高中数学教学论文 例谈恒成立不等式的求解策略

1、例谈恒成立不等式的求解策略含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用下面就其常见类型及解题策略举例说明一可化为一次不等式恒成立的问题例1对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是点评

2、：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色二二次不等式恒成立问题例2已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论解：(1)当时，即或，显然时，符合条件， 不符合条件;(2) 当时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得，解得综合(1)(2)得，实数的取值范围为三绝对值不等式恒成立问题例3对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围分析1：把左边看作的函数关系，就可利用函数最值求解解法1：设，则，分析2：利用绝对值的几何意义求解

3、解法2：设在数轴上对应点分别是，则当点在线段上时，;当点在点的左侧时， ;当点在点的右侧时， ;因此，无论点在何处，总有，所以当时， 恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立时，实数的取值范围为分析3：利用绝对值不等式求解的最大值解法3：设且时等式成立， ，四含对数指数三角函数的不等式恒成立问题例4当时，不等式恒成立，求的取值范围分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切，恒成立，只要在内， 的图象在图象的上方即可显然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即解：设，则要使对一切，恒成立，由图象可知，并且，故有， 又 点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到

4、了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小五、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则();在上恒成立，则()”许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型例5已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围解：， 即（1）当时，不等式显然成立， （2）当时，由得，又， 综上得，的取值范围为六、形如“”型不等式例6已知函数，若对任意，都有成立，则的最小值为 解：对任意，不等式恒成立，分别是的最小值和最大值对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周期 的最小值为2七、形如“”型不等式例7在，这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是( ) (A) (B) (C) (D)解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数应是凸函数的性质，画草图即知，符合题意，故此题选（C）八、形如“”型不等式例8已知函数，若当时，恒成立，求实数的取值范围解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零令， 即在