0+1+0) = £5*$55,不满足；对于选项B.53CQ) = R-i =£04+46+44+44+4)=1(1+0+0+1+1) = 1 3*555,不满足；对于选项D,12C(l) =三2勾加+% +64 +16 +.)=£(1 +0+0+0+1) = -,T355,不满足； 故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以 及数学运算能力，是一道中档题.7. (2Q20全国3卷)设数列4满足& = 3, Ji=3, 一而(1)计算S,的,猜想%的通项公式并加以证明；(2)求数列2叼的

15、前n项和S” .【答案】(1) 4=5, % = 7, 4=垢1证明见解析；q=OT.*+2.【解析】(1)利用递推公式得出4'4.猜想得出4的通项公式，利用数学归纳法证明 即可；(2)由错位相减法求解即可.【详解】(1)由题意可得4*一4=9-4=5, 4=物-8=15-8=7由数列4的前三项可猜想数列4是以3为首项，2为公差的等差数列,即4=*+1证明如下：当”=1时,q=3成立；假设时，/=%+】成立.那么=无+1时，喙尸4_毋=又24+1)映=%+3=2(2+1)+1也成立则对任意的，都有4=备+1成立；由可知，42"=(2w+D2"Sn = 3x2+5x2

16、2+7x23 +-+(2w-1)-2 +(2w+1)2" 风=3x2" +5X23 +7x2* +t(2m1)2 +(2n+l)2 由-得厂.=6+2小+炉+-+2”)心+1>2川22x(1-21)= 6+2x-(2w + l)-2* =Q_» 2m*_2即星二伽-*+2【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中 档题.8. （2Q20江苏卷）设4是公差为d的等差数列，“,是公比为g的等比数列.已知数列%+%的前月项和也.2 foi wN）则d+g的值是【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前均页和公式的特点，分别求得，

17、'但的公差和公 比,由此求得d+牝【详解】设等差数列4的公差为"，等比数列2的公比为?根据题意q*等差数列的前题和公式为" i +d0 _4（1-/）_“门）等比数列的前,项和公式为"_qg _p °it /I + 2W 1 = -JI2 +依题意列F "即224-=-i通过对比系数可知110故d+q = 4 .故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前用项和公式,属于中档题.9. (2020 江苏卷)已知数列("'")的首项由=1,前"项和为苏.设4与k是常12.1数，若对一切正整数

18、均有$“产一$了=2口”，成立,则称此数列为勺*，数列.(1)若等差数列4是以-1”数列.求】的值;(2)若数列4是“9一2”数列，且4>o,求数列"的通项公式；(3)对于给定的儿是否存在三个不同的数列"为睨-3数列，且启0?若存在，求才的 取值范围；若不存在,说明理由， 【答案】1a 5 = 1一 口尸，心2(3) 0<2<1【解析】(1)根据定义得加一="褊，再根据和项与通项关系化简得.褊，最后根据数列不为零数列得结果；(St -力o 尔(2)根据定义得3,根据平方差公式化简得'求得9即得q；1 1 1(3)根据定义得S/一3=九。1

19、二利用立方差公式化简得两个方程.再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】(1)心 sn =小 ,1 =" Qq =1二% #o"二i(2) Q。；&共二sf _£>。QS3s (/ -£)，=2's:xsf 十£)+sj).SJ尔:加F.2 =4" :S=%=1 2=尸.4=474"2=34"_2/22 I，L"=l"3 4*-n>2 b(3)假设存在三个不同的数列4为4-3"数列. -1=二(S/ - sjy=尤(Si-SJ sj =s(sj

20、 -s)Y =AsJ +d +1M)；/=耳或（纪+（尤_1A； +（无+2月=0.对于给定的4,存在三个不同的数列%为,2-3,数列，且4'° a = L = 122i i一 ” 一&之2或（不一1）+（矛DS:+（才+2»升fsj =0（4/1）有两个不等的 正根.3 ta1 +但-Dsj +3 +2）sjsj =o（" i）可转化为（£T” +-） + d” = °（A #1）隹F = x（x > 0）S；S；,襁设,则（力6 +（32）工+优-1）=。（姓1）有两个不等正根设/（x）=（23 -l）x2 +（23

21、+2）x+（23-1）=0（21） 当之<1时，A=（无+2）? 4（才T）?>0=>0<无<4即0v2Vl此时（）,满足题意. 当义1时，A=（无+2?-4（无TJ?O=Ov尤4即1为®此时/（0）= 23-1>0更严。改之一D ,此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，021【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求 解能力，属难题.10. （2020新全国1山东）将数列幼-1与勿-2的公共项从小到大排列得到数列%,则册的前几项和为.【答案】犷-%【解析】首先判断出数列也“-1与3"一2项的特征

22、，从而判断出两个数列公共项所构 成新数列的首项以及公差,利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列切一1是以1为首项,以2为公差的等差数列，数列自“一2是以1首项，以3为公差的等差数列所以这两个数列的公共项所构成的新数列4是以1为首顶，以6为公差的等差数列，所以W的前为页和为2.故答案为：犷-2".【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新 数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.11. （2020新全国1山东）已知公比大于1的等比数列卬满足% + % = 20,.=8 .（1）求也）的通项公式；（2）记”为在区间（°，ml（E

