韦达定理练习精选

1、1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use2、3、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：(1) x2 -3x -10=0(2) 3x2 5x 1 = 0(3) . 2x2 -4. 3x - 2.2 = 04、已知关于x的方程x2 -(5k 1)x k2 - 2 = 0 ,是否存在负数k ,使方程的两个实 数根的倒数和等于 4?若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。25、已知方程x 5x -2 =0，作一个新的一元二次方程， 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。= _丄6、解方程组*

2、；x y 12.xy = 27、在关于x的方程4x? 一 m -1 x m - 7 i； = 0中,(1) 当两根互为相反数时 m的值；(2) ( 2)当一根为零时m的值；(3) ( 3)当两根互为倒数时 m的值8、求出以一元二次方程 x2,3x-2=0的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。10、已知一元二次方程 ax2 -2bx + c = 0的两个实数根满足 X! - x2 =，a，b，C分别是 ABC的A， B，. C的对边。(1)证明方程的两个根都是正根; (2)若a二C,求 B的度数。9、在 ABC中， C =90，斜边 AB=10，直角边 AC，BC的长是关于 x的方程 x2 -

3、mx 3m 0的两个实数根，求 m的值。例题1:(1) 若关于x的一兀二次方程 2x2+5x+k=0的一根是另一根的 4倍，贝V k=(2) 已知：a,b是一元二次方程 x2+2000x+ 仁0 的两个根，求：(1+2006a+a2) ( 1+2005b+b2) 解法一：(1+2006a+a2)( 1+2005b+b2)/ 2 / 2=(1+2000a+a +6a) (1+2000b+b +5b)=6a?5b=30ab解法二：由题意知. 2 2-a +2000a+1=0; b +2000b+仁02 2二 a +1=- 2000a; b +1=- 2000b22(1+2006a+a ) (1+2

4、005b+b )=(2006a - 2000a) (2005b - 2000b)=6a?5b=30ab解法三： ab=1,a+b=-20002 2( 1+2006a+a ) (1+2005b+b ), 2 , 2=(ab +2006a+a ) ( ab +2005b+b )=a(b +2006+a) ?b( a +2005+b)=a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab例题2：已知：等腰三角形的两条边 a,b是方程x2- (k+2) x+2 k =0的两个实数根，另一条边c=1 ,求:k的值。韦达定理在解题中的应用一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a+ b和

5、ab形式的式子，可考虑直接应用韦达定理.例 1 已知 a+ a2 1 = 0, b+ b2 1 = 0, a* b，求 ab+ a+ b 的值.、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论， 经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a+ b、ab形式的式子,则可考虑应用韦达定理.例 2 若实数 x、y、z 满足 x = 6 y, z2= xy 9.求证：x = y.三、已知一元二次方程两根的关系（或系数关系）求系数关系（或求两根的关系），可考虑用韦达定理例3已知方程x2 + px + q= 0的二根之比为1 : 2,方程的判别式的值为 1.求p与q之值, 解此方程.例4设方程x2 + px +

6、 q= 0的两根之差等于方程 x2+ qx+ p = 0的两根之差，求证：p = q或p+ q = 4.证明：设方程x2+ px + q= 0的两根为a、3 , x2 + qx+ P= 0的两根为a /、B /.由题意知a 3 = a 7 3 Z,故有 a 2 2 a 3 + 3 2= a 2 2 a z 3，+ 3，,22从而有（a + 3 ） 4 a 3 = （ a ， + 3 ， ） 4 a，3. 把代入，有 p2 4q= q2 4p,即卩 p2 q2+ 4p 4q= 0,即(p + q)(p q) + 4(p q) = 0,即(p q)(p + q + 4) = 0.故 p q = 0

7、 或 p + q+ 4= 0,即 p= q 或 p+ q = 4.四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例5当m为问值时，方程 x2 + mx 3 = 0与方程x2 4x (m 1) = 0有一个公共根？并求出 这个公共根._ , 2 2解：设公共根为 a，易知，原方程 x +mx 3 = 0的两根为a、 m a ; x 4x (m 1) =0的两根为 a、4 a .由韦达定理，得a (m+ a ) = 3,a (4 a )= (m 1).2由得m= 1 4a + a ,把代入得 a 3 3 a 2+ a 3= 0 ,2即(a 3)( a + 1)= 0 .2Ta + 1 &

8、gt; 0,.a 3= 0 即 a = 3 .把a = 3代入，得m = 2 .故当m= 2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwfeen verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des

9、 fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins