理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)

1、第10章动能定理及其应用10-1计算图示各系统的动能：1.质量为 m,半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，2.图示质量为 m1的均质杆 OAB点的速度为 VB,圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为3.质量为m的均质细圆环半径为一端钱接在质量为v （图 b）。=45o （图 a）。m2的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上,作纯滚动,图示瞬时角速度为R,其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上（图 c）。AOvBCA(b)(a)(c)1113/VB 2 m()T1C21622T224222T2102ATTb1122(C21W2)V1

2、22(a)的齿轮r齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能OTTocTcvc1CO2O2 OCl22 C2121212图示滑块习题10 3图习题102图m( .2R1J习题10-1AB的角速度为Vc2 g2 mvB2 mvcA重力为Wi ,可在滑道内滑动，与滑块2 gI相啮合。齿轮II通过匀质的曲Vr1 -m211 .12 mcVcII与半径为R 3r的固定内齿轮10-3 重力为21mR22mR2柄oc带动而运动。曲柄的重力为l21J 211)222Fp、半径为2)W1 2V12gl2 -22) (2Fq ,角速度为1v1 cos 2 V 22r () r)2l W212 "g二（

3、二 m（r2 212/VB 2-mr ()2 2r123A用较链连接的是重力为 W2、长为l的匀质1 O当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统W2 l ( 2g " 221222 1mR22杆ABo现已知道滑块沿滑道的速度为 的动能。1 2g3.2.(2r )22Jc3；(2r)2 2 盘(a)r-3g(2Fq9Fp)习题10- 8图设系统在物块下降任意距离时的动能动能：T其中c12”vAvA122 m2vccr2JcvAR2Jc m2习题10 4图1r 二m2m2(Rm22(R1-2vA1m1r) 2m2(R r)2 vA力作的功：Wmgs应用动能定理:1m2(Rm1gs将上式对时间求导

4、数:mim122(R r)vAaA m1gs求得物块的加速度为:aA2m1g(R r)_222mi(R r)m2(r)105图示机构中，均质杆 光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为AB长为I,质量为2m,两端分别与质量均为m的滑块较接，两k,且当9 = 0?时，弹簧为原长。若机构在9 = 60?寸无初速开始运动，试求当杆 AB处于水平位置时的角速度和角加速度解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。动能： T 1 mvA 1 mv2 1JO AB222其中：vaI sin ab； VbI cosAB ； JO32ml2习题10-5图12 212 2522T ml ab ml ab ml ab

5、 236夕卜力的功: w mgl(sin60 sin ) 2mg- (sin60sin ) -(I22522-3k 2 12T = W ； ml ab 2mgl( sin ) I 一 (1 cos ) 6224I cos60 )2 (I I cos )2(1)104图示一重物 A质量为mi,当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮 B上。滑轮 B的半径为 R,与半径为r的滚子C固结，两者总质量为 m2,其对O轴的回转半径为 Po试求重物 A的加速度。解： 将滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理 想约束，

6、由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。当 。时：W J3mgl k-5ml2 Ab 3mgl I；ab 6 3g3k24 3mg 3kl685I 20m 20ml对式（其中：106 斜面倾角为1）求导：5ml2AB ；当AB AB0时：2 mgl cosAB6g57图a与图b分别为圆盘与圆环，二者质量均为k 2.l 2(1 cos )sin ，m,半径均为r,均置于距地面为h的斜面上,盘与环都从时间t 0开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面?01)习题106图3求导后有aC1- gsin3斛：对图（a）应用动能te理：-mvC1 mgssin4二 aC1t1 ；2t1设

7、圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d,则d21.对图（b）应用动能定理：mvC2 mgssin ；求导后有aC2 -gsin22d4d1 2 ，d 一a 2t2 ； t22因为t1 < t2,所以圆盘（a）先到达地面。gsin107两匀质杆AC和BC质量均为m,长度均为l,在C点由 光滑钱链相连接，A、B端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系 在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求钱链C落到地面时的速度。解：设校链C刚与地面相碰时速度 v vC。根据运动 学分析A点及B点分别为AC及BC杆的速度瞬心， 如图（a）习题10 7图VcVVC VB C-l l 动能定理：2 mg晨ml2 2 2

8、 0(a)mgh1 2mv3v . 3gh108质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度0=0.1rad/s落到图示位置时的角速度。11221122斛：T1(ml ) 0 ,T2 ( ml )2 32 3'.3 k22W12mg (2 1.5)2 (12 1.5)222- 3_ _mg k(3,3 7)T2 Ti W121222- ,13-ml ( o)mg k(3,3 7)623mg 6k(3.,3 7) ml23 3 15 9.8 6 50(3,3 7)15 221.93 rad/s

9、半径为r,可沿水平面作纯滚动。刚性 运动开始时，弹簧处于原长，此时圆10-9在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为 系数为k的弹簧一端固定于 B,另一端与圆盘中心 盘角速度为，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时, 弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度 盘与水平面间的摩擦力。解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量,32为，则T1-mr4T2TiW12；（2）如图（-mr 4a)： ja3 2mr21 -mr210- 103mkJ ,2kFa； Fa r在图示机构中，鼓轮,其上绕有细绳，一端吊一质量为T222 rm 、O相连。kmr和R,对转轴 O的回转半径为B质量为m, m的

