北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题知识分享

1、实数知识点一、【平方根】 如果一个数x的平方等于a,那么，这个数 x就叫做a的平方根；也即，当 x2 a(a 0)时,我们称x是a的平方根，记做：x回a 0)。因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是 0本身；2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x JW。3、当a<0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ;(2) 的平方根是它本身。(3)若Jx的平方根是±2,则x=; 对的平方根是 (4 )当x 时，<3-2x有意义。(5) 一个正数的平方根分别是m和m-4 ,则m的值

2、是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a,即x2 a,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：'«”，读作,根号a"，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为 0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 石 0(a 0)。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： Ji。例2.(1)下列说法正确的是()A. 1的立方根是 1;B. 442;(C)、J81的平方根是

3、 3;( D)、0没有平方根;(2)下列各式正确的是()A、V819B、3.143.14C、v，r-279<3 D、<5 33 V2(3)/ 3)2的算术平方根是 。(4)若xx 有意义，则 。(5)已知4ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足Ja 3 (b 4)2 0,求c的取值范围。(7)如果x、y分别是4-小 的整数部分和小数部分。求 x - y的值.(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64; 也； 0.0004;(25)2;11.1211.44 ,0,8,100,441 ,196,10（9） （J64）2等于多少？（J，9 ）2等于多少?121（10）（ .72）2等

4、于多少?（11）对于正数a,（百）2等于多少?我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算知识点三、【开平方性质】（1）渥 4 我= /_9=(2) v16 柄=, C'16 9 =；(4)(4),16252知识点四、【立方根】1、如果x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3万，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能

5、有平方根。例3.(1) 64的立方根是(2)若 / 2.89,3/Ob 28.9,则 b 等于()A.1000000B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：3都是27的立方根，Vy3 y,J64的立方根是2,34。其中正确的有A、1个B、2个C、3个D、4个知识点五、【无理数】:1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足无限”以及 不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有 的一些数，如：2- ,3 等；（2）开方开不尽的数,如：J2, 15,3/9等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000

6、01（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：J9等；无理数也不一定带根号，如：(2)所（填2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数;卬 2、 0.3030003000003 3有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4. （1）下列各数：3.141、0.33333、J5 用、兀、 J2.25、（相邻两个3之间0的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有;是无理数的有序号）（2）有五个数：0.125125,0.1010010001，-,J4,3/2其中无理数有

7、 （）个A 2 B 3 C 4 D 5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是 1.1a（a 0），2、实数的性质：实数 a的相反数是-a;实数a的倒数是一（aO）;实数a的绝对值|a|=,它的几何意乂aa（a 0）是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比

8、较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一例5.（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示； B、数轴上的点与有理数一一对应C、1和2之间的无理数只有五; D、不带根号的数都是有理数。（2）a, b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（）11 a0 bA、Ja bb、Jabc、7a bd、Jb a（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 J3和-1 ,则点C所对应的实数是（）A. 1+ 3B. 2+ 3C. 2 、, 3 -1D. 2 : 3 +1

9、（4）实数a、b在轴上的位置如图所示，且 a b ,则化简Va2 a b的结果为（）3«»*A. 2a bB. 2a bC.b D.2a b28(5)比较大小(填"或“<”).3 、10,V3 V20 ,7<66", AJ2(6)将下列各数：2,3,L8,d3,i J5,用 之”连接起来； (7)若 a 3,<b 2,且 ab 0,则：a b=。(8)计算:3 0,125(9)已知：x 7 2 121, y 1 30,064,求代数式Jx 10y 3/痂 的值。基础练习一、选择题1.下列数中是无理数的是（)A.0.1223 B. _2C

10、.0D. 222 .下列说法中正确的是（A.不循环小数是无理数3 .下列语句正确的是（B.)）分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数A.3.78788788878888 是无理数C.无限小数不能化成分数4.在直角 ABC, / C=90° ,B.D.AG3A.整数B.分数5.面积为6的长方形，长是宽的6. & 2）2的化简结果是7.9的算术平方根是（28 .（ -11）的平万根是9 .下列式子中，正确的是（A. . 5.5无理数分正无理数、零、负无理数 无限不循环小数是无理数2C. 无理数BG2,则AB为（）2倍,则宽为（D.)不能确定A.小数B.

