2020-2021备战中考数学压轴题之初中数学 旋转(备战中考题型整理,突破提升)含详细答案

1、2020-2021 备战中考数学压轴题之初中数学 旋转(备战中考题型整理,突破提升)含详细答案一、旋转1阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图 1，在“手拉手”图形中，小胖发现若 BAC DAE，ABAC，ADAE，则 BDCE(1)在图 1 中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图 2，ABBC， AB

2、C BDC60°，求证：AD+CDBD；(3)如图 3ABC 中，ABAC， BACm°，点 E ABC 外一点，点 D 为 BC 中点， EBC ACF，EDFD，求 EAF 的度数（用含有 m 的式子表示）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） EAF =12m°.【解析】分析：（1）如图 1 中，欲证明 BD=EC，只要证明

3、60;DAB  EAC 即可；（2）如图 2 中，延长 DC 到 E，使得 DB=DE首先证明 BDE 是等边三角形，再证明 ABD  CBE 即可解决问题；（3）如图 3 中，将 AE 绕点 E 逆时针旋转 m°得到 AG，连接 CG、EG、EF、FG，延长 ED 到M，使得 DM=DE，连接 FM、CM想

4、办法证明 AFE  AFG，可得 EAF= FAG=详（1）证明：如图 1 中，12m°.  BAC= DAE，  DAB= EAC，íÐDABÐEAC ，ï ABACDAB EAC 中，ì ADAEïî  DAB  EAC， BD=EC（2）证明：如图 2 中，延长&

5、#160;DC 到 E，使得 DB=DE DB=DE， BDC=60°，  BDE 是等边三角形，  BD=BE， DBE= ABC=60°，  ABD= CBE， AB=BC，  ABD  CBE， AD=EC， BD=DE=DC+CE=DC+AD AD+CD=BD（3）如图 3 中，将 AE 绕点

6、0;E 逆时针旋转 m°得到 AG，连接 CG、EG、EF、FG，延长 ED 到M，使得 DM=DE，连接 FM、CM由（1）可知 EAB  GAC，  1= 2，BE=CG， BD=DC， BDE= CDM，DE=DM，  EDB  MDC， EM=CM=CG， EBC= MCD，  EBC= ACF， &

7、#160;MCD= ACF，  FCM= ACB= ABC，  1=3= 2，  FCG= ACB= MCF， CF=CF，CG=CM，  CFG  CFM， FG=FM， ED=DM，DFEM， FE=FM=FG， AE=AG，AF=AF，  AFE  AFG，  EAF= FAG= 12m°点睛

8、：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题2请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1) 探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， ÐACB = 90o ， BC = a ，将边 AB 绕点 B顺时针旋转 90o 得到线段 B

9、D，连接 CD. 求证： V BCD 的面积为12a 2 .( 提示：过点 D 作 BC边上的高 DE，可证 V ABC  V BDE )(2)探究 2：如图 2，在一般的 RtV ABC 中， ÐACB = 90o ， BC = a ，将边 AB 绕点

10、60;B 顺时针旋转 90 o得到线段 BD，连接 CD. 请用含 a 的式子表示 V BCD 的面积，并说明理由(3)探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC ， BC = a ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90o 得到线段 BD，连接 CD. 试探

11、究用含 a 的式子表示 V BCD 的面积，要有探究过程【答案】（1）详见解析；（2） V BCD 的面积为 12a 2 ，理由详见解析；（3） V BCD 的面积为14a 2 【解析】【分析】(1) 如图 1，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质就可以得出VABC V BDE ，就有

12、 DE = BC = a. 进而由三角形的面积公式得出结论；(2)如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质就可以得出VABC V BDE ，就有 DE = BC = a. 进而由三角形的面积公式得出结论；(3)如图 3，过点 A 作 AF  BC 与 

13、;F，过点 D 作 DE  BC 的延长线于点 E，由等腰三角形的性质可以得出 BF =12BC ，由条件可以得出 V AFB  V BED 就可以得出 BF = DE ，由三角形的面积公式就可以得出结论【详解】(1) 如图 1，过点 D 作 DE  CB 交 CB 的延长线于 E，