10、物块内、A,外半径分别为另一端与质量为M、连，斜面倾角为 ，绳的倾斜段与斜面平行。试求:（1）鼓轮的角加速度连接物块解:A的绳子的张力（表示为 的函数）。（1）应用动能定理：T = W1 2-mvA2JO 0-Mv 22JC其中:VAR OJOMr2设物块A上升距离SA时：W122-Mr ) o 2MgSC sinmgSA对动能定理的表达式求导:m(R22)32Mr2 o o2g(Mr sinMgvC sinmgVA_ _22m(R2mR)如图(a) ： JCC2 一 22) 3Mr2Fr ； F -Mr2Ft半径为r的均质圆轮 C相 ;（2）斜面的摩擦力及J C(a)mg(b)O转动,ko试

11、求系统的固有频率。如图(b) : ma FT mg ; FT m(g R )10-11匀质圆盘的质量为 mi、半径为r,圆盘与处于水平位置的弹簧一端较接且可绕固定轴以起吊重物A,如图所示。若重物 A的质量为m2 ；弹簧刚度系数为解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能.121 12v 2112Tm2v(-mj )(-)( m2mjv22 2 r 24k s2kd2 2W m2gs (d) m2gs 2 s 2 r2rT W211、2kd 2(-m2 - m1 )vm2gs 2 s242r2习题10 13图ddi(m2(m21、m1)a21、m1)s22kdm2g2kdT r-277sr (

12、2m2m1)2kd22 /c7r (2m2 m1)kd2(m2g- s)vrkd2-2- srm2gm2m2g1-mi2d 2kr m1 2m210- 12图示圆盘质量为 m、半径为r,在中心处与两根水平放置的弹簧固结,且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为k0。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则动能T弹力功:ddt .12 1 12 VomVo -( mr )()22 2 r一 mvo43一 mvoa22kx22kxvo3 2一 mvo 4习题1。一 12图mvox 2kx 0 2x1。13测量机器功率的功率计，由胶带ACDB和一杠杆BOF组成， 如图所示。胶带具有铅垂

13、的两段AC和DB,并套住受试验机器和滑轮 E的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O上，借升高或降低支点 O,可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在F处挂一重锤P ,杠杆BF即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg,L = 5oomm,试求发动机的转速 n=24or/min时发动机的功率。解：设发动机的角速度为。则(a)2 71n 2 n 24060608 Tt (rad/s)(b)C、B质量均为 m,半AE段与水平面又 const,发动机作等速转动。滑轮E的角加速度0。滑轮E受力分析如图(a)。由 Me 0得 M (Ti T2)R 0M (Ti T2)R(1)取杠

14、杆为研究对象，受力如图( b)。 由 M o 0得mgl (Ti T2)R 0mgl (Ti T2)R(2)且 Ti Ti, T2 T2(3)综合(1)、(2)、(3)可得：M mgl发动机的功率P M mgl3 9.8 0.50 8ti=0.369(kW)i0-i4在图示机构中，物体 A质量为mi,放在光滑水平面上。均质圆盘 径均为R,物块D质量为 m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的平行，系统由静止开始释放。试求物体D的加速度以及 BC段绳的张力解：(i)设物块D下降距离s时，速度为VD,则系统动能为:1(m m2)vD2其中:2JC2vd .RVa2JB2vDi 2-miV

15、AJCJBi 2 mR2iT (m2重力的功为:m2i-m2(m2m4mi)vDi(7m 4mi m2)vD 2 2m2)gs；应用动能定理T7(-m 4ml2W并求导:习题i0 i4图m2)VDaD (m m2)gvDmhR22( m m2)gaD 7m 8ml 2m2(2)如图(a),应用相对速度瞬心的动量矩定理:JoaD (m m2)gR Fbc2R；其中：J。3mR2R2i3 i 2(m m2)gFbc(m m2)g (=mm?) -242 7m 8ml 2m2 (m m2)(7m 8ml 2m2)g (3m 2m2)(m m2)g2(7m 8mi 2m2)2(m m2)(m 2mQg

16、7m 8ml 2m210 15图示机构中，物块 A、B质量均为 m,均质圆盘 C、D质量均为 2m,半径均为 R。C轮 较接于长为 3R的无重悬臂梁 CK上，D为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动，试求(1)物块 A上升的加速度；(2) HE段绳的张力；(3)固定端 K处的约束力。解：(1)设物块 A上升距离S时，速度为 VA,则系统动能为:12-(m 2m)VD2J1j其中:幺.C R ' 1 ,m mVa ，2RVD2Va2212c2mVA2Jc J d mR2 m)VA2mvAs重力的功为：W (m 2m)g- mgs应用动能定理T W并求导：3mvAaA1-mgs

17、；21-mgVA; aA2习题10 15图(2)如图(a),应用动量矩定理:JCaAR(Fhe其中：JCC22mr2-2_2mR2 2mR2Fhe 2maA mg应用动量定理:maA43mgFc 3mg F(3)如图(b),应用平衡方程:HE，FkxFc04.5mgFy0；FKyFc0； FKy4.5mgMk(F)0； M k Fc 3R0； Mk1016两个相同的滑轮，视为匀质圆盘,质量均为16gmg)R|Fc6CF he2mgaAmg13.5mgR(a)R,用绳缠绕连接，如图所示。如h的关系，并确定 AB段绳子的张力。系统由静止开始运动，试求动滑轮质心 C的速度V与下降距离解：1、先对O、C轮分别用动