11、分数C.无理数D.不能确定A.2B. -2C.2或一2D.4)A.A.121)±3B.3C.D.B.11C.±11D.没有平方根B. <3.6 = 0.6C.(13)2 =13D. 36 =± 610.7一2的算术平方根是（）A. 17B.7C.D.411.16的平方根是（） A. ±4B.24C.士 . 2D. ±212.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是（A.a+2B.-2C. a +2 D.a2+213.下列说法正确的是（A. 2是一4的平方根)B.2是（2）2的算术平方根C.( 2）2的平方根是2 D.8的平方根是414.

12、 J16的平方根是（）A.4B.C.±4D.±215. 9 d诟的值是（）A.7B.-1C.1D.16.下列各数中没有平方根的数是（B.33C.a0D.- (a2+1) A. aB. aC. ±aD.以上答案都不对18.如果a（a> 0）的平方根是土 m,那么2,A.a =± m2B.a=± mC. a =± mD. ± Va =+ m19.若正方形的边长是a,面积为S,那么（）A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根C.a= ± . SD.S=. a二、填空题1.在 0.351, 2,4.969696; 6

13、.751755175551 0,-5.2333, 5.41101001000-仲，无憾的个数有2.3小数或小数是有理数,3. x2=8,则 x分数,整数,小数是无理数.有理数.（填“是”或“不是”）4 .面积为3的正方形的边长 有理数；面积为4的正方形的边长 有理数.(填“是”或“不是”)5 .幺的平方根是;6.(1)2的算术平方根是 ;12147. 一个正数的平方根是 2a-1与-a+2,则a=,这个正数是8. 疹的算术平方根是 ;9.9-2的算术平方根是 ;10.、，4的值等于, 74的平方根为; 11.( 4)2的平方根是，算术平方根是 三.判断题1. -0.01是0.1的平方根.()2

14、. 52的平方根为一5.()3. 0和负数没有平方根.()4 .因为1的平方根是土 1,所以.T=± 1.()1641645 .正数的平方根有两个，它们是互为相反数.()四、解答题? ?21.已知：在数一 31 42，n，3.1416, -,0,4 ,(1) n, 1.424224222 中，43(1)写出所有有理数；(2)写出所有无理数；2 .要切一块面积为 36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少?3 .已知某数有两个平方根分别是a+3与2a 15,求这个数.分母有理化1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

15、们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用 ja ja a来确定，如： 乖与ja, ja b与ja_b, jab与jab等分别互为有理化 因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a Jb与a 耶,、.a，.b与、a ,b , a,、x b. y与a、x b、., y分别互为有理化因式。3 2632/6例题：找出下列各式的有理化因式(1),12.5 2,.7 .10(4)3、,2、63.分母有理化的方法与步骤：(1)先将分子、分母化成最简二次根式；(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；(3)最后结果必须化成最简二次根

16、式或有理式。例题：把下列各式分母有理化,323.5 5.3-3- 1()355,3 35(5) a b(6)a .x a (x a)例题：把下列各式分母有理化:(1)(4)b a2 b2b 、. a2b2【练习】1 .找出下列各式的有理化因式(1)52(2)2 3 8 .112 .把下列各式分母有理化12251 .5 1口 :2 a . 2 3 J57.5 ,751752 xy(5)2G>13223 -22-55.33 .计算&M 一 22 .3 2 .3x_y= x / yx y 2, xyx y与_135.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面:2V6 ；(2)5&

