材料力学习题及答案

1、材料力学-学习指导及习题答案第一章 绪论M的力偶作用。试问在杆件的任1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为 一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。精选解：从横截面 m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx,即扭矩，其大小等于M。1-2如图所示，在杆件的斜截面 m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa,其方位角8 =20° ,试求该点处的 正应力O-与切应力T 。解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角a =10 ° ,故(r = pcosa =120Xcos10° =118.2MPar =psina =120Xs

2、in10° =20.8MPa1-3图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为(rmax=100 MPa,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力Fn=100 X 106X0.04 X 0.1/2=200 X 103 N =200 kN 其力偶即为弯矩Mz=200X (50-33.33) X 103 =3.33 kN - m1-4板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及 A点处直角 BAD的切应变。市-万

3、J10O,13 + 0,？ -100 一=一 = 0.001100Aff - AB 100 1-100=«= 0 001AB100心3%1。.2-1。、0叱AD100了加力=-弘白+ N5%S 用-AL + _AL = 9,97X1。"吨100 2 100.1第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。Fn，max=F解：(a) Fnab=F,Fnbc=0,(b) FnAB=F,FnBC= F,FN,max=FFn, max=3 kN Fnab=2 kN, Fn2bc=1 kN,Fncd=3 kN,F N . max=1 kN(d) Fnab=1 kN,

4、Fnbc= 1 kN,2-2图示阶梯形截面杆 AC,承受轴向载荷 Fi=200 kN与F2=100 kN, AB段的直径di=40 mm。如欲使BC与Hl - 12)nd； 兀潟1 T由此求得= 49.0 mm解：因BC与ab段的正应力相同，故4444由好得 -49.0mmab段的正应力相同，试求 BC段的直径。2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2,载荷F=50 kN。试求图示斜截面 m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。解:横截面上的应力cr = = 100 MPaA斜截面上的正应力 = crcos5 a= 100 xcos3 500 = 41.3

5、MPa斜截面上的切应力 q = -sin 2cr = 50xsin 100° = 49.2 MPaill杆内的最大正应力= a= WO MPa杆内的最大切应力 =/50 MPa24 (2-11)图示桁架，由圆截面杆1与卞f 2组成，并在节点 A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d=30mm和d2=20mm ,两杆的材料相同，屈服极限s=320MPa,安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。练151n 300= sm 450一匚口£眈+/345口=口解：由A点的平衡方程% cos3J 未0 3叫5口 = F可求得1、2两杆的轴力分别为Fjn - 5S ,564

6、kN, %-41,411kN杆的许用应力仃三二三帕口 MPa两杆的应力百二加二吃9 Mp曰cr月1生=- = 131.8 MPa cr4由此可见，桁架满足强度条件。25 (2-14)图示桁架，承受载荷 F作用。试计算该载荷的许用值 F。设各杆的横截面面积均为 A,许用应力均为山。叫=& 综sin 45。= F二垃F商）解：由c点的平衡条件£凡=5% =为1匚。5针=尸（压）由B点的平衡条件ZFv -0,耳（3 二不。0娟50 二产（压）J由 M、，1杆轴力为最大，由其强度条件得闿=一/2 6 （2-17）图示圆截面杆件，承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为 d,端部墩头的直径为

7、 D,高度为h, 试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力（r=120MPa,许用切应力 "=90MPa,许用挤-幽F（J r-7L d”解：由正应力强度条件4由挤压强度条件%飞5=卬4式（1）：D: h: d=1.225: 0.333: 1EFr = ，二t由切应力强度条件' ,=、伫=1,225- = - = 0.333式（3）得金式（1）:式（2）得“？故压应力bbs=240MPa。27 (2-18)图示摇臂，承受载荷 Fi与F2作用。试确定轴销 B的直径d。已知载荷Fi=50kN, F2=35.4kN ,许用切应力r =100MPa ,许用挤压应力d bs

