【人教版】2017年中考数学：题型(4)反比例函数与一次函数综合题(含答案)

1、题型四反比例函数与一次函数综合题针对演练1 .如图，一次函数y=kx+ 1(k#0)与反比例函数y=m(m#0)的图象 x有公共点A(1, 2),直线l，x轴于点N(3, 0),与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B, C,连接AC.求k和m的值；(2)求点B的坐标；求 ABC的面积.第1题图ik2 .已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=-(k?0)在第一象限 X'内的图象交于点A,过点A作x轴的垂线，垂足为点P,已知4OAP 的面积为1.求反比例函数的解析式；(2)有一点B的横坐标为2,且在反比例函数图象上，则在x轴上是否 存在一点M,使得MA+MB最小？若存在，请求出点

2、 M的坐标；若 不存在，请说明理由.第2题图172 ，,3 .如图，反比例函数y 的图象与一次函数y=kx+b的图象父于点 xA、B,点A、B的横坐标分别为1、一2, 一次函数图象与y轴交于点C,与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式； 2(2)对于反比例函数y ；，当y< 1时，写出x的取值范围；在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P,使得S"DP =2Saoca?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4 . (2016巴中10分)已知，如图，一次函数 y=kx+ b(k、b为常数，k? 0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= n x(n

3、为常数且n?0)的图象在第二象限交于点 C.CDx轴，垂足为D.若 OB=2OA=3OD=6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx+b< n的解集.x第4题图5 .如图，点A( 2, n), B(1, 2)是一次函数y= kx+ b的图象和反比例函数y= m的图象的两个交点. x求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；若C是X轴上T点， 点C的坐标.设t = CBCA,求t的最大值，并求出此时jyC ()7第5题图16 .如图，直线yi = 4x+ 1与x轴父于点A,

4、与y轴父于点C,与反比例函数丫2 = £3>0)的图象交于点P,过点P作PB，x轴于点B,且AC= BC.求点P的坐标和反比例函数y2的解析式;(2)请直接写出yi>y2时，x的取值范围； (3)反比例函数y2图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由.第6题图7.如图，直线y=x+b与x轴交于点C(4, 0),与y轴交于点B,并与双曲线y= m(x<0)交于点A(1, n).(1)求直线与双曲线的解析式；连接OA,求/ OAB的正弦值；若点D在x轴的正半轴一 OAB相似？若存在求出上，是否存在以点 D、C、B构成的二

5、角形D点的坐标，若不存在，请说明理由.抖H £/r第7题图8 .(2016金华8分)如图，直线y = *3x-木与x, y轴分别交于点A,kB,与反比例函数y=-(k>0)图象交于点C, D,过点A作x轴的垂线 x交该反比例函数图象于点E.求点A的坐标；(2)若 AE = AC.求k的值；试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由.第8题图9 .如图，已知双曲线y=k经过点D(6, 1),点C是双曲线第三象限 x上的动点，过点C作CA，x轴，过点D作DB，y轴，垂足分别为A,B,连接 AB, BC.(1)求k的值;(2)若 BCD的面积为12,求直线CD的解析式;判断

6、AB与CD的位置关系，并说明理由.n第9题图10 .如图，点B为双曲线y=k(x>0)上一点，直线AB平行于y轴， xk交直线y=x于点A,交x轴于点D,双曲线y=-与直线y= x交于点 xC,若 OB2 AB2 = 4.(1)求k的值；(2)点B的横坐标为4时，求 ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P,使APCszaod?若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由.第10题图【答案】1.解：(1);点A(1, 2)是一次函数y=kx+ 1与反比例函数y=m x的公共点，m. k+ 1 = 2,彳=2, . . k= 1, m=2;(2) .直线 Ux轴于点N(3, 0),且与一