14、37;  ÐA = ÐDBE， Ð BED = Ð ACB = 90o，由旋转知， AB = AD ， Ð ABD = 90o ， Ð ABC + Ð DBE = 90o ，Q Ð A + Ð

15、; ABC = 90o ，РA = Ð DBE ，在 VABC和 V BDE 中，ìÐACB = ÐBEDïïîAB = BDQ SV BCD  = a 2 ；V ABC  V BDE (AAS) BC =&

16、#160;DE = a ，12V BCD =BC × DE ，1S2(2)V BCD 的面积为 1 a 2 ，2理由：如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，í  ÐA = ÐDBE， Ð BED = Ð

17、0;ACB = 90o ，Q 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90o 得到线段 BE， AB = BD ， Ð ABD = 90o ， Ð ABC + Ð DBE = 90o，Q Ð A + Ð ABC = 

18、90o，РA = Ð DBE ，在 VABC和 V BDE 中，ìÐACB = ÐBEDïïîAB = BDQ SV BCD  = a 2 ；VABC  V BDE (AAS)， BC = DE = a ，12V

19、60;BCD =BC × DE ，1S2(3 )如图 3，过点 A 作 AF  BC 与 F，过点 D 作 DE  BC 的延长线于点 E， Ð AFB = Ð E = 90o ， BF =1     1BC 

20、=  a ，2     2 Ð FAB + Ð ABF = 90o ，Q Ð ABD = 90o ， Ð ABF + Ð DBE = 90o ， Ð FAB = Ð EBD ，Q&

21、#160;线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的， AB = BD ，íÐFAB = ÐEBD ，在 V AFB 和 V BED 中，ì ÐAFB = ÐEïïîAB = BDV AFB   V BED AAS 

22、0;，() BF = DE =12a ，V BCD  =Q S1         1 1     1BC × DE =  × a × a =  a 2 ，2   

23、0;     2 2     4V BCD 的面积为a 2 14【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.3如图所示，(1)正方形 ABCD 及等腰 AEF 有公共顶点 A， EAF=90°，连接 BE、DF将

24、60;AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将(1)中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 AEF 变为 AEF，且 AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将(2)中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 AEF AEF，且 BAD= EAF=a，其他条件不变(2)中的结论是否发生变化？

25、结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF形成的锐角 【答案】（1）DF=BE 且 DFBE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DFBE；（3）不改变DF=kBE，=180°-【解析】【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AFAE，又 BAE 与 DAF 都与 BAF 互余，所以 B

26、AE DAF，所以 FAD  EAB，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE 于 G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出 EGF90°，所以 DFBE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，FAD  EAB，所以 DFkBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出

27、 EHF90°，所以 DFBE；（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出 EAF+ EHF180°，所以 DF 与 BE 的夹角 180°【详解】（1）DF 与 BE 互相垂直且相等证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G在正方形 ABCD 和等腰直角 AEF 中ADAB，AFAE，

28、60;BAD EAF90°  FAD EAB  FAD  EAB  AFD AEB，DFBE  AFD+ AFG180°，  AEG+ AFG180°，  EAF90°，  EGF180°90°90°， DFBE（2）数量关系改变，位置关系不变DFkBE，DFBE延长 DF 交 

29、EB 于点 H， ADkAB，AFkAEAD      AF= k ，   = kAB      AEAD  AF=AB  AE  BAD EAFa  FAD EAB  FAD  EABDF  AF=  

30、60; = kBE  AE DFkBE  FAD  EAB，  AFD AEB，  AFD+ AFH180°，  AEH+ AFH180°，  EAF90°，  EHF180°90°90°， DFBE（3）不改变DFkBE，180°a延长 DF 交 EB 的延