8、=240MPa 。b)所示。解：摇臂ABC受Fi、F2及B点支座反力Fb三力作用，根据三力平衡汇交定理知Fb的方向如图(£腹厂=0,9日.4。75=鸟.40由平衡条件耳上二3536 kN由切应力强度条件立下=%=凸$葭得>15.0mmA 工d丁由挤压强度条件= _L=<tTul 得Q.Qld故轴销B的直径* = 15" mm第三章轴向拉压变形3-1图示硬铝试样，厚度 B =2mm ,试验段板宽b=20mm ,标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试竺方竺？-歹-53-2(3-5)图示桁架，在节验段伸长A l=0.15mm,板宽缩短A b=0.014m

9、m。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比科。用F7U = 一 得 E-= 70 GPa解：由胡克定律 £且心入用点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆 1与杆2的纵向正应变分别为 £ 1=4.0X 10-4与£ 2=2.0 X 10-4 0试确定载荷F及其方位角0之值。已知杆1与杆2的横截面面积 Ai=A2=200mm2,弹性模量Ei=E2=200GPa。解：杆1与杆2的轴力(拉力)分别为4二耳耳耳=16 kN, F温二旦F? 4 = 8 IcW由A点的平衡条件£F”(Z 2?3in= sin30c-sui300 工可二5 尸g£日二稣工ss3CT+/

10、 8£30°(1)2+(2)2并开根，便得F =4小十飞十2五m （ms町。口 Tin " 300）:21 2 kN式(1):式(2)得tan 9 =F网i sin 300 - / sin 300=。,192工&= 10,9s3-3(3-6)图示变宽度平板，承受轴向载荷 F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为B ,长为1,左、右端的宽度分别为bi与b2,弹性模量为E。解:r jFdx f 尸也 _ 矶目0£,给二工+瓦的囱-瓦地,)瓦3-4(3-11)图示刚性横梁 AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度(即产生单位轴向变形所需

11、之力)为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。解：设钢丝绳的拉力为 T,则由横梁AB的平衡条件钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为A l/3, D点铅垂位移为2A l/3,则B点铅垂位移33-5（3-12）试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。设各杆各截面的拉压刚度均为EAo解：（a）各杆轴力及伸长（缩短量）分别为=（伸长），g=0, Ai4 =二皮献豆）左以SA 因为3杆不变形，故 A点水平位移为零铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即=0虫g=4眇+加2 = 2（1-左）鲁忌"（b）各杆轴力及伸长分别为如i -艮0网AA 7 二01 EA 2A点的水平与铅垂位移分

12、别为（注意AC杆轴力虽然为零,但对 A位移有约束）品T)，裳(J) 耳aiijni3-6（3-14）图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程on=B e表小（图b）为由实验测定的已知常数。试求节点 C的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为Ao(a)(b)则节点C的铅垂位移解：2根杆的轴力都为二 CQ5CL 2根杆的伸长量都为3-7(3-16)图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与卞f 3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量 E=200GPa,梁长 l=1000mm。解：各杆轴力及变

13、形分别为二/=彳综立 二0FI以三a/3三,&芸二。2取梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相=05mm2EA3-8(3-17)图示桁架，在节点 B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点B和C间的相对位移Ab/c。根据能量守恒定律，有2十我 sl八4筌42+烟卷9T3-9(3-21)由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为EiAi与E2A2。复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。解：设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2,则联立求解方程(1)、(2),Fni+Fn2=F(1)

14、变形协调条件为杆、管伸长量相同，即 斗4 与应小二 一4F ,:二得+/氏£4 +4也杆、管横截面上的正应力分别为5 = _殳=处,3=_至=虹_A 总圈+玛玛4 瓦月1 +斗马 杆的轴向变形8 =上星色一(缩用)3-10( %4+与4_ 3-10(3-23)图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积均为A,梁BC为刚体，载荷F=20kN ,许用拉应力(rt=160MPa ,许用压应力(T=110MPa。试确定各杆的横截面面积。解：设杆1所受压力为Fn1,杆2所受拉力为Fn2,则由梁BC的平衡条件得工前由=°， hl +声m=2FAn，_ 综/ ea'a 联立

15、求解方程(1)、故由杆1的压应力强度条变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即 41 = %(2)得 % = % =E因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力,件得A > 182 nun3-11（3-25）图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为（ri=40MPa, 7=60MPa, （T3=120MPa ,弹性模量分别为 E160GPa, E2=100GPa, E3=200GPa。若载荷 F=160kN , A=A2=2A3,试确定 各杆的横截面面积。解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为Fni（压）、Fn2（拉）、Fn3（拉），则由C点的平衡条件工耳

16、二°，/的300十 %=打 杆1、杆2的变形图如图（b）所示，变形协调条件为C点的垂直. . - &i+A/舁©s30口A/2 sin 300+ 8位 移 等 于 杆 3 的 伸 长， 即由31r1f1/定亦河30”区L十七全鼠。530口二iI-口100 2备160-2出100-2省 皿 3>2QQ-4x/15尸mi +3 29皿=区口由（3）在羊q+相73T /八1MHM联乂求解式（1）、（2）、得由三杆的强度条件22.631i1,- 26.131, 取 1监 9 kN注意到条件 A1=A2=2A3,取 A1=A2=2A3=2448mm2。3-12(3-30

17、)图示组合杆，由直径为 30mm的钢杆套以外径为 50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的狮钉连接在一起。挪接后，温度升高40。，试计算挪钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模. .一- 6 1、6 1量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为 ai s=12.5X10 C 与ai c=l6X10 C 。架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值， 现将杆3的设/乙l+A。试问当为何值时许用载荷最大，其值 Fmax为何。1 1勺:解：静力平衡条件为-1k i% -®208二0口 + /3 二产¥变形协调条件% /那 即“%8 3。口二型 8

18、承Q口EAEA3 小、/ 为4联立习3?494+3/4-b3j3幺2222/ 计长度i变为 .Ft 解式(1) 、(2) 、(3)得3-13(3-32)图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、£与山，试确定该桁解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为 Fn,变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即h心丁十旦L三勺砧一旦L号 A *%=P314 M挪钉剪切面上的切应力生z 59.3 MPaA杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件公二引可 得 四二（4 +M圾为A4若将杆3的设计长度l变为l+A ,要使许用载荷最大，只有三尸hl = % =F = crA杆的

19、应力都达到4 ,此时f J = 2/ g W+% ="拘团乂变形协调条件为M =(A/3+2f)cos300即空击=（铮+小划。3E精选第四章扭转4-1(4-3)图示空心圆截面轴，外径 D=40mm ,内径d=20mm ,扭矩T=1kN?m。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及 A点处(pA=15mm)的扭转切应力。解:% 31(3)16=S4.88MPa因为°与p成正比，所以r = t 12 = 4244 MPa ulmi min. i-L n。MPa, 皿204-2(4-10)实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速 n=100 r/min ,传递功率P

20、=10 kW,许用切应力p =80MPa , di/d2=0.6。试确定实心轴的直径 d,空心轴的内、外径 di和d2。精选T = $549x = 954 5bT m解：扭矩100由实心轴的切应力强度条件80x10* 得 J1 39.3mm it - d16由空心轴的切应力强度条件954.980k10s得 心 ,41.2 mm小工当父Q,6 < 24.7 nun4-3(4-12)某传动轴，转速n=300 r/min ,轮1为主动轮，输入功率 Pi=50kW,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为 P2=10kW, P3=P4=20kW。(1)试求轴内的最大扭矩;(2)若将轮1与轮3的位

21、置对调，试分析对轴的受力是否有利。解：(1)轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为Mi 二”49耳业二 1591.5 N-m300M2 = 318314 m=航4 = 636.6 N m轴内的最大扭矩,皿二巴+场=L273 kN m若将轮与轮3的位置对调，则最大扭矩变为T =M.=0.955 kN m最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。精选4-4(4-21)图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。解：(a)由对称性可看出， Ma=Mb,再由平衡可看出 Ma=Mb=M-Mr(b)显然Ma=Mb,变形协调条件为口口- M) a 汹好c+= U M - MQLGL