7、次函数的图象交于点 B, 点B的横坐标为3,将 x=3 代入 y = x+1,得 y= 3+1=4, 点B的坐标为(3, 4);(3)如解图，过点A作AD，直线1,垂足为点D,由题意得，点C的横坐标为3, 点C在反比例函数图象上，22-2-y=- = 3，/.C 点坐标为(3, 3),-2 10BC= BN-CN = 4-o= V, 3 3又: AD=31 = 2,SaABC = 1BC . AD = 1X* 2=10 22 33第1题解图2.解：（1）设A点的坐标为（x, y）,则OP=x, PA=y,.OAP的面积为1,1力二1xy= 2,即 k= 2,一.一一一，一 .、，2 反比例函数

8、的解析式为y ；（2）存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A；连接A'B,交x 轴于点M,此时MA+MB最小, 点B的横坐标为2, 2.二点b的纵坐标为y=2=i,即点B的坐标为（2,1）.又两个函数图象在第一象限交于 A点，解得 x1=1, x2= 1（舍去）. y=2,.点A的坐标为（1, 2）, 点A关于x轴的对称点A' 0 2）,设直线AB的解析式为y=kx+ b,代入A' 02）, B（2, 1）得,k b2k b，解得 直线AB的解析式为y=3x 5,令 y=0,得 x=。, 3直线y=3x5与x轴的交点为（5, 0）,3即点M的坐标为第2题解图3.解：（）

9、反比例函数y= 2图象上的点A、B的横坐标x分别为1、一2,.点A的坐标为（1, 2）,点B的坐标为（2, 1）,点A（1, 2）、B（ 2, 1）在一次函数y=kx+ b的图象上,2k b2 八, ，解得111' 一次函数的解析式为y=x+ 1;2 f（2）由图象知，对于反比例函数y ；，当y< 1时，x的取值范围是一2Vx<0;（3）存在.对于 y= x+1,当 y=0时，x=1,当 x=0 时，y=1,点D的坐标为（1, 0）,点C的坐标为（0, 1）,设点 P（m, n）, Sa ODP = 2S OCA ,1/,、 c 1,/.-2>< 1X ( n)

10、 = 2*2X 1X1, *- n = - 2, 点P(m, 2)在反比例函数图象上,2 二-2=一, mm= - 1, 点P的坐标为(1, -2).OA= 3, OD = 2. .A(3, 0), B(0, 6)4.解：(1)OB=2OA=3OD = 6,将点 A(3, 0)和 B(0,D( 2, 0).6)代入y=kx+b得，3k b 0 k，解得b 6b26， 一次函数的解析式为y=-2x+ 6. (3分)将 x= 2 代入 y= -2x+ 6,得 y= 2X(2) + 6= 10,点C的坐标为(2, 10).将点C(2, 10)代入y= n,得 x10=己,解得 n= 20,一，20八

11、反比例函数的解析式为y ； (5分)y 2x 6(2)将两个函数解析式组成方程组，得 y20 ,x解得 Xi = - 2, X2= 5. (7 分)乙20,将x=5代入y4,x两函数图象的另一个交点坐标是(5, 4); (8分)(3) 2Wx<0或 xA5. (10分)【解法提示】不等式kx+bwn的解集，即是直线位于双曲线下方x的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是2Wx< 0或xA5.5.解：(1)点 A( 2, n), B(1, 2)是一次函数 y=kx+ b 的图象和反比例函数y=m的图象的两个交点，x*- m= - 2,2y -,2)代入 y=kx+ b,得11'

12、;y=-x-1；反比例函数解析式为点 A(2, 1),将点 A(2, 1), B(1,2k b 1k，解得k b 2b 一次函数的解析式为(2)结合图象知：当一2cxe0或x>1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A；连接BA延长交x轴于点C,则点C即为所求,. A(2, 1), A，( 2, -1),设直线A B的解析式为y = mx+ n,1 m-6.角牛：(1) ;一次函数y1=x+1的图象与x轴父于点A,与y轴交于点C,1 .A( 4, 0), C(0, 1),Xv AC=BC, COLAB,mn,解得.O 为 AB 的中点，即 OA=OB=4

