2020-2021学年高考押题金卷(全国卷ⅰ)数学(理)试卷及答案解析

1、绝密启封前高考押题金卷（全国卷I ）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第 n卷（非选择题）两部分。满分 150 分.考试时间为120 分钟注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名、 考试科目 ”与考生本人准考证号、 姓名是否一致。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第 n卷必须用0.5毫米黑色签字笔 书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第I卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题

2、 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1 .若集合M x|x2 x 0, N y|y ax(a 0, a 1), R表示实数集，则下列选项错误的是A. M I N MB. MUN RC. M I CrND. CrM U N R2 .复数Z）,Z2在复平面内对应的点关于直线y x对称，且Zi 3 2i,则亘 （）Z2A,超135 .i 13B.125 .i13 13C.125 .i13 1312 D.135 .i 133 .将三颗骰子各掷一次，记事件A=三个点数都不同"，B=至少出现一个6点”，则条件概率P （A|B）是（）A. B. C. D.,兀4 .曲

3、线y=sinx, y= cosx与直线x= 0, x= 2所围成的平面区域的面积为()兀兀A. (sinx cosx)dxB 2 一 (sinxcosx)dx00兀兀C一(cosxsinx)dxD 2 一 (cosxsinx)dx005 .按右图所示的程序框图，若输入 a 110011,则输出的b ()D. 516 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为 矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是则该锲体的体积为多少？”已知l丈为10尺，该锲体的三视图如图所示

4、,A. 10000立方尺B. 1 1000立方尺C. 12000立方尺D. 13000立方尺7 .设Sn是等差数列&的前n项和，若S4S3,则S等于S16A.19B.S10C.-3D.188 .已知。是 ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且 2OA OB OC 0 ,那uuiruuur(A) AO OD(B)uurAOuuruuur2OD (C) AOuuur 3ODuuur uurD2AO OD9.已知点P(x,y)满足 y4,过点P的直线与圆x22y 14相父于A B两点，则| AB |的最小值为(A. 2B. 2娓C. .2,5D. 42210.已知Fi,F2是双曲线C：q

5、2r 1(a 0,b 0)的两个焦点，P是C上一点，若 a b| PF1 | |PF2| 8a2,且 PF1F2的最小内角为30°,则双曲线 C的离心率是A. J2B.2C. .3D. 311数列&的通项公式为an=(1 1)n 1,关于既命如下命题： nP1: 时为先减后增数列；P2: 列为递减数列；P3：n N*, aneP4： n N*, an e其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a,球的半径为 R.

6、设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan( )的值是()AB.C. D.第n卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13 . xjy yJX的展开式中3 3x3y3的系数为。14 .已知等比数列an满足an1an*N则数列an的前n项和&为；15.已知过点M (1, 1)的直线l与椭圆相交于A，B两点，若点 M是AB的中点，则直线l的方程为.16.设数列an为等差数列，且an38若 f (

7、x) sin 2x 2cos2x,记 bnf (an),则数列bn的前21项和为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)四边形ABCD如图所示，已知 AB BC CD 2, AD 2行.(1)求 3C cos A cos C 的值；记 ABD与BCD的面积分别是§与S2 ,求S2 S；的最大值.18 .(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去 50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足 80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有3

8、5年，超过 120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年 入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过 120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080WXW120X>120发电机最多123可运行台数若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台?19 .(本小题满分12分)如图1,等腰梯形ABCD中，AB 2,CD 4, ADC BCD

9、600。取线段CD中点E ,将ADE沿AE折起，如图2所示。(I)当平面ADE折到与底面ABCE所成的二面角为900时，如图3所示，求此时二面角A BD C平面角的余弦值。(n )在将 ADE开始折起到与 ABE重合的过程中，求直线 DC与平面ABCE所成 角的正切值的取值范围。20 .(本小题满分12分)已知点 A(x' y) , B(X2,y2)(x1X20)是抛物线y2 Px(p 0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA , OB满uuu uuu 足 OA OBuuuOAuuuOB .设圆C的方程为2y (X x2)x (y y2)y(I)证明线段AB是圆C的直径(II)当圆C的

10、圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求 p的值。21.(本小题满分12分)已知函数f x ln x 12a(I) 当a=1时，求证：f1(其中e为自然对数的底数)x 1（II）设函数f x存在两个极值点，并记作x1,x2，若f x1 +f x24,求正数a的取值范围；请考生在（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 .（本小题满分10分）选彳4 44:坐标系与参数方程已知点P的直角坐标是（x, y）.以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点