31、长线于点 H， ADkAB，AFkAEAD      AF= k ，   = kAB      AEAD  AF=AB  AE  BAD EAFa  FAD EAB  FAD  EABDF  AF=   

32、60;= kBE  AE DFkBEFAD  EAB 得 AFD AEB  AFD+ AFH180°  AEB+ AFH180° 四边形 AEHF 的内角和为 360°，  EAF+ EHF180°  EAF， EHF a+180° 180°a【点睛】本题（1）中主要利

33、用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在4如图 1，在 ABC 中， ACB90°，ACBC点 D、E 分别在 AC、BC 边上，DCEC，连接 DE、AE、BD点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点，连接 PM、PN、MN（1）PM 与 BE 的数量关系是，BE 与 MN

34、 的数量关系是（2DEC 绕点 C 逆时针旋转到如图 2 的位置，判断（1）中 BE 与 MN 的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若 CB6CE2，在将图 1 DEC 绕点 C 逆时针旋转一周的过程中，当 B、E、D 三点在一条直线上时，求 MN 的长度【答案】（1） PM =12BE, BE = 2

35、MN ；（2）成立，理由见解析；（3）MN 17 BD 、 AB 的中点，推出 PM / / BE ， PM =  11 或 17 +1【解析】【分析】（1）如图 1 中，只要证明 V PMN 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图 2 中，结论仍然成立，连接 AD 、延长 BE 

36、交 AD 于点 H .由 V ECB V DCA ，推出 BE = AD ， ÐDAC = ÐEBC ，即可推出 BH  AD ，由 M 、 N 、 P 分别 AE 、1BE ， PN / / AD ， PN 

37、=AD ，推出22PM = PN ， ÐMPN = 90° ，可得 BE = 2 PM = 2 ´（3）有两种情形分别求解即可.【详解】（1）如图 1 中，22MN = 2MN ； AMME，APPB， PM BE， PM = 1 BE ，2 BNDN，APPB， PN

38、 AD， PN =12AD ， ACBC，CDCE， ADBE， PMPN，  ACB90°， ACBC，  PM BC，PN AC， PMPN，  PMN 的等腰直角三角形， MN = MN = BE =2PM ，12 × BE ，22MN ，故答案为 PM =12B

39、E ， BE = 2MN （2）如图 2 中，结论仍然成立理由：连接 AD、延长 BE 交 AD 于点 H  ABC CDE 是等腰直角三角形， CDCE，CACB， ACB DCE90°，  ACB ACE DCE ACE，  ACD ECB，  ECB  DCA，&

40、#160;BEAD， DAC EBC，  AHB180°（ HAB+ ABH）180°（45°+ HAC+ ABH） 180°（45°+ HBC+ ABH）180°90°90°， BHAD， M、N、P 分别为 AE、BD、AB 的中点， PM BE， PM =1    

41、0;             1BE ，PN AD， PN = AD ，2                  2 PMPN， MPN90°， BE = 2 PM

42、 = 2 ´2 MN =2MN 2（3）如图 3 中，作 CGBD 于 G，则 CG = GE = DG =2 ，(  2 ) =当 D、E、B 共线时，在 BCG 中， BG =BC 2 - CG 2 = 62 -234 ，&#

43、160;BE = BG - GE =34 - 2 ， MN =22BE = 17 - 1 如图 4 中，作 CGBD 于 G，则 CG = GE = DG =2 ，(  2 ) =当 D、E、B 共线时，在 BCG 中， BG =

44、BC 2 - CG 2 = 62 -234 ， BE = BG + GE =34 + 2 ， MN =22BE = 17 + 1 综上所述，MN 17 1 或 17 +1【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学

45、会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.5在等边 AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重合，OAOB2，OCOD1，固定等边 AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 （0360°）（1）当 OC AB 时，旋转角 度；发现：（2）线段 A

46、C 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明应用：（3）当 A、C、D 三点共线时，求 BD 的长拓展：（4）P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段 PC 的最大值与最小值【答案】（1）60 或 240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）13+1   13 - 1或    

47、   ；（4）PC 的2       2íÐCOA = ÐDOB ，  AOC  BOD， AC=BD；最大值=3，PC 的最小值= 3 1【解析】分析：（1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC AB，此时旋转角