13、,且 BP = 2OC=2,2 mn5n315 y=-3x-3，令 y=0,得 x= - 5,则C点坐标为(一5, 0),.t的最大值为AB = V2= . 10.第5题解图 点P的坐标为(4, 2),将点P(4, 2)代入y2=?,彳导m = 8, x8 反比例函数的解析式为y2= 一;x(2)x>4;【解法提示】由图象可知，当yi>y2时，即是直线位于双曲线上 方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x>4.(3)存在.假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解 图，连接DC与PB交于点E, 四边形BCPD为菱形，CE=DE = 4,CD= 8, .D点的坐标为(8,

14、 1),8将D(8, 1)代入反比例函数y x, D点坐标满足函数关系式， 即反比例函数图象上存在点 D,使四边形BCPD为菱形，此时 D点坐标为(8, 1).第6题解图7.解：().直线y=x+ b与x轴交于点C(4, 0),把点 C(4, 0)代入 y=x+b,得 b= 4, 直线的解析式为y=x 4, .直线也过A点，把点 A(1, n)代入 y=x 4,彳# n= 5, .A(1, 5),将 A( 1, 5)代入 y= m(x< 0),得 m = 5, x、5双曲线的解析式为y -； x(2)如解图，过点O作OMLAC于点M,点B是直线y=x4与y轴的交点，. .令 x= 0,得

15、 y= -4,.点 B(0, 4), .OC = OB=4,. OCB是等腰直角三角形，OBC=/OCB=45 ,一八 上0 0MoM在MB 中，sin45 =0B- =. OM = 22, AO= a/i2 + 52 =逐,在 AOM 中,sin/OAB=OM 2 2 2 13OA = V26= 13 ；第7题解图19（3）存在.如解图，过点A作AN，y轴于点N,则AN=1, BN=1, AB=、12+12 =依 .OB=OC = 4,BC=，42 + 42 = 4遂，又OBC=/ OCB=45 , ./ OBA= / BCD=135 , OBAs BCD 或OBAs DCB,.OB BA说

16、OB BA,前=CD 或 5U=BC'4, 242即4、2= CD或由=4、2，CD=2 或 CD=16,.点 C（4, 0）,点D的坐标是（6, 0）或（20, 0）.3- .一8.解：（1）当y=0时，得0 = 1x解得x=3.3.点A的坐标为（3, 0）; （2分）（2）如解图，过点C作CF，x轴于点F.设AE= AC = t,点E的坐标是（3, t）.在 RtAAOB 中，tan/ OAB=OB=乎，OA 3./ OAB= 30 .在 RtAACF 中，/ CAF = 30 ,_ 13.CF = 2t, AF = AC cos30 =看3.二点C的坐标是（3 + g3t, %）

17、.k 一 点C、E在y=k的图象上，x （3+3t）x1t=3t,解得 ti = 0（舍去），t2= 2V3, k= 3t= 6V3;点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：由知，点E的坐标为（3, 2中），设点D的坐标是（x, 季-3）, .x（*x也）=6，3,解得 xi = 6（舍去），X2= 3,.点D的坐标是（3, -2®（5分）（8分）.点E与点D关于原点O成中心对称. 9.解：（）双曲线y=k经过点D（6, 1）, xk . 6=1，解得 k= 6;设点C到BD的距离为h,点D的坐标为（6, 1）, DB，y轴,BD = 6,-1八, C Sabcd = 2 x 6x

18、 h= 12,解得h = 4,点C是双曲线第三象限上的动点，点 D的纵坐标为1,点C的纵坐标为14= 3,6- 一 = 一 3,解得 x = x 点C的坐标为（一2,设直线CD的解析式为2kb 3 ik ，解得6k b 1,b 直线CD的解析式为（3）AB/ CD.理由如下： CAL x 轴,DBy 轴,6设点C的坐标为（c,一）c2, 3),y=kx+ b,则12，21°y=2x- 2；点D的坐标为(6, 1)A(c, 0), B(0, 1), 点A、B的坐标分别为23设直线AB的解析式为y= mx+ n,则mc nn 10,解得27二直线AB的解析式为y=cx + 1,设直线CD的解析式为y=ex+ f,则ec f6e f6c,解得11 e -cf S'c1二直线CD的解析式为一方AB、CD的解析式中k都等于AB与CD的