11、P的极坐标是（，），点Q的极坐标是（，+ 0）, 其中0是常数.设点Q的平面直角坐标是（m, n）.用x，y,0表示m, n；（n）若m, n满足mn=1 ,且0 =,求点P的直角坐标（x, y）满足的方程.23.（本小题满分10分）选彳45：不等式选讲已知 a, b, c>0, a+b+c=1.求证：（I）.a .b c ，、3；（11） 1 3.3a 13b 1 3c 12高考押题金卷（全国卷I ）理科数学1 .进一步加强对数学“双基”一一即基本知识，基本技能的考查，强调数学思想方法 的应用，注重数学能力的考查 .2 .全国卷采用12个选择题，4道填空题，5道必选题，另外加后面的 2

12、选1 （极坐标 与参数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道），共150分，用时2个小时.3 .新考纲变化有：（1）注重数学文化的考查；（2）试卷最后的选做题由原来的2选1变成2选1,删掉了平面几何的选考.4 .本押题卷严格按照新课标I要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要 求，体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题5 .考察复数的基本运算，及复平面关系为容易题6 .考察概率的基本运算及条件概率。参考2013课标1卷19题2016年课标2卷18题7 .考察三角函数图像问题以及定积分的意义。参考2010年新课标1卷8 .考察算

13、法，本题是计算进制转换的一个程序。9 .考察立体几何空间想象能力和还原三视图，对数学文化的了解。 参考2012年课标1卷7题，2015年新课标1卷。10 等差数列的基本性质，前 n项和的性质。参考 2013年课标1卷数列的选择题11 平面向量的三角形关系转化。命题参考2014年新课标1文7理15, 2015年新课标1理科第7题12 考察线性规划的知识与圆的位置关系相结合。命题参考2016年课标1文15题13 .考察双曲线的基本定义和三角形几何性质的意义。命题参考2012年新课标1理科4,2014年新课标1理科10等14 .考察数列的单调性，分析归纳猜想能力，借用函数研究数列。命题参考2013年

14、理1215 .考察立体几何球面关系及三角形性质。命题参考2012年新课标1理科1116 .二项式定理展开问题。命题参考2015年新课标117 .等比数列的相关性质及求和问题。2013年理科1418 .直线与椭圆的关系，中点弦问题点差法解决， 命题参考2010年新课标1理12, 2013年新课标1理科1019 .三角函数基本性质， 数列求和问题，函数对称性的研究， 命题参考2011年新课标1理科12, 2013年新课标1理科16.部分试题解析3 .解：根据条件概率的含义，P (A|B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在 至少出现一个6点”的情况下，三个点数都不相同”的概率，至少出现一个

15、6点”的情况数目为6X6X6-5X5X5=91,三个点数都不相同”则只有60一个 6 点，共 CXSXduGO 种，P (A|B)川1 ;兀4 .解析 当xC 0, 2时，y=sinx与y= cosx的图像的交点坐标为，吏，作图可知 42,兀一 ，、一 , 一一 -曲线y=sinx, y=cosx与直线x= 0, x = 2所围成的平面区域的面积可分为两部分: ,一一兀一 分是曲线y= sinx, y= cosx与直线x= 0, x=一所围成的平面区域的面积；另一部分是曲4，r-，r兀线 y=sinx, y= cosx 与直线 x= 4,x=2所围成的平面区域的面积且这两部分的面积相等，结合定

16、积分的定义可知选D.5 .经计算得b0112120234520 21 21 251S.17解析：-4S83得 S4：(S8 S4)1:2,S4,(S8 S4),(S12S8),( &6&2)成等S4 ： (S8 S4) ： (S12 S8)：(Si6 S12) 1:2: 3:4-8 =12-161 2 3 4310也可利用直接法，但计算量较大。8 解析：D 为 BC 边中点， OB OC 2OD , 2OA OB OC 0 ,一 一 - uur uurOA OD 0,即 AO OD,x y 49 .【解析】不等式组 y x 所表示的平面区域为CDE及其内部，其中 C(1,3),

17、x 1D(2,2), E(1,1),且点C,D,E均在圆x2 y2 14的内部，故要使得| AB最小，则AB OC , Q OC =斤 AB =2414 10=4 ,故选 D.10 .不妨设点P在双曲线右支，匕下2分别为左，右焦点，有|PF" IPF2I 2a,由IPF1I IPF2I 8a2,可得 |PF" 4a,|PF2| 2a,由 |FiF?| 2c 2a知，PFF2的最小内角为 PF1F2 30 ,从而 PF1F2为直角三角形，FiF2P 90 ,此时双曲线离心率 e 曲，故选C.11.C首先取对数得hid - +« ,由此可知an的单调性与In 4的相同