48、0;=60°或 240°（2）结论：AC=BD只要证明 AOC  BOD 即可（3）在图 3、图 4 中，分别求解即可（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的O 上运动，过点 O 作OHAB 于 H，直线 OH 交O 于 C、C，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段&

49、#160;CH 的长即为 PC 的最小值易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 1详解：（1）如图 1 中，  ABC 是等边三角形，  AOB= COD=60°， 当点 D 在线段AD 和线段 AD 的延长线上时，OC AB，此时旋转角 =60°或 240°故答案为 60 或 2

50、40；（2）结论：AC=BD，理由如下：如图 2 中，  COD= AOB=60°，  COA= DOBAOC BOD 中，ìOA = OBïïîCO = OD（3）如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OHAC 于 H在 COH 中， OC=1， COH=30°， CH=H

51、D=1       3，OH=   在  AOH 中，2      2AH= OA2 - OH 2 =1321 + 13， BD=AC=CH+AH=      2如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OHAC

52、0;于 H易知 AC=BD=AHCH=13 - 12综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为13 + 1   13 - 1或       ；2       2（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的O 上

53、运动，过点 O 作OHAB 于 H，直线 OH 交O 于 C、C，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 CH 的长即为 PC 的最小值易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值=3 1点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用

54、辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题6两块等腰直角三角板 ABC DEC 如图摆放，其中 ACB= DCE=90°，F 是 DE 的中点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点（1）如图 1，若点 D、E 分别在 AC、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想 FH 和 FG 的数量关系为_和位置关系为_；（2）如图 2，若将三角板 DE

55、C 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图 3，将图 1 DEC 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明【答案】（1）相等，垂直（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是 FH=FG，FHFG【解析】试题分析：（1）证 AD=BE，根据三角形的中位线推出 FH=1   

56、            1AD，FH AD，FG=  BE，2               2FG BE，即可推出答案；（2ACD  BCE，推出 AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接 BE、AD，根据全等推出 AD=

57、BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案试题解析：（1）解： CE=CD，AC=BC， ECA= DCB=90°， BE=AD， F 是 DE 的中点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点， FH=1               1AD，FH AD，FG= 

58、60;BE，FG BE，2               2 FH=FG， ADBE， FHFG，故答案为相等，垂直（2）答：成立，证明： CE=CD， ECD= ACD=90°，AC=BC，  ACD  BCE AD=BE，由（1）知：FH=1      &#

59、160;        1AD，FH AD，FG=  BE，FG BE，2               2 FH=FG，FHFG， （1）中的猜想还成立（3）答：成立，结论是 FH=FG，FHFG连接 AD，BE，两线交于 Z，AD 交 BC 于&#

60、160;X，同（1）可证 FH=1               1AD，FH AD，FG=  BE，FG BE，2               2íÐACDÐBCE ，ïCECD 三角形&#

61、160;ECD、ACB 是等腰直角三角形， CE=CD，AC=BC， ECD= ACB=90°，  ACD= BCE，ACD BCE 中ì ACBCïî  ACD  BCE， AD=BE， EBC= DAC，  DAC+ CXA=90°， CXA= DXB，  DXB+ EBC=90°，&

62、#160; EZA=180°90°=90°，即 ADBE， FH AD，FG BE， FHFG，即 FH=FG，FHFG，结论是 FH=FG，FHFG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键7如图 1，在锐角 ABC 中， ABC=45°，高线 AD、BE 相交于点 F（1）判断 B

63、F 与 AC 的数量关系并说明理由；（2）如图 2ACD 沿线段 AD 对折，点 C 落在 BD 上的点 M，AM 与 BE 相交于点 N，当 DE AM 时，判断 NE 与 AC 的数量关系并说明理由【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=12AC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图 1，证明 ADC  BDF

64、（AAS），可得 BF=AC；（2）如图 2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则 ABE= CBE，结合（1）得： BDF  ADM，则 íÐADC = ÐBDF ，ï AD = BD DBF= MAD，最后证明 ANE= NAE=45°，得 AE=EN，所以 EN=试题解析：（