22、GL故内一改方,5PJ, 解得(c)(d)由静力平衡方程得r - ma联立求解式(1)、(2)得(D变形协调条件为4-5(4-25)图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN m,套管与芯轴的切变模量分别为Gi=40GPa与G2=80GPa。试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应 力。解：设套管与芯轴的扭矩分别为Ti、T2,则T1+T2 =M =2kN - m4”领4-42,厂即父的，变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即联立求解式（1）、（2）,得方W LW16kN.m,石三0.6加kN-m套管与芯轴的最大扭转切应力分别为13160 063

23、16-40.8 MPa634ji-0.0454 4 MPa164-6（4-28）将截面尺寸分别为 6 100mm x 90mm与6 90mm x 80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩M。管横截面上的最大扭转切应力。解：去掉扭力矩M。后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T, 设施加M。后内管扭转角为 巾0。去掉M。后，内管带动外管回退扭转角后，内、外（此即外管扭转角），剩下的扭转角（J）0-（h）即为内管扭转角，变形协调条件为2000 ZTlTI-十- 0.08+)tt(0.09+ - 0.Q84) 八兀(口广 一口.09，)Cj

24、L73232327 = 1165kN m内、外管横截面上的最大扭转切应力分别7厘Tt 0.03161165=21 7 MPaj 司51V 16 UOJ4-7(4-29)图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为B=10mm ,轴所承受的扭力矩为 M=5.0 kN - m,螺栓的许用切应力p=100MPa ,S6许用挤压应力 (T bs=300MPa 。试确定螺栓的直径 do3F5M为=-16.667 kN tn解：设每个螺栓承受的剪力为Fs,则三口由切应力强度条由挤压强度条件得 > 5.6 min d3 "士产

25、田得4 2146皿7T iflT件4故螺栓的直径d >14.6 mm精选精选第五章弯曲应力1(51)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及 Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。I)精选解：B正确。平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷 q(x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。当Ox坐标取向相反，向右时，相应 (b), A是正确的。但无论A、B弯矩的二阶导数在 q向上时，均为正，反之，为负。

26、2(52)、对于承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪一种是错误的。解：A是错误的。梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关， 该梁上的弯矩为正， 因此A是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着 y轴的正向。q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的。3(53)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|FQ|max和|M|max。(本题和下题内力图中,内力大小只标注相应的系数。)解:4(5 4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|m

27、ax。A端弯矩M(0)=0,试5(5 5)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知 确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。解:6(5 6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。解：(1)在Ox坐标中写出弯矩的表达式;(2)试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。13- qx + 6qax Mb二一5卷十4中2(万十出心之之57(57)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知E端弯矩为零。请:+4g曰(工一口工8(5-10)在图示梁上，作用有集度为 m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。解：用坐标分

28、别为x与x+dx的横截面，从梁中切取一微段，如图（b）。平衡方程为吟=6鸟_再_坞)=。喧.。ck= 0, Af + dAf- Af - 7(k- ffKfa - 0=区4烟dr '9（5-11）对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度 m）与相应内力（轴力或扭矩）间 的微分关系。解：（a）用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图 （c）。平衡方程为明=R （a + 叫|） + 4 也-国=0里j山（b）用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图=o. （y+d：o+” 长一丁二口打=m（d）o平衡方程为国10（5-18）直径为d的金属丝，

29、环绕在直径为 D的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为E。解:£凡必_ 5 _ dp 口工壮 口与&+ 2 2Ed0 + d11(5-23)图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问:(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值;(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值;解：(1)欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数% 66取极大值，为此令* 即曲d 1便得七=* ,人二而匚"二42(2)欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令兰=0即®上也口严（一型db1212 2、'、

30、便得A = , h - 4d2 - A2 - 2212(5-24)图示简支梁，由用18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变 好3.0X10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E=200GPa , a=1m。0.75%解：梁的 剪力图 及弯矩 图如图所示，从弯矩图可见k =2%q8y = 2x2OCxlO9 xSxlQ-* = 12。MPa13(5-32)图示槽形截面铸铁梁，F=10kN, Me=70kN m,许用拉应力(rt=35MPa ,许用压应力(rc=120MPa。试校核梁的强度。先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形250x150x125-1