18、，故此先研的单调性。构造函数,通过二次求导便可研究它的单调性,进而得到数列的有界性。12.SSODMM,O E十一p如图，右侧为该球过SA和球心的截面,由于三角形 ABC为正三角形,所以D为BC中点,且 AD BC,SDBC,MD BC ,故 SDAMDA设SM平面ABCP,则点P为三角形ABC的重心，且点 P在AD上,SM 2R, AB ADPAPD a ,因此6tan(tantanSP MPPD PDtan tanMPPDPD SM2PD2 SP MPPD SM22PD2 PA2.3a_6_2a122R盛R rR.3a4一13.解：x 百 y Vxx y (Tx只需求(JX jy)4展开式

19、中的含xy项的系数：C： 6 3(2n 1)316.由题意f(x) sin2x cos2x 1 必in 2x _1,易知f(x)关于 1中心对483称，数列an为等差数列，故f(a1) f(a21) 2 f (即)，且f (知)f 1 ,故数 8列bn的前 21 项和 S21 f(a1) f(a2)Lf (a4 ) 21 .17.解：(1)在 ABD 中，BD 2 AB2 AD 2 2AB AD cos A 16 873 cos A ,在 BCD 中，BD2 BC2 CD2 2BC CD cosC 8 8cosC ,所以.3 cos A cosC 1 .(2)依题意 S12 1AB2 AD2s

20、in2A 12 12cos2 A,4S1 1BC2 CD2sin2C 4 4cos2C ,4所以 S12 S2 12 12 cos2 A 4 4cos2 C 16 4(cosC 1)2 4cos2 C-21、28cos C 8cosC 12 8(cosC -)14 ,2因为 2g 2 BD 4,所以 8 8cosC BD2 (16 8,16).解得1 cosC <3 1,所以S12 S； 14,当cosC1时取等号，即S12 S；的2最大值为14.18.解：(1)依题意，p1 = P(40<X<80) ="=0.2,50p2= P(80<X< 120)

21、= M 0.7,5 p3=p(X>120)=0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p= C0(1 - p3)4、39 49 31+ 04(1-p3) p3= + 4X - X = 0.947 7.(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润 Y= 5 000, E(Y)=5 000X1 = 5 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，1台发电机运行,此时丫=5 000 800=4 200,因此 P(Y= 4 200)= P(40<X

22、<80)=pi=0.2;当X>80时，2台发电机运行，此时 Y= 5 000X2= 10 000,因此P(Y= 10 000) =P(X>80)=p2+p3=0.8；由此得 Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)= 4 200 X0.2+ 10 000X0.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，1台发电机运行， 此时Y=5 000- 1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=pi=0.2;当 80WXW120 时，2 台发电机运行，此时丫=5 000X2 800=9

23、 200,因此 P(Y=9 200)=P(80WXW 120)=p2=0.7;当 X>120 时,3台发电机运行，此时 丫= 5 000X3= 15 000,因此 P(Y= 15 000)=P(X>120) = p3=0.1,由此得Y的分布列如下Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)= 3 400 X0.2 + 9 200X0.7+ 15 000X0.1 = 8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.19.解：(I )在图3中取AE中点0 ,建立直角坐标系。/平面_平面_ /及DO匚平面平面现正-平面.始CE = AE DO

24、 二平面.MCE易知日仁BE :.B0 _ AC _ _可取0为原点建立直角坐标系裸却DO) J电点gq-2.同工以0。同 (-1.0=0)二 *15 = f-L 飞氏= 0值初= (2T0,0) 设平面法向量为=(工3。平面召。法向量为哨二(K J”)贝怛丁 -：+国;、卜后匕.可取平面曲法向量 =(75X1)DB n = /3y y/3z = 0y =-CS - w = = 0jc = 0 i-_ _ 广 n一可取平面1MZ)法向量加工(01 3- 第二向-在=。= z- 明忸cos <> 旧|审|5''.(n)在图2中作DF D B,父D B于F点易知00平面

25、DD又； D广一 D B DF _ 平面.MCE二在折动过程中，直线DC与平面一或CE所成的角为一OCF 设。F 二 r 五。二用=则 F8 = ?/ fFC = FS1 BC2 =JJ-4 e+ 16FO=£-3 .DF = JDO2 -FO-=握我-I一：ze k 20-F：.tan ' _DCF =i- =-FC. 厂系所4161k.26)-6("人耳) 版S=三京ITw血福则,加(二:倔山)，二reQ4时/30 rg召入后卜鼠二0 33二 r 寸,g(2)加 =广32即r = :用寸；讪,DCF最大值为32对于画二一也可用基本不等式求最侑口17屈十16(2)