65、1）BF=AC，理由是：如图 1， ADBC，BEAC，  ADB= AEF=90°，  ABC=45°，  ABD 是等腰直角三角形， AD=BD，  AFE= BFD，  DAC= EBC，ADC BDF 中，ìÐDAC = ÐDBFïî  ADC  BDF（AAS），

66、60;BF=AC；（2）NE= 1AC，理由是：2如图 2，由折叠得：MD=DC， DE AM， AE=EC， BEAC，12AC AB=BC，  ABE= CBE，由（1）得： ADC  BDF，  ADC  ADM，  BDF  ADM，  DBF= MAD，  DBA= BAD=45°，  D

67、BA DBF= BAD MAD，即 ABE= BAN，  ANE= ABE+ BAN=2 ABE， NAE=2 NAD=2 CBE，  ANE= NAE=45°， AE=EN， EN= 12AC8如图：在 ABC 中， ACB=90°，AC=BC， PCQ=45°，把 PCQ 绕点 C 旋转，在整个

68、旋转过程中，过点 A 作 ADCP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E（1）如图，当 PCQ 在 ACB 内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图，当 CQ 在 ACB 外部时，则线段 AD、BE 与 DE 的关系为_；（3）在（1）的条件下，若 CD=6，BCE=2S ACD，求 AE 的长【答案】(1)见解析 （2）AD=BE

69、+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长 DA 到 F，使 DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 CE=CF，再求出 ACF= BCE，然后利用“边角边”ACF BCE 全等，根据全等三角形的即可证明 AF=BE，从而得证；（2）在 AD 上截取 DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出 ACF= BCE，然后利用“边角边”ACF BCE 全等

70、，根据全等三角形的即可证明 AF=BE，从而得到 AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出 CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出 AF=2AD，然后求出 AD 的长，再根据 AE=AD+DE 代入数据进行计算即可得解试题解析：（1）证明：如图，延长 DA 到 F，使 DF=DE CDAE， CE=CF，  DCE= DCF= PCQ=45°，  AC

71、D+ ACF= DCF=45°又  ACB=90°， PCQ=45°， íÐACF = ÐBCE ，  ACF  BCE（SAS）， AF=BE， AD+BE=AD+AF=DF=DE，即  ACD+ BCE=90°45°=45°，  ACF= BCEACF BCE 中，ì

72、;CE = CFïïîAC = BC íÐACF = ÐBCE ，  ACF  BCE（SAS）， AF=BE， AD=AF+DF=BE+DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图，在 AD 上截取 DF=DE CDAE， CE=CF，  DCE= DCF= PCQ=45°，  E

73、CF= DCE+ DCF=90°，  BCE+ BCF= ECF=90°又  ACB=90°，  ACF+ BCF=90°，  ACF= BCEACF BCE 中，ìCE = CFïïîAC = BCAD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE（3）  DCE= DCF= PCQ

74、=45°，  ECF=45°+45°=90°，  ECF 是等腰直角三角形， BCE=2S ACD， AF=2AD， AD=    1 CD=DF=DE=6 S1 + 2×6=2， AE=AD+DE=2+6=8点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三

75、角形是解题的关键9如图 1，在 ADE 中， DAE=90°，C 是边 AE 上任意一点（点 C 与点 A、E 不重合），以 AC 为一直角边在 ADE 的外部作 ABC， BAC=90°，连接 BE、CD（1）在图 1 中，若 AC=AB，AE=AD，现将图 1 中的 ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角&#

76、160;，得到图 2，那么线段 BECD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；（2）在图 1 中，若 CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图 1 中的 ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角 ，得到图 3，连接 BD、CE求证： ABE  ACD；计算：BD2+CE2 的值【答案】（1）BE=CD，BECD，理由见角；（2）证明见解析；BD2+CE2=170【解析】【分析】（1）结论：BE=CD，B