31、00x200x150250x150-100x200=96.43 mm, 八=153.57 nun,150x5dU+ 150x50x71.43i50x200H-50x200x53.57a12=1.0186x10*弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。在C左截面，其最大拉、压应力分别为30x96.431.D186X10-*=2S.4 MPar30x153.571 0186 工 10 口45.2 MPa在C右截面，其最大拉、压应力分40x153.571.01S6xl0=0.3 MPar ,=40x96.431.0186x10-*-37.9 MPa=60.3 MPa,工即=45.2MP 占14

32、(5-35)图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。已知载荷F=4kN,梁跨度l=400mm ,截面宽度b=50mm,高度h=80mm ,木板的许用应力(r=7MPa ,胶缝的许用切应力。=5MPa。产 =解：从内力图可见一,-2FI9木板的最大正应力由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力3 F_工=i uMPa4旬2 bh可见，该梁满足强度条件。15(5-41)图示简支梁，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知 F=10kN, l=1m,b=90mm , h=180mm。(F知15号-15,2SMPahb2解:16(5-42)图示悬臂

33、梁，承受载荷Fi与F2作用，已知Fi=800N ,F2=1.6kN ,l=1m,许用应力(r=160MPa 。试分别按下列要求确定截面尺寸:(1)截面为矢I形，h=2b;(2)截面为圆形。800x21600x1*的=160x1 肝666(2)解：（1）危险截面位于固定端'=充1°皿6 " = "=7L2mmCT二小及2）:（曰尸也00父2八（侬。川.16。乂即3232d - 52.4 mm17（5-45） 一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即=4 bt。试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。解：加15皿_ I里j 此巧色也a又因yi

34、+y2=400 mm,故yi=80 mm, y2=320 mm。将截面对形心轴 z取静矩，得口二 60&x50-30x310x150 = 0 h 510 mm18（5-54）图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。试证明：当eWd/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。解:324d白=819(5-55)图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值。已知许用拉应力 bt=30MPa ,许用压应力(T c=90MPa 。解：故F的许用值为4.85kN。109q O.5F +H9斤工 0.3F6TT3F0.18x0.06 0-05X0.1

35、铲0 13x0 06-8025F66由 6173.<£7t = 30xl06 得 F <1.85 kN由 8025 <aJ=90x：Qe 将 FVILZkN精选精选解：式与1y截面的应力分别为:第七章 应力、应变状态分析7-1（7-1b）已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ）,试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。q = 40MPa ； q = 20Mpa ;%=0 ; or = -30°I ，MPa40-0stn(+ 20gs(8巧= -10 阴+ 10 =-工 3MPa7-2(7-2b)已知应力状态如图所示(应力单位为MPsi ),试用解析法

36、计算图中指定截面的正应力与切应力。解：天与,截面的应力分别为:crT = -30MPa ； Tr =20MPa ; O;,=1QMP自； . q = -3°jl)+ -3；'"1"(；os(45°)-2Qsin(45J)-M-l。层-拈 2sMpd-30-10=皿例+ 2。匚口式4为2=-20”5+20:总=07-3(7-2d)已知应力状态如图所示(应力单位为MP鱼)，试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。解：如图，得：指定截面的正应力二二一：一【匚二二二工，二二fl，二二:切应力一 .：二11一 小：二三57-4（7-7）已知某点A处截面

37、AB与AC的应力如图所示（应力单位为 MPa ）,试用图解法求主应力的大 小及所在截面的方位。解：由图，根据比例尺，可以得至k5 =,%=9.S6MPa ,-23.7°并求主应力、最大正应7-5（7-10c）已知应力状态如图所示，试画三向应力圆,力与最大切应力。解：对于图示应力状态，?=0是主应力状态，其它两个主应力由Ur=b、 % 二0、/二工确定。在 行一7平面内，由坐标（仃，丁）与（口，T）分别确定 且和B点，以AB为直径画圆与 b轴相交于 C和D 。再以 8 及。口为直径作圆，即得三向应力圆。由上面的作图可知，主应力为,2233 2 2%=gjd+4,4肚二巧7-6(7-12