26、本小题也可以用向量法解决。uuu uuu uuu uurOA OB , (OA OB)2uur uuu(OA OB)2uuu uuu20.【解析】(I)证明1: Q OA OBuuu2 uuu Luuuuu 2uu»2uuu uuruL«2OA2OA OBOBOA2OA OBOBLuu uiu整理得：OA OB 0 x1 x2 y1 y2 0LuLT UULT设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MA MB 0即(x Xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0整理得:x22y (Xi X2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径证明七"

27、十砺卜|如一函卜一（石十通尸.（8一朝）;而一京丽+ 丽,=0A - 2OA-0B整理得：OA-OB = 0二再 %+当$=0 .（1）设L&T）是以续段AB为直径的圆上刚= 二一 1（工工看=工工三）x一均工一两去分母得；（k-而又石一坐）一。一 H心一打）=0点ny）:（再二J Jj"上,A 2*清星上方程:展开并博代人得:? + v:+ xx- （Ij 4 J3）F = 0故缓葭是圆C的直径uuu证明3： Q OAuuuuuu uuu uuu uuu 0OB OA OB , (OA OB)2uur uur 0(OA OB)2uuu2uuu uuu uuu2 uur2OA

28、2OA OB OBOAuuu uum uuur2 2OA OB OBuuu uiu 整理得：OA Ob 0 x1 x2 y1y2 0 以线段AB为直径的圆的方程为x1 x2 2 y1y2 2 i22(x -J)(y 1-)-(x x2)(yi y2)224展开并将（1）代入得：x22y (xi x2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径XiX22yi y222222yi y2Q yi2 pxi, y22 Px?(p 0) X1X2二4P22yi V2 又因 xiX2yiy20xix2yiy?ViV2-24p2Q xi X2 0, yi y2 0 yi y2 4pxi x2 i22i2

29、2y1y2i22x -(yiy2 )(yiy2 2yiy2)-(y 2p)24p4 p4 pp所以圆心的轨迹方程为 y2 px 2 p2设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则|x 2y|5i 22I (y2 2p2) 2y|_p<5|y2 2py 2p2| 5p22I(y p)2 p2I,5p当y=p时,d有最小值 上，由题设得 运 p 2 . 555M +工 产一 解法二设圆C的同心为0.KW)；则； - j；三工吟A f = 2 Ps > 0)二为七=十二又因内吨 f % 二 °二在士 = F "f g4P；号

30、勺工 0“ Ci J1= 0 - Vi -v： = 7/其一乂 r、Ifr片口 1rr.v = " . = Qi- =Ch* + yf -r上)-三d=一er + 3)2 4P4P4P p所以留心的轨迹方程为r=px-2p-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为25，则m 2因为 x-2y+2=0 与 y25px 2p2无公共点，所以当x-2y-2=0与y2 px 2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为义5522py 2p 2 p 02y 2 0L (2)9将(2)代入(3)得px 2p2L 2_ 2 _4 P4(2 p2p)0 02.解法3:设圆C的

31、圆心为C(x,y),则x1x22v y2XiX2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d(yiy2)I2222yi y2Q yi 2 pX1 , y22 PX2(P 0) X1X2 - 24P22yi y2 又因 XiX2yiy20XiX2yy?ViV224p当”+= 2户时一 d有最小值-4 .由题谀得-4二【点评】本小题考查了平面向量的基本运茸一旦鸟抛物线的方程.点到直续的距寓公式等 基础知识，以及综合运用解析几何知识解决何题的能力.2i. ( 1 )当 a i 时，f(X) ln(X i) Xi i 一 .i i不等式f(X)可化为ln(X i) f,所以 e x ix i e要证不等式

32、f (x)i i即证ln(x i) =7 , 即证x i eIn x111x 1设 h(x) ln x ，则 h (x) 2-, xx x x在(0,1)上，h' (x) < 0, h (x)是减函数；在 (1,)上，h' (x) >0, h (x)是增函数.1所以h(x) h(1) 1,设(x) =，则(x)是减函数, e一，r 一1所以(x)(0) 1,所以(x) h(x),即 lnx 1x11所以当a 1时，不等式f(x),成立.x I e x 12(n) f(x)，2a x a(a 2)2,()x 1(x a) (x 1)(x a)当a 2时， x 0,f (x)2x2 a(a 2) 2(x 1)(x a)0 ,函数f (x)在(0,)上是增函数;当0 a 2时，由f (x)0,得 x2 a(a 2) 0 ,解得 xJa(2 a)(负值舍去)，x2 <a(2 a),当a 2时，f (x) 0,函数f(x)无极值点;要使函数f(x)存在两个极值点，必有0 a2 ,且极值点必为x1a(2 a),x2 qa(2 a),又由函数定义域知，x 1 ,则有 Ja(2 a)2.%：a(2 a) 1 ,化为(a 1)0 ,所以 a 1 ,所以，函数f(x)存在两个极值点时，