23、eN）中的项的个数，求数列SG的前100项和占00 .【答案】4"；侬【解析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为q夕的形式，求解出q由此求得 数列4的通项公式.（2）通过分析数列"力的规律，由此求得数列出力的前10°项和$叫【详解】（1）由于数列“是公比大于1的等比数列，设首项为,公比为用依题意有.q + .q = 201砧 ，解得解得q=z4=2,或.=32，”5（舍），所以4=?所以数列的通项公式为二2".（2）由于缓二室雪二人炉所以可对应的区间为：（°,则4=°；&抱对应的区间分别为：（°闺他可，则4=4

24、=1,即有经1；4也44对应的区间分别为：（M，（o,6,（o,7则4 =a=4 % =2,即有2,个2；4,砥4对应的区间分别为：（0,8,（o,9, ,（0,15则4 ='=i='=3即有 个个3 ；4星一内对应的区间分别为：（°>16>（°>17> >（°>31则4 =%=-=4=4,即有24个4；%也也对应的区间分别为:（0,32,（0,33, ,（0,63则=%=%=5,即有25个5； %也，舌00对应的区间分别为：（o,矶（0,65,（0,100,则%=%= =4oo=6 即有 37 个 6.所以 A

25、oo+5x25+6x37 =480【点睛】木小题主要考查等比数列基木量的计算，考查分析思考与胡决间的能力，属于中 档题.12. （2020天津卷）.已知%为等差数列，始为等比数列，=1,q=5（%-4）,在=4（4-4）（I）求4和外的通项公式；di）记的前，项和为名，求证:s«A*2s%Mn）（34一2泡,邮数r _42为偶数.£ ）（III）对任意的正整数力设I11求数列1弓）的前2/1项和.406/1+5 4【答案】（1 ） 4="4=2 ；（H）证明见解析；（Hl） 2n+l 9x4n 9【解析】（I）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列

26、的通项公式得到结果；皿利用（I）的结论首先求得数列4前项和，然后利用作差法证明即可；皿）分类讨论月为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相多c 减求和计算z 和z 的值.据此讲一步计算数列' ”的前2项和即可.【详解】（1）设等差数列%的公差为d ,等比数列的公比为g.由4=1生=5（'色）可得4.从而图的通项公式为4="由"=L'=4（4-4）,又分o,可得才-佝+4=0,解得g = 2,从而闻的通项公式为"=21Kl.s _ 3 + 1）（II）证明：由（1河得" 丁、5.5- 2 = ：+ IX&qu

27、ot; + 2X« + 3） = 1（/1 +1）2 （« + 2）2故4,4,从而所以2蹬1.C _(34 _2泡 _ (3_2)2T _*n-1(III)当为奇数时，" 勺加成"+2)+2 nc % j -当为偶数时. %2M 2"22左+1 2上一1221r 1 2n+l22 %-1 = Z对任意的正整数必有I 日斗-二|3 "1 22 2n-l 4l 4"J 1 2w-l淬”门"-彳LFT-«F由前45一12 =1 - 4X1/1 - 41V2 - 32 - 3=1二2n4"-1 - 4

28、X3从而得:5 6h+5一5一 9x4”因此,2。片”*=2弘1+2?2* =Jb=lJb=lJb=l4W 6n+5 42/1+1 9x4” 5,所以，数列匕的前弱项和为4”6w+5 42n+l 9x4" 9【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解.分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求 和等，属于中等题.a =心 - -13. （2U2U浙江卷）已知数列册满足"2,则& =.【解析】根据通项公式可求出数列4的前三项，即可求出.（"叫_ _ _【详解】因为、2,所以4=3 =加=6即y=q +4 +q =1+3+6=10故答案为：1°【点睛】本题主

29、要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题.14. （202。浙江卷）已知数列%, «, <?）+,b.（I）若数列s”为等比数列,且公比q>°,且4+4=33.求9与%的通项公式；,C. +C, 4- + C, <1 + （II）若数列“,为等差数列,且公差d>°,证明：d ,14+2【答案】"万3；（）证明见解析.【解析】 根据4+% =。，求得2进而求得数列卜）的通项公式，利用累加法求得数 列4的通项公式.（II）利用累乘法求得数列"J的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】依题意4=3=她=

30、/，而4+ % = %即Llq=6/,由于q>0,所Q = b =以解得 2,所以. “"2. +1.所以 2 .故11浦=丁彳=4q尸,所以数列?是首项为L公比为4的等比数列，所以G 2所以-4=尸尸.所以4=”】+4+亡=一=A_（0依题意设2T+（T）d = .+ld由于q 一晨2% =21 所以* % (之【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式,考查裂项求和法，属于中档 题.15. （2020上海卷）己知4是公差不为零的等差数列，且q+,=%,则q +% +/ _%【答案】2816. （2020上海卷）有限数列红,若湎足|一4目q弓区一口.一而是项数，则称也满足性质p.（1）判断数列3,左54和4,3,25是否具有性质，请说明理由.（2）若q=L公比为g的等比数列，项数为10,具有性质尸，求g的取值范围.（3）若q是L2,.的一个排列10ML2.mnqJ,他J都具有性 质p ,求所有满足条件的包.【答案】(1)对于第一个数列有|2 3卜1J53卜2J1 3|=2,满足题意，该数列满足性质尸对于第二个数列有13 -