17、quot;(3)(4)2a Vb ;96.计算：- 49(2)2840.16 小(3)/ ； (4),0.02250.01 64:0.3632427 .6.， (6), 10025y4 . 121x61.计算(1)5 15(4 355); (3)(146.5)(3咐；(4)-V6 4J12的数，如：2 ,- 等，开方开不尽的数，如 J2,相等;2sin60 o, cos45。等。判断一个数是否是无理数，不能只看专题讲解：类型一.有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含特定结构的数，例 0.010 010 001等；某些三角函数，如形式，要看运算结果，如&#

18、176;,J16是有理数，而不是无理数。例1.下面几个数:0.-23 -,1.010010001 ，-V0.064 ,223兀，7，亚,其中，无理数的个数有（A、 1B、2C、3D、4. 一 3 一例2. （2010年浙江省东阳县）是7A.无理数B .有理数C .整数D .负数举一反三：1 .在实数中一2,0,旧,3.14,/中无理数有（） 3A.1个 B .2个C.3个D.4个 2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a>0,则a的平方根是4,a的算术平方根 ja ;若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是3/a 。【例1】/6的平方根是，3- ，、，一

19、【例2】27的平万根是【例3】下列各式属于最简二次根式的是（）A . Jx2+1 B. Jx2y5 C.阮 D. 705【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（A） 20 0（B） 3 13（C） V9 3（D）近逐正【例5】（2010年四川省眉山市）计算 J（ 3）2的结果是A. 3 B .3 C .3 D举一反三：1 .下列说法中正确的是（）C、41=±1 D、正是5的平方根的相反数.-27立方根是A、”质的平方根是土 3 B、1的立方根是土 12. 1.25的算术平方根是 ;平方根是 士丽=一储类型二.计算类型题1 .估算、比较大小正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数

20、，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围, 要想正确估算需记熟 020之间整数的平方和 010之间整数的立方.例1.设 回二0,则下列结论正确的是（）A. I 二5 JB. I J;一二二C.二二；-：D.二 J -一二二二解析：例2.（2010年浙江省金华）在-3 ,邪,-1, 0这四个实数中，最大的是（）A. -3 B. 阴 C. -1 D. 02 .二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、 多项式乘

21、以多项式、乘法公式等.实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合1起来.解决这类问题应明确各种运算的含义（a0 1（a 0）,a p （a 0, p是整数），运算时注意各项的符号，灵ap活运用运算法则，细心计算。例1、计算JZ+a21所得结果是例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目:“先化简下式，再求值：a+&-2a+a2其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式 =a+ j1-2a+a2 = a+（1 a）=1，小芳的解答：原式 =a+（a - 1）=2a - 1=2X 9- 1=17是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性

22、质： 例 3、计算：（1） （3 V22V3）2（3岳2 V3）（2）（亚-石）2001 （亚+V3）2002例4、二次根式 中，字母a的取值范围是（）A. a 1 B . a<1C . a>1D . a 1举一反三：1.求下列各式中的汽（1）J5 （叉70（3）3-64类型三.数形结合例1.点A在数轴上表示的数为 求，点B在数轴上表示的数为一小，则A, B两点的距离为举一反三：1.如图，数轴上表示1,盘的对应点分别为 A, B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是().?1Ji j, CA BA . 0 1 B. 1忑 C. 2-忘 D.贬-22。已知实数厘、b、仁在数轴上

23、的位置如图所示:化简12c 一司+卜-凶-1M -卜_ c -&3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心, 轴于点A ,则点A表示的数是()正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半A、1 2B、 1.4C、D、类型四.实数绝对值的应用 例4.化简下列各式：(1) |二-1.4|(2) | 兀-3.142|(4) |x-|x-3| (x & 3)(5) |x2+6x+10|举一反三【变式1】化简:V? - 22 + V2 + Vj| |V2 类型五.实数非负性的应用若a为实数，则a2,|a|,ja(a 0)均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0,则每个

