27平面向量的数量积

1、2021/8/61平面向量的数量积平面向量的数量积2021/8/62忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1两个向量的夹角两个向量的夹角 已已知知两两个个非非零零向向量量作作,.abOAa OBb 当当时时 ，与与同同 向向 ；(1)0ab 当当时时，与与 反反向向；(2)180ab 当当时时，与与 垂垂直直记记作作(3)90,.abab 则则叫叫做做向向量量与与的的夹夹角角.AOBab OABba , a b 记作：(4),0, a b 2021/8/63忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点2. 平面向量的数量积平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和 b, 它们的夹

2、角为它们的夹角为, 则数则数量量|a|b|cos 叫做叫做a 和和b 的数量积的数量积(或内积或内积), 记作记作 ab|a|b|cos . 规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为_. 两个非零向量两个非零向量a与与b垂直的充要条件是垂直的充要条件是ab0， 两个非零向量两个非零向量a与与b平行的充要条件是平行的充要条件是ab|a|b|.02021/8/64当当 为锐角时为锐角时,投影为正值；投影为正值；当当 为钝角时为钝角时,投影为负值；投影为负值；当当 为直角时为直角时,投影为投影为0； 投影是一个数量投影是一个数量,不是向量不是向量, 投影可以是正数、零投影可以

3、是正数、零或负数或负数.当当 = 0 时时,投影为投影为 |b|;当当 = 180 时时,投影为投影为 - -|b|. 3.平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积的乘积忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点B1 OABb a |cosb 2021/8/65忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点4平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律a bb a()()(),ababa b ()abca cb c R (1)(2)(3)2021/8/66(2)0;aba b 当当

4、和和 同同向向时时(3),| |aba bab 当当 和和 反反向向时时,| |aba bab (4)cos;| |a bab (5)| | |a bab 22|a aaa 2|aa aa 5.平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质数量积的重要性质数量积的重要性质忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(1)|cose ae aa 2021/8/676平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1212x xy y 22xy 12120 x xy y2021/8/68 【例【例1】已知】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向

5、量是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向若向 量量 c 满足满足 (ac)(bc)0，则，则|c|的最大值是的最大值是_2方法一方法一2021/8/69方法二方法二 所以向量所以向量 c 的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以上又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大的最大值是值是 .2【例【例1】已知】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向若向 量量 c 满足满足 (ac)(bc)0，则，则|c|的最大值是的最大值是_2021/8/610【例【例1】

6、已知】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向若向 量量 c 满足满足 (ac)(bc)0，则，则|c|的最大值是的最大值是_2021/8/6112021/8/612D 2021/8/613 2021/8/6142021/8/615 (1) 已知平面向量已知平面向量, , |1,(2, 0) , (2 ),求求|2|的值；的值； (2)已知三个向量已知三个向量a, b, c两两所夹的角都为两两所夹的角都为120 ,|a|1, |b|2, |c|3,求向量求向量abc与向量与向量a的夹角的夹角.2021/8/616 (2)已知三个向量已知三个向量a, b, c两两所夹的角都为两两所夹的角都为120 ,|a|1, |b|2, |c|3,求向量求向量abc与向量与向量a的夹角的夹角.2021/8/617 2021/8/6182021/8/6192021/8/6202021/8/6212021/8/6223.（2012年高考湖南