8 7条件极值与拉格朗日乘数法精编版

1、7-7 1 回顾：求极值的一般步骤 求函数求函数z? ?f(x,y)极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组fx(x,y)? ?0 ,求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.fy(x,y)? ?0第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出B2?AC的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值 . 7-7 2 回顾：多元函数的最值的求法 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. 设函数在有界闭区域

2、设函数在有界闭区域 D 上连续，在上连续，在D内内可微且只有有限个驻点。可微且只有有限个驻点。 则可按如下方法求最值：则可按如下方法求最值： 将函数在区域将函数在区域 D D 内的所有驻点处的内的所有驻点处的函数值及在函数值及在D D 的边界上的最大值和最小的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值. . 7-7 3 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法 条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 实例：求表面积为实例：求表面积为 S(固定固定) 、体积最大的长方体积最大的长方体的体积体的体积

3、 V(x,y,z)? ?xyz求极值求极值 2xy? ?2yz? ?2zx? ?S限制条件限制条件 7-7 4 求条件极值的方法 1. 转化为无条件极值问题转化为无条件极值问题. 2. 利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法. 7-7 5 拉格朗日乘数法 要找函数要找函数z? ?f(x,y)在条件在条件? ?(x,y)? ?0下的下的可能极值点，可能极值点， 1. 先构造函数先构造函数F (x,y)? ?f(x,y)? ?(x,y)， 其中其中? ?为拉格朗日乘数为拉格朗日乘数. 2. 由由 ? ?fx(x,y)? ?x(x,y)? ?0 ,? ? ? ?fy(x,y)? ?y(x,y)? ?0

4、 , ? ? ?(x,y)? ?0 .? ?解出解出x,y,? ?，其中，其中(x, y)就是可能的极值点的坐就是可能的极值点的坐标标. 7-7 6 更一般的情形 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数u? ?f(x,y,z,t)在条件在条件 ? ?(x,y,z,t)? ?0，? ?(x,y,z,t)? ?0 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数F (x,y,z,t)? ?f(x,y,z,t)? ? ? ?1? ?(x,y,z,t)? ? ?2? ?(x,y,z,t) 其中其中? ?1,? ?2均为拉格朗日乘数，可由均为拉

5、格朗日乘数，可由 偏导数为零及偏导数为零及约束条件解出约束条件解出x,y,z,t，即得可能的极值点的坐标，即得可能的极值点的坐标. 7-7 7 例题1 将正数将正数12分成三个正数分成三个正数x,y,z之和之和 使得使得32u? ?x y z为最大为最大. 解解 令令 F (x,y,z)? ?x y z? ? ?(x? ?y? ?z? ?12 ),32? ?Fx? ? ?3x y z? ? ? ?0? ? ?3? ?Fy? ?2x yz? ? ? ?0则则 ? ?(6,4,2)解得唯一驻点解得唯一驻点，32? ?F? ?z? ?x y? ? ? ?0? ? ?x? ?y? ?z? ?1232故

6、最大值为故最大值为umax? ?6? ?4? ?2? ?6912. 根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义 可以判断是否为最值可以判断是否为最值 227-7 8 例题2 22x? ?y 在区域在区域(x,y)|x? ?y? ?50上上,求求z? ?22x? ?y? ? 1的最大值和最小值的最大值和最小值. 2解解 由由 (x? ?y? ?1 )? ?2x(x? ?y)zx? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )(x? ?y? ?1 )? ?2y(x? ?y)zy? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )222111111z(,)? ?

7、,z(? ?,? ?)? ? ? ?,2222221111,)和和(? ?,? ?),得驻点得驻点(22227-7 9 例题2续 x? ?yz? ?22x? ?y? ?1在边界上在边界上 (x,y)|x? ?y? ?5022利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为（5，5）以及（）以及（5，5）：）： z(5,5 )=10/51 z(-5,-5)=-10/51 10 10 11? ? ? ?51 50 5211.比较可知比较可知 最大值为最大值为，最小值为，最小值为? ?22 7-7 12 小结 求条件极值的方法求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值转化为无条件极值. 2. 利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法. 注意要正确注意要正确 地写出目标函数和约束条件地写出目标函数和约束条件. 7-7 13 思考题 思考题思考题 若若f(x0,y)及及f(x,y0)在在(x0,y0)点均取得点均取得极值，极值， 则则f(x,y)在点在点(x0,y0)是否也取得极值？是否也取得极值？7-7 14 思考题解答 思考题解答思考题解答 不是不是.例如例如 f(x,y)? ?x? ?y,222