24、非负数都等于0。例5.已知： 心+7=0,求实数a, b的值。举一反三：1.已知(x-2) 2+|y-4|+ 也 6=0,求 xyz 的值.2、已知仅-6)2+优""一'")+|y+2z|=0 ,求(x-y)3-z3 的值。斤 Ja - 2 +（3 + 5）+ lc +1| = U , 钻/古石3、已知' f 卜I 那么a+b-c的值为类型六.实数应用题例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为 13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和 的正方形，问边长应为多少cm。基础训练二一、选择题1 .下列各式中正确的是（）A./=&

25、#177;4 b.，=4 c. "3 D.再送2 .压的平方根是（）A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±23 .下列说法中无限小数都是无理数无理数都是无限小数 -2是4的平方根 带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（ A. 3个B. 2个4.和数轴上的点对应的是（A.整数B.有理数）C. 1个 D. 0个）C.无理数D.实数5 .对于一后来说（）A.有平方根B.只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定6 .在了23（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）A.3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7 .面积为11的正方形边长为x,则x的范围是

26、（）A. 1（工二 B. 3仃<4 C. 5<x <10 D. 10<x<1008 .下列各组数中，互为相反数的是（）C.9 . -8的立方根与4的平方根之和是（）A. 0 B. 4 C. 0 或-4D. 0 或 410 .已知一个自然数的算术平方根是a ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）B.C - 口.D.I填空题11 . 一# 的相反数是 ,绝对值等于 氏 的数是, | =12.国的算术平方根是1+2|=13 . 的平方根等于它本身， 的立方根等于它本身， 的算术平方根等于它本身。14 .已知I x I的算术平方根是 8,那么x的立方根是 。15 .

27、填入两个和为 6的无理数，使等式成立： +=6。16 .大于-J2，小于 厢 的整数有 个。17 .若I 2a-5 I与"+ 2互为相反数，贝U a=, b=。18 .若 I a I =6, 忑=3,且 ab = 0,贝U a-b=。19 .数轴上点A,点B分别表示实数则人、b两点间的距离为 。20 . 一个正数x的两个平方根分别是 a+2和a-4,则a=, x=。三、解答题21 .计算土而前-后田，（6） 4X 9 + 2 X （右一2）（结果保留3个有效数字）22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们接：,"：、,的相反数按从小到大的顺序排列，用“汇”号

28、连参考答案:1、B 2、D3、B4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、兀 -3312、 3, 313、 0; 0, ±1 ; 0, 114、士415、答案不唯一如：丘-五有16、5知17、上18、-1519、220、 1, 921、为3-17-92-3637.922、汗21.5 <-2 < 0 < >/2 < 1,5 < 2 V打基础练习三、选择题1.大于一245,且不大于3J2的整数的个数是()A. 9 B. 8 C. 7 D. 52.下列几种说法：(1)无理数都是无限小数； 包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有(

29、A. (1)(3) (4)B.(2) (3)(4)无理数(2)带根号的数是无理数；(3)实数分为正实数和负实数; )C. (1) (4)D.只有(1)3.要使3/(3 x)3 =3- x,则x的取值范围()A.x < 3 B.x>3 C.0<x< 3 D.任意数4.下列四个命题中，正确的是（5.A.数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数C.两个无理数之和一定是无理数若a为正数，则有（）D.B.数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数数轴上任意两个点之间还有无数个点6.不是（2A.分数B. a=B.7.卜列说法正确的是（8.aC. aD. a 与寸后的关系不确定小数）C.无理数

30、 D. 实数A.无限小数都是无理数 C.无理数的平方是无理数 下列等式正确的是（B.无理小数是无限小数无理数的平方不是整数D.CAY4 B3.3 D.9.实数a在数轴上的位置如图2-6-2 ,aa2的大小关系是-1 a 0图2-6-2A. a < - a < 1V a2 B.aC.1a< - <a2a< aD.2a < a< - a10. 2 v53 而的值是2、5 511.下列各语句中错误的个数为（）.最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数；任何实数的平方根都是互为相反数；若两个非负数的和为零，则这两个数都为零A.4B.3C.2D