77、ECD；只要证明 BAE  CAD，即可解决问题；（2）根据两边成比例夹角相等即可证明 ABE  ACD由得到 AEB= CDA再根据等量代换得到 DGE=90°，即 DGBE，根据勾股定理得到 BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算【详解】（1）结论：BE=CD，BECD理由：设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 CD 的交点为点 G，如图 2CAD&#

78、160;BAE 中， íÐBAE = ÐCAD ，  CAD  BAE， CD=BE，  CAB= EAD=90°，  CAD= BAEìAB = ACïïîAE = AD ACD= ABE  BFA= CFG， BFA+ ABF=90°，

79、  CFG+ ACD=90°，  CGF=90°， BECD（2）设 AE 与 CD 于点 F，BE 与 DC 的延长线交于点 G，如图 3  CABB= EAD=90°，  CAD= BAE CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，AE  AD=    =2， &#

80、160;ABE  ACD；AB  AC  ABE  ACD，  AEB= CDA  AFD= EFG， AFD+ CDA=90°，  EFG+ AEB=90°，  DGE=90°， DGBE，  AGD= BGD=90°， CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2， BD2+CE2=

81、CG2+EG2+BG2+DG2 CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2， BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键10如图 1ACB、 AED 都为等腰直角三角形， AED= ACB=90°，点 D 在 AB 上，连CE，M、N 分别为 BD、CE&#

82、160;的中点（1）求证：MNCE；（2）如图 2 AED 绕 A 点逆时针旋转 30°，求证：CE=2MN【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）延长 DN 交 AC 于 F，连 BF，推出 DE AC，推出 EDN  CFN，推出DEENDN=，求出 DN=FN，FC=ED，得出 MN 是中位线，推出 MN BF，证CFCNNF

83、0;CAE  BCF，推出 ACE= CBF，求出 CBF+ BCE=90°，即可得出答案；（2）延长 DN 到 G，使 DN=GN，连接 CG，延长 DE、CA 交于点 K，求出 BG=2MN，证 CAE  BCG，推出 BG=CE，即可得出答案试题解析：（1）证明：延长 DN 交 AC 于 F，连 BF， N 为&

84、#160;CE 中点， EN=CN，  ACB AED 是等腰直角三角形， AED= ACB=90°，DE=AE，AC=BC，  EAD= EDA= BAC=45°， DE AC，  EDN  CFN，DE  EN  DN=    =     ，CF 

85、0;CN  NFíÐCAEÐBCF  ，ï AECF EN=NC， DN=FN，FC=ED， MN BDF 的中位线， MN BF， AE=DE，DE=CF， AE=CF，  EAD= BAC=45°，  EAC= ACB=90°，CAE BCF 中，ìCABCïî  

86、CAE  BCF（SAS），  ACE= CBF，  ACE+ BCE=90°，  CBF+ BCE=90°，即 BFCE， MN BF， MNCE（2）证明：延长 DN 到 G，使 DN=GN，连接 CG，延长 DE、CA 交于点 K，íÐDNEÐGNC ，ï ENNCí

87、08;CAEÐBCG ，ï AECG M 为 BD 中点， MN BDG 的中位线， BG=2MN，EDN 和CGN 中，ì DNNGïî  EDN  CGN（SAS）， DE=CG=AE， GCN= DEN， DE CG，  KCG= CKE，  CAE=45°+30

88、°+45°=120°，  EAK=60°，  CKE= KCG=30°，  BCG=120°，CAE BCG 中，ì ACBCïî  CAE  BCG（SAS）， BG=CE， BG=2MN， CE=2MN【点睛】考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力11如图，点&

89、#160;A 是 x 轴非负半轴上的动点，点 B 坐标为（0，4），M 是线段 AB 的中点，将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 F，过点 B 作 y轴的垂线与直线 CF 相交于点 E，连接 AC，BC，设点 A 的横坐标为 t（）当 t=2 时，求点 M 的坐标；（）设 ABCE 的面积为 S，当点 C 在线段 EF 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（）当 t 为何值时，BC+CA 取得最小值【答案】（1）（1，2）；（2）S=32t+8（0t8）；（3）当 t=0