38、)已知应力状态如图所示(应力单位为MPa ),试求主应力的大小。解：式与1y截面的应力分别为:5t. = 60Mpsi ； q = 40MPa ; % = 2clMPa ;力之一。在e截面上没有切应力，所以 q = 是主应-47MPa5 二 g47Mp鼻；仃* = 2clMPa ； cr3 = Y_7MPa ;7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变号二400x1。”,印二-300黑10” ,切应变/盯=2。0乂10“，试求该表面处45町方位的正应变加芋与最大应变.及其所在方位。汇*+岳力 氏一 4/中 -解： ,-1. -' ' " ,- 广二1 !二22240

39、0x10 -300X10-6 400x10"* +300x10 人. 200x10+cos900-sin 900= -50x1 产耳+ % +JR苫J +")400/10-300x10“ +小(400x10 -300MIO/ +(2。0父10寸精选= 414x10% _200*104_ 2W _ 400x10 + 300xW 7得：，.1L7-8(7-20)图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段 AB的正应变。设截面尺寸 b和h与材料的弹性常数E和科均为已知。AB的正应变为精选监-+ -cos2ar- -2值*学 222F _ piF F + 曲_弼耳 / 十小儿g

40、 上队0-22-2bhE7-9(7-21)在构件表面某点 。处，沿0° , 45cl与90口方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别 为昂,二450X10。 &孕=350x 1与. = 100x10 ,该表面处于平面应力状态，试求该点处的应 力”, %与 %。已知材料的弹性模量 E = 200GPa ,泊松比*=。.3解：显然，-1'sy 二/鹏=WOx 10"'并令:45%于是得切应变：% = %+%卜 -2耳*= 450x10“ +100x11 -2x350x10= 150x1041一口彳(J + /4)2?'I?(450xWs +

41、 03x100乂 10二 105 5 皿1-3)= 51.7MPa200x102(1 + *)% 2(1+。,3)乂(-150*10#=-11.5MPa7-10(7-6)图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。证明：若在尖点 A处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体X、面上的应力分量为 巧、马和3、马,自由边界上的应力分量为q=% 二 0 ,则有b 十-cos2cr zsui 2a- 0- -，肝 22岁Q C汇 g = -Sift 2任+ 二1口£也=0M 28由于sin 2bh 口、 cos 2ct 0 ,因此，必有 5 = 0、 b* = 0、 Q=一二=

42、0。这时，代表A点应力状态的应力圆缩为 b-7坐标的原点，所以 A点为零应力状态。7-11(7-15)构件表面某点 口处，沿。口，45° , 9。口与135口方位粘贴四个应变片， 并测得相应正应变依次 为 即二450万10， 年孕=350x105，号胪二100,1旷$与马势二100x1，试判断上述测试结果是 否可靠。很明显，% - %. 二450x10“2 2ksm 2a2220% =翼心=100x10”得:得:450x10+100x10"+0 一 % 沏领。=充0乂1 2% =-150x10耳豺450x10+100x10+。孑即(270口)= 109x10% =-350x

43、10根据实验数据计算得到的两个y炉结果不一致，所以，上述测量结果不可靠。均为已知。第八章应力状态与强度理论1、 （8-4）试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力% ,弹性常数E和(a)棱柱体轴向受压;(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。解：对于图（a）中的情况，应力状态如图（c）对于图（b）中的情况，应力状态如图（d）二，（丐-间+ %）二。=/4-*同+%力=0132、 （8-6）图示钢质拐轴，承受集中载荷 F作用。试根据第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷 F=1kN, 许用应力（r=160Mpa 。解：扭矩 r = i:i <=：n工弯矩.1/ =二11：二；=：'

44、;=:二得:J14妒+15h加3<150x1032所以， ，三二三二二二i3、 （8-10）图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮I上，作用有径向力 %=3.64kN、切向力 凡=10kN ；在齿轮n上，作用有切向力弓二 5kN、径向力 月；=L82kN。若许用应力（H=l00Mpa，试根据第四强度理论确定轴径。解：计算简图如图所示，作此、汹p、魄图。从图中可以看出，危险截面为B截面。其内力分量为:临三加十死二优0.364y+F =L06k±Tm由第四强度理论<zr = 100x106西 +U.75 _ 32mlXa十 475 K (1000)?得： ）三f.9二二n4、8-4