31、.1二、填空题1、2 4的算术平方根是 . （1.44） 2的算术平方根为 . J81的算术平方根为 ，而4=9J25的平方根是；9一2是 的算数平方根；5、（1）2的算术平方根是 ;42 .等腰三角形的两条边长分别为2百和5,那么这个三角形的周长等于 。3 .负数a与J2的差的绝对值是4、若a、b都是无理数，且 a+b=2,则a、b的值可以是 （填上一个满足条件的值即可）5、实数a在数轴上的位置如图所示，则 |a 1| J（a 2）2 6 . （ V2 - V3 ） 2007 （ <2 -任）2008=.7 .实数P在数轴上的位置如图1所示， 化简/（p 1）2J（p 2）2;若一个数

32、a的相反数等于它本身，则8 . 一个负数a的倒数等于它本身，则 Ja 2 二V3a - 5 V2a 1+23/a 8 =9 .数轴上的点与 对应关系，一3.1410 .比较大小：(1) 3必3成6(2) 43'三、判断(1)无理数都是开方开不尽的数。(3)无限小数都是无理数。(5)不带根号的数都是有理数。(7)有理数都是有限小数。(9)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 在数轴上的点在表示一兀 的点的 侧。汽3)(2)无理数都是无限小数。()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数。()(6)带根号的数都是无理数。()(8)实数包括有限小数和无限小数 .()理数()四、解答题1 .

33、实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-5-1，化简|a- b- |c- a + |b- c- |a。2 .求 4a 4 v 9 2a + m1 3a + J a2 的值综合练习一、易考题：1 . -1的相反数的倒数是2 .已知| a+3|+ Vb+1 =°，则实数(a+b)的相反数3 .数一3. 14与一的大小关系是4 .和数轴上的点成一一对应关系的是 5 .和数轴上表示数一3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是 6 .在实数中 ，一2 ,0, 、/3 , -3. 14,4无理数有()517. 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是(A) 1 个 (B) 2个(C) 3 个

34、(D) 4 个)(A)非负数(B)非正数(C)负数(D)正数8 .若 xv 3,则 | x+3 | 等于(A) x+3(B) - x-3(C) x+ 3(D) x-39 .下列说法正确是(A 有理数都是实数(B)实数都是有理数(B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:(1) c-b 和 d-a(2) bc 和 ad二、考点训练:*1 .判断题:(1)如果a为实数，那么一a定是负数；()(2)对于任何实数a与b,|a b|=|ba|恒成立;(3)两个无理数之和一定是无理数;(4)两个无理数之积不一定是无理数;(5)任何有理

35、数都有倒数；()(6)最小的负数是一1;()a的相反数的绝对值是它本身;(8)若 |a|=2,|b|=3 且 ab>0,则ab=1;()22| 3| , 21. 3, 1. 234, - ,0负分数集合，V9 , 一口击,(啦 V3 ) °, 3 2, 1.2121121112无理数集合整数集合非负数集合*3 .已知 1<x<2,则 |x _3|+1(1-x) .把下列各数分别填入相应的集合里 等于(A) - 2x(B) 2(C) 2x(D) - 24.下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数?-3,啦1, 3, 0.3, 3 1, 1 +木，3 13互为相反数:；互为倒数:互为负倒数:*5 .已知x、y是实数，且(X5)2和|y + 2 |互为相反数，求x , y的值|a+b|6.若a,b互为相反数，c.d互为倒数，m的绝对值是2,则赤+4m-3cd=*7.已知(a 3b) +| a 4 |=0,则a + b三、解题指导:1 .下列语句正确的是()(A)无尽小数都是无理数(C)带报号的数都是无理数2 .和数轴上的点对应的数是()(A)整数(B)有理数(B)无理数都是无尽小数(D)不带报号的数一定不是无理数。(C)无理数(D)实数4.如果a是实数，下列四种说法:(1) a 2和| a |都是正数;=a,那么a一定是负数,(4) a和一a