北师大版八年级数学下册习题《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、因式分解全章复习与巩固（基础）【学习目标】1 .理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2 .掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法;3 . 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解【知识网络】* 提公因式法平方差公式 公式法一因式分解I-»|完全平方痣十字相乘法*分组分解法【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多 项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形, 而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把

2、多项式播n +*方+痛 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ,另一个因式是 （& + “已）,即海口 +喀8 +微1=憎, （a+0）,而（疫+5+e）正好是海&+海匕+M 除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律 要点三、公式法1 .平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2 b2 a b a b2 .完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.即 a2 2ab b2a b 2, a2 2ab b2 a b 2.形如a2 2ab b2 , a2 2ab b2的式子叫做完全平方式

3、.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和(或差)的平方 .(3)套用公式时要注意字母 a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法pq c2对于一次二项式x bx c,若存在，则x bx c x p x qp q b分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因

4、式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，添、拆项法等. 因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法；(3)如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解.(4)结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、提公因式法分解因式O2 ,21、(2014 春陆州期中)6a (bT) 2(1b).【思路点拨】 直接提取公因式2

5、(b-1)2进而得出答案.【答案与解析】解：6a (b-1) 2-2 (1-b) 2=2 (b - 1) 2 (3a-1).【总结升华】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，注意( b-1) 2= (1-b) 2.类型二、公式法分解因式 2 2 2、已知2x -3=0,求代数式x x x x 5 x 9的值.【思路点拨】 对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解.【答案与解析】解：x x2 x x2 5 x 9,3223=x x 5x x 9,=4x2 9 .当 2x3=0 时，原式=4x2 9 2x 3 2x 3 =0.【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理

6、再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解.举一反三：【变式】3a y 3a y是下列哪一个多项式因式分解的结果()22222222A. 9a y B. 9a y C. 9a y D. 9a y【答案】C;33、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如4422一，22x y xyxyxy,当 x=9, y = 9 时，x y=0, x y = l8, x y= 162,则密码018162.对于多项式4x3 xy2,取x = 10, y =10,用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x3 xy2进行因式分解，得至U4x3 xy2 x 2

7、x y 2x y ,然后把x = 10, y =10代入，分别计算出 2x y及2x y的值，从而得出密码.【答案与解析】解：4x3 xy2 x 4x2 y2x 2x y 2x y ,当 x = 10, y=10 时，x = 10, 2x+y = 30, 2x - y = 10, 故密码为 103010 或 101030 或 301010 .【总结升华】 本题是中考中的新题型.考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键.举一反三：【变式】利用因式分解计算(1) 16.9X1+15.1X1 (2) 6832 317288【答案】解：(1) 16.9X1 + 15.1 J8

8、8116.9 15.18=1 32 48(2) 6832 3172683 317683 317= 1000 X366=366000 .(1) a b 26ab 9；22 2xy x y22c 2c 22c4(3) x 2xy 2y x 2xy y .【思路点拨】 都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解.完全平方公式法:a b 2 a2 2ab b2 .【答案与解析】-2斛：(1) a b 6 a b(2) 2xy x2 y22xy x2 y2，一、2222(3) x 2xy 2y x 2xy2=x 2xy【总结升华】 本题考查了完全平方公式法因式分解，(3)要两次分解，注意要分解完全.

9、举一反三：【变式】(2015春楚城区校级期末)分解因式：(1) (a2+b2) 2 - 4a2b2(2) (x2-2xy+y2) + (- 2x+2y) +1.【答案】解：(1) (a2+b2) 2-4a2b2=(a2+b2+2ab) (a2+b2-2ab)=(a+b) 2 (a- b) 2;(3) (x2-2xy+y2) + (- 2x+2y) +1=(x - y) 2- 2 (x - y) +1=(x y1) . 5、先阅读，再分解因式：4422,22_222x44 x44x24 4x2(x2 2)22x x22x 2 x22x 2 ,按照这种方 法把多项式x4 64分解因式.【思路点拨】

10、 根据材料，找出规律，再解答.【答案与解析】解：x4 64 x4 16x2 64 16x2222=x 816x2 _ _2 .=x 8 4x x 8 4x .【总结升华】 此题要综合运用配方法， 完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题 目信息是解题的关键.类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系.(1)根据你发现的规律填空：x2 px qx pq x2p q x pq ；(2)利用(1)的结论将下列多项式分解因式：x2 7x 10；y2 7y 12 .【思路点拨】(1)根据一个正方形和三

11、个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； (2)根据(1)的结论直接作答.【答案与解析】解：(1) x p x q(2) x2 7x 10 x 2 x 5 y2 7y 12 y 3 y 4【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式.运用这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积aga2，把常数项c分解成两个因数 aga的积G, a ,并使a2G正好是一次项b ,那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.举一反三：【变式】已知 A = a 2 , B= a2 a 5 , C= a2 5a 19 ,其中 a >2.(1)求证：B-A>0,并指出