45、圆截面轴的危险面上受有弯矩 My、扭矩Mx和轴力FNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种。试判断哪一种是正确的。请选择正确答案。(图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面)答：B5、(8-13)图示圆截面钢杆，承受载荷月， 招与扭力矩 此作用。试根据第三强度理论校核杆的强度。已知载荷 及=500N n ,玛= 151d扭力矩,许用应力(r=l60Mpa。解：弯矩 二二二二二：；二一二二 二 一乂(0.05y =1.23xl0-5fii3232M R 4505 1=<W A 123x1。'15KlO'2M9 ML 05y=48.9MPa?(CL05)：75.8MPa仃力

46、二巧缶=75.3 + 31.6 = 107.4MPa. < a= ISOMPa满足强度条件。6、 （8-25）图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚B=10mm的圆筒，圆筒内的压力 p=1Mpa,两端的轴向压力F=300kN,材料的泊松比 厂0.25,许用拉应力（rt=30Mpa。试校核圆筒部分的强度。解:p 1 乂 10%。2 4?= 47(101-5MPa?00 乂/1乂10% 0.22x0.01卜 ©22丫_(0.2丫=IQlVlPa% = 5tl+ % = 5-45.5 = -40.5MPa5 二耳二 lOMPa , 5 = 0, G =%=Y0.5MPa由第二

47、强度理论：crr2 - 5 认仃工 + 0)= 10-0.25x(- 40.5)= 20. IMPa < cr： = 30MPa满足强度条件。7、 （8-27）图薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成45cl方位的正应变分别为 营0和 犀近 试求内压p与扭力矩M之值。筒的内径为 D、壁厚B、材料的弹性模量 E与泊 松比科均为已知。2肱 y_%_4"口一a" (7 就"8很显然，二 _, 一 ,一：”2声)爪)(-9阴-3) 2M + 加4 £5_/(1-%2/(1+川- 2(1-2x) 通“朋此一 M加电(1-2川弓

48、-3(11*)格4(1 一 2.)(1+刈8、 （8-22）图示油管，内径 D=11mm,壁厚B =0.5mm,内压p=7.5MPa,许用应力（r=100Mpa。试校核油管 的强度。解:7.5xl06x 0.0112X0.0005-= 8Z5MPa£Tr = 05 = XZ5MPa , 3=0由第三强度理论，门1好二巧一 g二S2.5MP& < fr = 100MPa满足强度条件。9、 （8-11）图示圆截面杆，直径为 d,承受轴向力F与扭矩M作用，杆用塑性材料制成，许用应力为 叫。试画出危险点处微体的应力状态图，并根据第四强度理论建立杆的强度条件。TM < II

49、C3H *解：危险点的应力状态如图所示。_ F _AF T =_ = 16M“二万"定，d3.$416由第四强度理论， ,田 *艮，团,可以得到杆的强度条件：J黑口彳黑;平10、（8-17）图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 H作用。已知圆环轴线的半径为 R ,截面的 直径为 d,材料的许用应力为 b,试根据第三强度理论确定 产的许用值。 精选解：危险截面在A或B 截面A： M = o , 配£ =尸，2R_ Mt _ 2FR _ 32FR"而一7"一毋1T截面B:7 I： 不M FR 32FRCT 7W 加三 才，3r由第三强度理论可见，危险截面为A截面。32FR32FR "J- - ,=一工=-也5 -弓=2t =64FR f IR同得:64 R户的许用值为：到二J l64五11、（8-16）图示等截面刚架，承受载荷产与严'作用，且F'=2尸。试根据第三强度理论确定行的许用值9。已知许用应力为 b,截面为正方形，边长为 a ,且值二上710。精选解：危险截面在 A截面或C、D截面，C截面与D截面的应力状态一样。、此 2FIC 截面：。=7 =;2FI9615H 91M HICCj 圈 1 ?喜6由第三强度理论，J媪+4* =*6000 占二 15377号伞得：凡二£